算術ダイナミクス

算術動力学^[1]は、力学系と数論という数学の2つの分野を融合した分野です。その着想の一部は、複素平面やその他の複素代数多様体の自己写像の反復を研究する複素動力学から来ています。算術動力学は、多項式または有理関数を繰り返し適用した場合の整数点、有理数点、 $p$ 進点、または代数点の数論的特性の研究です。基本的な目標は、基礎となる幾何学的構造の観点から算術特性を記述することです。

大域算術動力学は、離散力学システムの設定における古典的なディオファントス幾何学の類似物を研究する分野です。一方、p 進動力学または非アルキメデス動力学とも呼ばれる局所算術動力学は、複素数 $C を$ $Q$ $p$ や $C$ $p$ などの $p$ 進体に置き換え、カオス的動作やファトゥ集合とジュリア集合を研究する複素動力学の類似物です。

次の表は、ディオファントス方程式、特にアーベル多様体と力学系との間の大まかな対応を示しています。

離散力学からの定義と表記

$Sを$ 集合とし、F $: S \to S を$ $S$ からそれ自身への写像とする。F $を$ それ自身と $n$ 回繰り返すことを

F^{(n)}=F\circ F\circ \cdots \circ F.

点 $P\inS が$ 周期的であるとは $、$ $n\geq1$ に対して $F (n) (P)= Pが$ $成立する$ 場合をいう。

$F$ $($ $k$ $)$ $($ $P$ $)$ が何らかのk≥1に対して周期的である $場合$ 、 $その$ 点は前周期的である。

$P$ の（順方向）軌道は集合

O_{F}(P)=\left\{P,F(P),F^{(2)}(P),F^{(3)}(P),\cdots \right\}.

したがって、 $P$ が前周期的となるのは、その軌道 $O F (P)$ が有限である場合のみです。

前周期点の数論的性質

$F (x) を$ $Q$ に係数を持つ少なくとも 2 次有理関数とします。ダグラス・ノースコットの定理^[2]によれば、 $Fには$ $Q$ 有理の前周期点が有限個しかなく、つまり、 $Fには$ $P 1 (Q)$ に前周期点が有限個しかありません。パトリック・モートンとジョセフ・シルバーマンの前周期点の一様有界性予想^{[3]によれば、} $P$ $1$ $($ $Q$ $)$ における $F$ の前周期点の数は、 $F$ の次数のみに依存する定数によって制限されます。

より一般的には、 $F : P N \to P N を$ 数体 $K$ 上で定義された次数 2 以上の射とします。ノースコットの定理によれば、 $F は$ $P N (K)$ において有限個の前周期点しか持たず、一般的な一様有界性予想によれば、 $P N (K)における前周期点の数は$ $N 、$ $F$ の次数、および $Q$ 上の $K$ の次数によってのみ制限される可能性があります。

均一有界性予想は、有理数 $Q上の二次多項式$ $F c (x) = x 2 + c$ に対しても知られていない。この場合、 $F$ $c$ $($ $x$ $)は周期 4、$ ^[4]、 5、^[5]、6 ^[6]の周期点を持つことはできないことがわかっているが、周期 6 の結果はバーチとスウィナートン・ダイアーの予想の妥当性に依存する。ビョルン・プーネンは、 $F$ $c$ $($ $x$ $) は$ 3 より大きい周期の有理周期点を持つことはできないと予想した。 ^[7]

軌道上の整数点

有理写像の軌道には、無限に多くの整数を含めることができます。たとえば、 $F (x)$ が整数係数の多項式で、 $a$ が整数の場合、軌道 $O F (a)$ 全体が整数で構成されていることは明らかです。同様に、 $F (x)$ が有理写像で、ある反復 $F (n) (x)$ が整数係数の多項式である場合、軌道の $n$ 番目のエントリはすべて整数です。この現象の例は、 2 番目の反復が多項式である写像 $F (x) = x -d$ です。これが、軌道に無限に多くの整数を含めることができる唯一の方法であることがわかります。

定理^[8]

