散逸系

散逸系とは、熱力学的に開放された系であり、エネルギーや物質を交換する環境において、熱力学的平衡状態から外れた、あるいは大きく離れた状態で動作している系である。竜巻は散逸系の一例と考えられる。散逸系は保存系とは対照的な性質を持つ。

散逸構造とは、ある意味で再現可能な定常状態にある動的レジームを持つ散逸システムのことである。この再現可能な定常状態は、システムの自然な進化、人為的な操作、あるいはこれら二つの組み合わせによって達成される可能性がある。

散逸構造は、対称性の破れ（異方性）が自発的に現れ、相互作用する粒子が長距離相関を示す複雑な、時には混沌とした構造が形成されることを特徴としています。日常生活における例としては、対流、乱流、サイクロン、ハリケーン、生物などが挙げられます。あまり一般的ではない例としては、レーザー、ベナールセル、液滴クラスター、ベロウソフ・ジャボチンスキー反応などがあります。^{[ 1 ]}

散逸系を数学的にモデル化する一つの方法は、放浪集合に関する記事で示されている。それは、可測集合に対する群の作用を伴う。

散逸系は、経済システムや複雑系を研究するためのツールとしても使用できます。^{[ 2 ]}例えば、ナノワイヤの自己組織化を伴う散逸系は、エントロピー生成と生物システムの堅牢性との関係を理解するためのモデルとして使用されてきました。^{[ 3 ]}

ホップ分解とは、力学系は保存部分と散逸部分に分解できるという定理である。より正確には、非特異変換を持つすべての測度空間は、不変な保存集合と不変な散逸集合に分解できるという定理である。

散逸構造という用語を作り出したロシア系ベルギー人の物理化学者イリヤ・プリゴジンは、熱力学的定常状態とみなせる動的レジームを持ち、少なくとも非平衡熱力学における適切な極値原理によって記述できる場合もあるこれらの構造に関する先駆的な研究により、1977年にノーベル化学賞を受賞した。

ノーベル賞受賞講演で、プリゴジンは、平衡から遠く離れた熱力学系が、平衡に近い系とは大きく異なる振る舞いをする可能性について説明している。^{[ 4 ]}平衡に近い系では、局所平衡仮説が適用され、自由エネルギーやエントロピーなどの典型的な熱力学的量を局所的に定義することができる。系の（一般化された）流れと力の間には線形関係があると仮定することができる。線形熱力学の有名な結果の 2 つは、オンサーガーの相反関係と最小エントロピー生成の原理である。^{[ 5 ]}これらの結果を平衡から遠く離れた系に拡張しようと試みた後、この領域では成り立たず、逆の結果が得られることがわかった。

このようなシステムを厳密に解析する一つの方法は、平衡から遠く離れたシステムの安定性を研究することです。平衡に近い状態では、エントロピーが安定な最大値に収束することを保証するリアプノフ関数の存在を示すことができます。固定点の近傍では変動が減衰し、巨視的な記述で十分です。しかし、平衡から遠く離れた安定性はもはや普遍的な性質ではなく、破られる可能性があります。化学システムでは、これはブリュッセレーターの例のように、自己触媒反応の存在によって発生します。システムが特定の閾値を超えて駆動されると、振動はもはや減衰せず、増幅される可能性があります。数学的には、これはホップ分岐に対応し、あるパラメータをある値以上に増加させると、リミットサイクル挙動につながります。反応拡散方程式によって空間効果を考慮すると、ベロウソフ・ジャボチンスキー反応の場合のように、長距離相関と空間的に秩序だったパターンが生じます^{[ 6 ]}。不可逆過程の結果として生じるような動的な物質状態を持つシステムは、散逸構造である。

近年の研究では、生物システムとの関連においてプリゴジンの散逸構造の概念が再検討されている。^{[ 7 ]}

ウィレムスは、入出力特性によって動的システムを記述するために、システム理論において散逸性の概念を初めて導入した^{[ 8 ] 。状態によって記述される動的システムを考えると、}${\displaystyle x(t)}$その入力${\displaystyle u(t)}$そしてその出力${\displaystyle y(t)}$入力と出力の相関関係には供給率が与えられる${\displaystyle w(u(t),y(t))}$供給率に関してシステムが散逸的であるとは、連続的に微分可能な貯蔵関数が存在する場合をいう。${\displaystyle V(x(t))}$そのため${\displaystyle V(0)=0}$、${\displaystyle V(x(t))\geq 0}$そして

$\displaystyle {\dot {V}}(x(t))\leq w(u(t),y(t))}$[ ^{9 ]​}

散逸性の特殊なケースとして、上記の散逸性不等式が受動性供給率に関して成り立つ場合、システムは受動的であると言われる。${\displaystyle w(u(t),y(t))=u(t)^{T}y(t)}$。

