Logistic map

まず、パラメータ r = 0 の場合、${\displaystyle x_{1}=0}$初期値に関係なく${\displaystyle x_{0}}$つまり、a = 0 の場合のロジスティック写像の軌跡は、初期値以降のすべての値が 0 である軌跡なので、この場合は調査すべきことはあまりありません。

次に、パラメータ r が 0 < r < 1 の範囲にある場合、${\displaystyle x_{n}}$任意の値に対して単調に減少する${\displaystyle x_{0}}$0から1の間。つまり、${\displaystyle x_{n}}$n → ∞の極限で 0 に収束する。 ^{[ Gulick 2 ]}${\displaystyle x_{n}}$収束するのは不動点である${\displaystyle x_{f1}}$式(2-3)で示されている。このタイプの固定点は、その周りの軌道が収束するため、漸近安定、安定、または吸引的と呼ばれる。逆に、その周りの軌道が収束しない場合は、${\displaystyle x_{f}}$離れて${\displaystyle x_{f}}$時間 n が増加するにつれて、固定点${\displaystyle x_{f}}$不安定または反発的と呼ばれる。^{[ Gulick 3 ]}

固定点が漸近安定かどうかを知るための一般的で簡単な方法は、写像 f の導関数を取ることです。^{[ Gulick 4 ]}この導関数は次のように表されます。${\displaystyle f'(x)}$、 ${\displaystyle x_{f}}$以下の条件が満たされる場合、漸近的に安定である。

これは地図をグラフ化することで確認できます。曲線の接線の傾きが${\displaystyle x_{f}}$−1から1の間であれば、${\displaystyle x_{f}}$は安定しており、その周りの軌道は${\displaystyle x_{f}}$ロジスティック写像の導関数は

したがって、x = 0 かつ 0 < r < 1 の場合、0 < f '(0) < 1 となり、固定点は${\displaystyle x_{f1}}$= 0 は方程式 (3-1) を満たす。

しかし、式(3-1)を用いた判別方法では、軌道の範囲がわからない。${\displaystyle x_{f}}$に惹かれる${\displaystyle x_{f}}$特定の近傍内の x を保証するだけです。${\displaystyle x_{f}}$収束する。この場合、0に収束する初期値の範囲は[0, 1]全体であるが、これを確実に知るには別途研究が必要である。

固定点が不安定かどうかを判定する方法は、同様に写像を微分することによって見つけることができる。r <1 の場合、固定点が${\displaystyle x_{f}}$不安定な場合

パラメータが 0 < r < 1 の範囲内にある場合、もう一方の固定点は${\displaystyle x_{f2}=1-1/a}$ は負の値をとるため、[0, 1] の範囲には含まれませんが、不安定な固定点として存在します。

rが1から2の間の一般的な場合、個体数は初期個体数に関係なく、すぐに値⁠ r − 1 / r ⁠に近づきます。

パラメータ r = 1 の場合、ロジスティック写像の軌跡は以前と同様に 0 に収束しますが、r = 1 では収束速度が遅くなります。r = 1 における固定点 0 は漸近的に安定していますが、式 (3-1) を満たしません。実際、式 (3-1) に基づく判別方法は、固定点の近傍で写像を一次近似することで機能します。r = 1 の場合、この近似は成り立たず、安定性または不安定性は写像の二次項、つまり言い換えれば二次摂動によって決定されます。

r = 1 をグラフ化すると、曲線は x = 0 で 45° 対角線に接します。この場合、固定点は${\displaystyle x_{f2}=1-1/r}$これは負の範囲に存在します${\displaystyle 0<r<1}$、 は ${\displaystyle x_{f2}=0}$。 のために${\displaystyle x_{f2}=0}$つまり、r が増加すると、${\displaystyle x_{f2}}$ 0に近づき、ちょうどr = 1のとき、${\displaystyle x_{f2}}$衝突する ${\displaystyle x_{f1}=0}$この衝突により、超臨界分岐と呼ばれる現象が発生します。 分岐とは、力学系の挙動における質的な変化を表す用語です。この場合、超臨界分岐とは、固定点の安定性が交互に現れることです。つまり、r が 1 未満の場合、${\displaystyle x_{f1}}$安定していて${\displaystyle x_{f2}}$不安定だが、rが1より大きい場合、${\displaystyle x_{f1}}$不安定で${\displaystyle x_{f2}}$は安定している。分岐が発生するパラメータ値を分岐点と呼ぶ。この場合、r = 1 が分岐点である。