F (x) \inQ (x)

を2次以上の有理関数とし、Fの反復[9]は多項式ではないと仮定する。a∈Q

と

する^。すると

軌道

OF

(

a

)

に

は

有限

個の整数しか含まれない

。

部分多様体上にある動的に定義された点

無限個の周期点を含む、あるいは無限個の点で軌道と交差する部分多様体に関する、張守武^[10]らによる一般予想がある。これらはそれぞれ、ミシェル・レイノーによって証明されたマニン・マンフォード予想と、ゲルト・ファルティングスによって証明されたモーデル・ラング予想の力学的類似物である。以下の予想は、部分多様体が曲線である場合の一般理論を示している。

予想。

F : P N \to P N

を射とし、

C \subset P N

を既約代数曲線とする。点

P \in P N

があり、

C が

O F (P) の

軌道に無限個の点を含むと仮定する。すると、

C を

自身に写像する

F

の反復

F

(

k

)

が存在するという意味で、

C は

F

に対して周期的である。

p-進力学

p 進（または非アルキメデス）力学の分野は、非アルキメデス絶対値に関して完備な体 $K上の古典的な力学問題の研究です。そのような体の例としては、$ $p$ 進有理数の体 $Q p$ とその代数的閉包の完備化 $C p$ $があります。K 上の$ 計量と等連続性の標準的な定義は、有理写像 $F$ $($ $x$ $) \in$ $K$ $($ $x$ $)の$ Fatou 集合とJulia 集合の通常の定義につながります。複素理論と非アルキメデス理論には多くの類似点がありますが、違いもたくさんあります。顕著な違いは、非アルキメデスの設定では、Fatou 集合は常に空ではないが、Julia 集合は空になる可能性があるということです。これは、複素数の場合の逆です。非アルキメデス力学は、完全に分離した非局所コンパクト体 $C$ $p を$ 含むコンパクトな連結空間であるBerkovich 空間^[11]に拡張されています。

一般化

算術力学の自然な一般化があり、 $Q$ と $Q p は$ 数体とその $p進完備化に置き換えられます。別の自然な一般化は、$ $P 1$ または $P N$ の自己写像を他のアフィン多様体または射影多様体の自己写像 (射影) $V \to V$ に置き換えることです。

数論と力学が相互作用する他の分野

動的システムの設定では、他にも数論的な性質の問題が数多く現れます。たとえば、

有限体上の力学。
$C$ $($ $x$ $)$ のような関数体上のダイナミクス。
$形式的およびp$ 進冪級数の反復。
リー群上のダイナミクス。
動的に定義されたモジュライ空間の算術的性質。
等分布^[12]と不変測度、特に $p$ 進空間上。
Drinfeldモジュール上のダイナミクス。
多様体上の有理写像では記述されない数論的反復問題、例えばコラッツ問題。
実数の明示的な算術展開に基づく力学系の記号的コーディング。^[13]