物理的な解釈としては、${\displaystyle V(x)}$はシステムに蓄えられたエネルギーであり、一方${\displaystyle w(u(t),y(t))}$は、システムに供給されるエネルギーのことです。

この概念はリアプノフ安定性と密接な関連があり、動的システムの制御可能性と観測可能性に関する特定の条件下では、蓄積関数がリアプノフ関数の役割を果たす可能性がある。

大まかに言えば、散逸理論は線形システムと非線形システムのフィードバック制御則の設計に役立ちます。散逸システム理論は、VM Popov、JC Willems、DJ Hill、P. Moylan によって議論されてきました。線形不変システムの場合、これは正実伝達関数として知られており、基本的なツールは、正実システムの situation 空間と周波数領域の特性を関連付けるいわゆるKalman–Yakubovich–Popov の補題です。^{[ 10 ]}散逸システムは、その重要な応用のため、システムと制御の研究分野で依然として活発な研究分野です。

量子力学、そしてあらゆる古典的な力学系は、時間が可逆であるハミルトン力学に大きく依存しているため、これらの近似は本質的に散逸系を記述することができません。原理的には、システム（例えば振動子）を熱浴（すなわち、広帯域スペクトルを持つ熱平衡状態にある多数の振動子の集合）に弱く結合させ、熱浴全体にわたってトレース（平均）することができると提案されています。これにより、古典的なリウヴィル方程式の量子版であるリンドブラッド方程式と呼ばれるより一般的な設定の特殊な場合であるマスター方程式が得られます。この方程式とその量子版のよく知られた形式では、時間を積分する可逆変数として扱いますが、散逸構造のまさに基礎は、時間に対して不可逆的かつ建設的な役割を課しています。

最近の研究では、ジェレミー・イングランドの散逸適応理論^{[ 7 ]}（前述のように、プリゴジンの散逸構造の考え方を非平衡統計力学に一般化したもの）の量子拡張が見られた。量子散逸適応の概念^{[ 11 ] [ 12 ]}は、多くの文脈で有益であることが証明されている。生体物質では、自己組織化（繰り返しパターン）と多様化および開放性（新しいパターン）の両方の概念が見られる。量子散逸適応は、自己複製の最小モデルで起こるため、これら2つの側面を調和させることができることが示されている。^{[ 13 ]}自己組織化状態の出現を超えて、量子散逸適応の概念は、いくつかの駆動散逸量子システムにおける創発機能（エネルギー探索行動やエネルギー回避行動など）の発見につながった。^{[ 14 ]}光合成は、光捕集複合体による光子の吸収に量子的な側面がどれほど関連しているかという疑問を提起するため、何らかの量子散逸適応の探求にも影響を与えてきました。物質中の非局在化励起の存在は、入射光子から追加のエネルギーを消費する可能性があり、標準的な量子散逸適応のより微妙な一般化につながることがわかっています。吸収された仕事は、あるサイトから別のサイトへの励起移動の確率に直接比例する（標準的なバージョンで予想されるように）のではなく、吸収された仕事は、特定の状況下では、励起の移動にシステムによって部分的に使用され、別の部分は一時的な量子コヒーレンスの構築中に散逸される可能性があります。^{[ 15 ]}

エネルギーの絶え間ない相互交換におけるシステムの挙動を理解するためのメカニズムとしての散逸構造のフレームワークは、光学^{[ 16 ] [ 17 ]} 、個体群動態と成長^{[ 18 ] [ 19 ] [ 20 ] 、化学機械構造[ 21 ] [ 22 ] [ 23 ]}など、さまざまな科学分野やアプリケーションにうまく適用されてきました。

• B. Brogliato、R. Lozano、B. Maschke、O. Egeland、「散逸システム解析と制御：理論と応用」、Springer Verlag、ロンドン、第2版、2007年。
• デイヴィス、ポール『宇宙の設計図』サイモン＆シュスター、ニューヨーク、1989年（要約—1500語）（概要—170語）—自己組織化構造。
• Philipson、Schuster、「非線形微分方程式によるモデリング：散逸過程と保存過程」、World Scientific Publishing Company、2009年。
• プリゴジン、イリヤ、「時間、構造、およびゆらぎ」。ノーベル賞受賞講演、1977年12月8日。
• JC Willems著「散逸力学系、第I部：一般理論；第II部：二次供給率を持つ線形システム」。Archive for Rationale mechanics Analysis、第45巻、 321～393ページ、1972年。

• 散逸系モデルオーストラリア国立大学