固定点${\displaystyle x_{f2}=1-1/r}$単調減少収束の例 (r = 1.2、x 0 = 0.6)

固定点${\displaystyle x_{f2}=1-1/a}$単調増加収束の例 (r = 1.8、x 0 = 0.2)

分岐の結果、ロジスティック写像の軌道は極限点に収束する。${\displaystyle x_{f2}=1-1/r}$の代わりに${\displaystyle x_{f1}=0}$特に、パラメータが${\displaystyle 1<r\leq 2}$すると、ある値から始まる軌跡${\displaystyle x_{0}}$区間(0, 1)（0と1を除く）では、に収束する。${\displaystyle x_{f2}}$単調増加または単調減少によって収束する。収束パターンの違いは、初期値の範囲によって異なる。 ${\displaystyle 0<x_{0}<1-1/r}$

の場合${\displaystyle 1-1/r<x_{0}<1/r}$ そして、単調に収束し、 ${\displaystyle 1/r<x_{0}<1}$最初のステップを除いて、関数は単調に収束する。

さらに、固定点${\displaystyle x_{f1}=0}$分岐により不安定になるが、r > 1 の後でも固定点として存在し続ける。これは、初期値が存在しないことを意味するものではない。${\displaystyle x_{f1}}$この不安定な固定点に到達できるもの ${\displaystyle x_{f1}}$これは${\displaystyle x_{0}=1}$、またロジスティック写像はrの値に関係なくf(1)=0を満たすので、写像を一度適用すると${\displaystyle x_{0}=1}$マッピングする${\displaystyle x_{f1}=0}$有限回のマップの反復によって固定点として直接到達できる点（例えば x = 1）を最終固定点と呼びます。

rが 2 から 3 の間の場合、個体群も最終的には同じ値⁠ r − 1 / r ⁠に近づきますが、最初はしばらくの間その値の周りで変動します。収束速度は線形ですが、r = 3の場合は非常に遅く、線形よりも遅くなります (分岐記憶を参照)。

パラメータ 2 < r < 3 の場合、初期値 0 と 1 を除いて、固定点は${\displaystyle x_{f2}=1-1/r}$1 < r ≤ 2 の場合と同じです。 ただし、この場合、収束は単調ではありません。変数が近づくにつれて${\displaystyle x_{f2}}$より大きく、より小さくなる${\displaystyle x_{f2}}$繰り返し、収束軌道を描きながら振動する${\displaystyle x_{f2}}$。

マッピングされる値は${\displaystyle x_{f2}}$マッピングを一度適用すると${\displaystyle f({\tilde {x}}_{f2})=x_{f2}}$ -->

一般的に、分岐図は分岐現象を理解する上で有用です。これらの図は、パラメータ a の関数として固定点 (または後述する周期点) x をグラフ化したもので、横軸に a、縦軸に x をとります。安定固定点と不安定固定点を区別するために、前者の曲線は実線で、後者は点線で描かれることがあります。ロジスティック写像の分岐図を描く場合、固定点を表す直線が用いられます。${\displaystyle x_{f1}=0}$ そして固定点を表す直線${\displaystyle x_{f2}=1-1/a}$ aとbを表す曲線はr=1で交差し、安定性が2つの間で切り替わることがわかる。

一般的に、r が3 から 1  + √ 6 ≈ 3.44949 の間にある場合、個体数は 2 つの値の間で永続的な振動に近づきます。これらの 2 つの値はrに依存し、 ^{[ 6 ]}で与えられます。 ${\displaystyle x_{\pm }={\frac {1}{2r}}\left(r+1\pm {\sqrt {(r-3)(r+1)}}\right)}$。

パラメータが正確に r = 3 の場合、軌道には固定点も存在する。${\displaystyle x_{f2}=1-1/r}$しかし、 変数の収束は、${\displaystyle 2<r<3}$。いつ${\displaystyle r=3}$導関数${\displaystyle f'(x_{f2})}$−1に達し、方程式(3-1)を満たさなくなる。rが3を超えると、${\displaystyle f'(x_{f2})<-1}$、 そして${\displaystyle x_{f2}}$不安定な固定点となる。つまり、別の分岐が${\displaystyle r=3}$。