算術力学参考リストには、算術力学の幅広いトピックを網羅した記事と書籍の広範なリストが掲載されています。

参照

注釈と参考文献

^シルバーマン、ジョセフ H. ( 2007)。動的システムの算術。数学の大学院テキスト。第 241 巻。ニューヨーク: シュプリンガー。doi :10.1007 / 978-0-387-69904-2。ISBN 978-0-387-69903-5MR 2316407 。
^ノースコット、ダグラス ・ジェフリー (1950) 。「代数多様体上の周期点」。Annals of Mathematics。51 (1): 167–177。doi :10.2307/1969504。JSTOR 1969504。MR 0034607 。
^モートン、パトリック; シルバーマン、ジョセフ H. (1994)。「有理関数の有理周期点」。国際数学研究通知。1994 (2): 97–110。doi : 10.1155 /S1073792894000127。MR 1264933 。
^モートン、 パトリック(1992)。「二次写像の周期点の算術的性質」。Acta Arithmetica 62 ( 4 ): 343–372。doi : 10.4064/aa-62-4-343-372。MR 1199627。
^ Flynn, Eugene V.; Poonen, Bjorn; Schaefer, Edward F. (1997). 「種数 2 の曲線上の 2 次多項式のサイクルと有理点」Duke Mathematical Journal . 90 (3): 435–463. arXiv : math/9508211 . doi :10.1215/S0012-7094-97-09011-6. MR 1480542. S2CID 15169450.
^ Stoll, Michael (2008). 「2次多項式の反復における有理6サイクル」. LMS Journal of Computation and Mathematics . 11 : 367–380. arXiv : 0803.2836 . Bibcode :2008arXiv0803.2836S. doi :10.1112/S1461157000000644. MR 2465796. S2CID 14082110.
^ Poonen, Bjorn (1998). 「 $Q$ 上の二次多項式の有理前周期点の分類: 洗練された予想」. Mathematische Zeitschrift . 228 (1): 11–29. doi :10.1007/PL00004405. MR 1617987. S2CID 118160396.
^ Silverman, Joseph H. (1993). 「整数点、ディオファントス近似、有理マップの反復」Duke Mathematical Journal . 71 (3): 793–829. doi :10.1215/S0012-7094-93-07129-3. MR 1240603.
^ 基本的な定理によれば、 $F (x) \in C (x)$ であり、 $F$ のいくつかの反復が多項式である場合、2 番目の反復もすでに多項式です。
^ Zhang, Shou-Wu (2006). 「代数力学における分布」。Yau, Shing Tung (編)。微分幾何学: S.-S. Chern教授へのトリビュート。微分幾何学の調査。第10巻。マサチューセッツ州サマービル: 国際出版。pp. 381–430。doi : 10.4310 / SDG.2005.v10.n1.a9。ISBN 978-1-57146-116-2. MR 2408228。
^ ルメリー、ロバート、ベイカー、マシュー (2010)。ベルコビッチ射影直線上のポテンシャル理論とダイナミクス。数学サーベイおよびモノグラフ。第 159 巻。プロビデンス、ロードアイランド州: アメリカ数学会。arXiv : math / 0407433。doi :10.1090/surv/ 159。ISBN 978-0-8218-4924-8. MR 2599526。
^グランビル、 アンドリュー、ルドニック、ゼーヴ編 (2007)。数論における等分布入門。NATO科学シリーズII：数学、物理学、化学。第237巻。ドルドレヒト：シュプリンガーオランダ。doi ：10.1007 / 978-1-4020-5404-4。ISBN 978-1-4020-5403-7MR 2290490 。
^ Sidorov, Nikita (2003). 「算術ダイナミクス」。 Bezuglyi, Sergey、Kolyada, Sergiy (編著)。ダイナミクスとエルゴード理論のトピック。国際会議および米国ウクライナワークショップにおける動的システムとエルゴード理論に関する調査論文とミニコース。ウクライナ、カツィヴェリ、2000 年 8 月 21 ～ 30 日。ロンドン数学協会講義ノートシリーズ第 310 巻。ケンブリッジ:ケンブリッジ大学出版局。 pp. 145 ～ 189。doi :10.1017/CBO9780511546716.010。ISBN 0-521-53365-1。MR 2052279。S2CID 15482676。Zbl 1051.37007 。

さらに読む

アリゾナ冬季学校における算術力学に関する講義ノート、2010 年 3 月 13 ～ 17 日、ジョセフ H. シルバーマン
ダイナミクス入門：最近の開発動向の概観、ボリス・ハッセルブラット、AB カトック、ケンブリッジ大学出版、2003 年、ISBN 978-0-521-58750-1 、第 15 章

外部リンク

動的システムの算術ホームページ
算術力学の参考文献
ベルコビッチ射影直線上の解析とダイナミクス
ジョセフ・H・シルバーマンの「動的システムの算術」の書評、ロバート・L・ベネデットによる書評

[1] ^シルバーマン、ジョセフ H. ( 2007)。動的システムの算術。数学の大学院テキスト。第 241 巻。ニューヨーク: シュプリンガー。doi :10.1007 / 978-0-387-69904-2。ISBN 978-0-387-69903-5MR 2316407 。