のために${\displaystyle r=3}$周期倍分岐と呼ばれるタイプの分岐が発生する。${\displaystyle r>3}$、軌道はもはや一点に収束せず、十分な時間が経過した後でも大小の値の間を交互に繰り返す。例えば、${\displaystyle r=3.3}$変数は0.4794...と0.8236...の値の間で交互に変化します。

a = 3.3 の場合のスパイダー図と時系列。軌道は安定した 2 周期点に引き寄せられる。

同じ値を周期的に繰り返す軌道を周期軌道と呼びます。この場合、n → ∞ のときの変数の最終的な挙動は、2 つの周期を持つ周期軌道です。 周期軌道を構成する各値（点）を周期点と呼びます。a = 3.3 の例では、0.4794... と 0.8236... が周期点です。ある x が周期点である場合、2 つの周期点の場合、マップを x に 2 回適用すると、元の状態に戻ります。

この方程式にロジスティック写像方程式（1-2）を適用すると、結果は次のようになる。

これにより、次の4次方程式が得られます。この方程式の解は周期点です。実際には、2つの固定点${\displaystyle x_{f1}=0}$そして${\displaystyle x_{f2}=1-1/r}$ また、式(3-4)も満たす。したがって、式(3-5)の解のうち、2つは${\displaystyle x_{f1}}$そして${\displaystyle x_{f2}}$、そして残りの2つの解は2周期点である。2周期点を次のように表す。${\displaystyle x_{f1}^{(2)}}$そして${\displaystyle x_{f2}^{(2)}}$それぞれ、式（3-5）を解くことにより、以下のように得られる。

固定点の安定性に関する同様の理論は、周期点にも適用できます。つまり、周囲の軌道を引き付ける周期点は漸近安定な周期点と呼ばれ、周囲の軌道が遠ざかる周期点は不安定な周期点と呼ばれます。周期点の安定性は、固定点の場合と同様の方法で判定できます。一般の場合、以下を考えます。${\displaystyle f^{k}(x)}$マップのk回の反復後。${\displaystyle (f^{k})'(x)}$導関数 ${\displaystyle df^{k}(x)/dx}$k周期点の${\displaystyle x_{f}^{(k)}}$。 もし${\displaystyle x_{f}^{(k)}}$満たす：

それから${\displaystyle x_{f}^{(k)}}$漸近的に安定している。

それから${\displaystyle x_{f}^{(k)}}$不安定です。

周期点の安定性に関する上記の議論は、固定点の場合と同様に、グラフを描くことで容易に理解できます。この図では、横軸は xn、縦軸は${\displaystyle x_{n+2}}$、そして、ととの関係を示す曲線が描かれる。${\displaystyle x_{n+2}}$そして${\displaystyle x_{n}}$この曲線と45°直線の交点は式(3-4)を満たす点であり、したがって交点は固定点と2周期点を表す。ロジスティック写像のグラフ上では${\displaystyle f^{2}(x)}$固定点における接線の傾き${\displaystyle x_{f2}}$境界で1を超える${\displaystyle r=3}$そして不安定になる。同時に、周期点である2つの新たな交点が現れる。${\displaystyle x_{f1}^{(2)}}$そして${\displaystyle x_{f2}^{(2)}}$。

関係${\displaystyle x_{n+2}}$そして${\displaystyle x_{n}}$r = 2.7 のとき、周期倍分岐が発生する前。軌道は固定点に収束する。${\displaystyle x_{f2}}$。

関係${\displaystyle x_{n+2}}$そして${\displaystyle x_{n}}$r = 3 の場合。固定点における接線の傾き${\displaystyle x_{f2}}$がちょうど1の場合、周期倍分岐が発生する。

関係${\displaystyle x_{n+2}}$そして${\displaystyle x_{n}}$r = 3.3 の場合。${\displaystyle x_{f2}}$不安定になり、軌道は周期点に収束する${\displaystyle x_{f1}^{(2)}}$そして${\displaystyle x_{f2}^{(2)}}$。

ロジスティック写像の2つの周期点の微分係数を計算すると、結果は次のようになります。

これを式（3-7）に適用すると、パラメータaは次のようになる。

この範囲が${\displaystyle 3<r<1+{\sqrt {6}}}$つまり、rが超える場合${\displaystyle 1+{\sqrt {6}}=3.44949...}$2周期点は漸近的に安定ではなくなり、その挙動が変化する。