[2] ^ノースコット、ダグラス ・ジェフリー (1950) 。「代数多様体上の周期点」。Annals of Mathematics。51 (1): 167–177。doi :10.2307/1969504。JSTOR 1969504。MR 0034607 。

[3] ^モートン、パトリック; シルバーマン、ジョセフ H. (1994)。「有理関数の有理周期点」。国際数学研究通知。1994 (2): 97–110。doi : 10.1155 /S1073792894000127。MR 1264933 。

[4] ^モートン、 パトリック(1992)。「二次写像の周期点の算術的性質」。Acta Arithmetica 62 ( 4 ): 343–372。doi : 10.4064/aa-62-4-343-372。MR 1199627。

[5] Flynn, Eugene V.; Poonen, Bjorn; Schaefer, Edward F. (1997). 「種数 2 の曲線上の 2 次多項式のサイクルと有理点」Duke Mathematical Journal . 90 (3): 435–463. arXiv : math/9508211 . doi :10.1215/S0012-7094-97-09011-6. MR 1480542. S2CID 15169450.

[6] Stoll, Michael (2008). 「2次多項式の反復における有理6サイクル」. LMS Journal of Computation and Mathematics . 11 : 367–380. arXiv : 0803.2836 . Bibcode :2008arXiv0803.2836S. doi :10.1112/S1461157000000644. MR 2465796. S2CID 14082110.

[7] ^ Poonen, Bjorn (1998). 「 $Q$ 上の二次多項式の有理前周期点の分類: 洗練された予想」. Mathematische Zeitschrift . 228 (1): 11–29. doi :10.1007/PL00004405. MR 1617987. S2CID 118160396.

[8] Silverman, Joseph H. (1993). 「整数点、ディオファントス近似、有理マップの反復」Duke Mathematical Journal . 71 (3): 793–829. doi :10.1215/S0012-7094-93-07129-3. MR 1240603.

[9] 基本的な定理によれば、 $F (x) \in C (x)$ であり、 $F$ のいくつかの反復が多項式である場合、2 番目の反復もすでに多項式です。

[10] Zhang, Shou-Wu (2006). 「代数力学における分布」。Yau, Shing Tung (編)。微分幾何学: S.-S. Chern教授へのトリビュート。微分幾何学の調査。第10巻。マサチューセッツ州サマービル: 国際出版。pp. 381–430。doi : 10.4310 / SDG.2005.v10.n1.a9。ISBN 978-1-57146-116-2. MR 2408228。

[11] ルメリー、ロバート、ベイカー、マシュー (2010)。ベルコビッチ射影直線上のポテンシャル理論とダイナミクス。数学サーベイおよびモノグラフ。第 159 巻。プロビデンス、ロードアイランド州: アメリカ数学会。arXiv : math / 0407433。doi :10.1090/surv/ 159。ISBN 978-0-8218-4924-8. MR 2599526。

[12] ^グランビル、 アンドリュー、ルドニック、ゼーヴ編 (2007)。数論における等分布入門。NATO科学シリーズII：数学、物理学、化学。第237巻。ドルドレヒト：シュプリンガーオランダ。doi ：10.1007 / 978-1-4020-5404-4。ISBN 978-1-4020-5403-7MR 2290490 。

[13] Sidorov, Nikita (2003). 「算術ダイナミクス」。 Bezuglyi, Sergey、Kolyada, Sergiy (編著)。ダイナミクスとエルゴード理論のトピック。国際会議および米国ウクライナワークショップにおける動的システムとエルゴード理論に関する調査論文とミニコース。ウクライナ、カツィヴェリ、2000 年 8 月 21 ～ 30 日。ロンドン数学協会講義ノートシリーズ第 310 巻。ケンブリッジ:ケンブリッジ大学出版局。 pp. 145 ～ 189。doi :10.1017/CBO9780511546716.010。ISBN 0-521-53365-1。MR 2052279。S2CID 15482676。Zbl 1051.37007 。