[0, 1] 内のほとんどすべての初期値は 2 周期点に引き寄せられますが、${\displaystyle x_{f1}=0}$そして${\displaystyle x_{f2}=1-1/a}$ は [0,1] 内の不安定な固定点として残ります。これらの不安定な固定点は、r が増加しても [0,1] 内に残り続けます。したがって、初期値がちょうど${\displaystyle x_{f1}}$または${\displaystyle x_{f2}}$軌道は2周期点に引き寄せられない。さらに、初期値が最終固定点である場合、${\displaystyle x_{f1}}$または最終固定点${\displaystyle x_{f2}}$軌道は2周期点に引き寄せられません。[0, 1]にはそのような最終固定点が無限に存在します。しかし、そのような点の数は実数[0, 1]の集合に比べると無視できるほど小さいです。

rが 3.44949 から 3.54409 (概算) の間であれば、ほぼすべての初期条件において、個体群は 4 つの値の間で恒常的な振動に近づきます。後者の数値は 12 次多項式の根です( OEISのシーケンスA086181 )。

rが 3.54409 を超えると、ほぼすべての初期条件から個体群は 8 個の値の間で振動し、次に 16、32 などと続きます。特定の長さの振動を生み出すパラメータ区間の長さは急速に減少し、連続する 2 つの分岐区間の長さの比は、Feigenbaum 定数δ ≈ 4.66920に近づきます。この挙動は周期倍分岐カスケードの一例です。

パラメータ r が超える場合${\displaystyle 1+{\sqrt {6}}=3.44949...}$以前は安定していた2周期点が不安定になり、安定な4周期点が生成され、軌道は4周期振動へと収束する。つまり、周期倍分岐が再び発生する。${\displaystyle r=3.44949...}$4周期点におけるxの値もまた

が満たされるため、この方程式を解くことで、4周期点における x の値を求めることができます。しかし、方程式 (3-11) は 16 次方程式であり、固定点と 2 周期点の 4 つの解を因数分解しても、依然として 12 次方程式です。したがって、2 周期点の場合と同様に 4 周期点の値を表す a の明示的な関数を得るためにこの方程式を解くことはもはやできません。

a が大きくなるにつれて、安定な 4 周期点ではさらに周期倍増が起こり、安定な 8 周期点になります。a が増加するにつれて、周期倍増分岐は無限に発生します。16、32、64、…、といった具合に無限周期、つまり元の値に戻らない軌道まで続きます。この無限の周期倍増分岐の系列はカスケードと呼ばれます。これらの周期倍増分岐は無限に発生しますが、分岐が発生する a の間隔は幾何級数的に減少します。したがって、パラメータ a が有限値に達する前に、無限の数の周期倍増分岐が発生します。r = 3 で発生する周期 1 から周期 2 への分岐を最初の周期倍増分岐とします。すると、この周期倍増分岐のカスケードでは、k 番目の分岐点で安定な 2k 周期点が発生します。 k番目の分岐点をa kと表記する。この場合、次のことが知られている。${\displaystyle r_{k}}$k → ∞ のとき、以下の値に収束する。（OEISのシーケンスA098587）

さらに、akの減少率は極限において一定値に達することが知られており、それは次の式で示される。

このδの値は、数理物理学者のミッチェル・ファイゲンバウムによって発見されたため、ファイゲンバウム定数と呼ばれている。 ${\displaystyle r_{\infty }}$はファイゲンバウム点と呼ばれます。周期倍分岐カスケードでは、${\displaystyle f^{m}}$ そして${\displaystyle f^{2m}}$適切なスケーリング変換を行うと、局所的に同一になるという性質を持つ。ファイゲンバウム定数は、この自己相似性を利用した繰り込みと呼ばれる手法によって求めることができる。周期倍分岐カスケードにおいてロジスティック写像が示す性質は、後述するように、より広範な写像クラスにおいても普遍的である。

あるパラメータに対する軌道の最終的な挙動の概要を把握するには、近似分岐図、すなわち軌道図が有用です。この図では、分岐図と同様に、横軸がパラメータ r、縦軸が変数 x です。コンピュータを使用してパラメータを決定し、例えば 500 回の反復計算を実行します。次に、最初の 100 個の結果は無視し、残りの 400 個の結果のみをプロットします。これにより、初期の過渡的な挙動を無視し、軌道の漸近的な挙動のみを捉えることができます。例えば、r に対して 1 つの点がプロットされている場合、それは固定点であり、r に対して m 個の点がプロットされている場合、それは m 周期軌道に対応します。ロジスティック写像の軌道図を描くと、安定な周期軌道を表す分岐がどのように分岐するか、つまり周期倍分岐の連鎖がどのように起こるかを確認できます。

パラメータが${\displaystyle r=r_{\infty }}$はまさに周期倍分岐カスケードの蓄積点であり、変数${\displaystyle x_{n}}$は決して閉じない非周期軌道に引き寄せられる。言い換えれば、無限周期の周期点が存在する。${\displaystyle r_{\infty }}$この非周期軌道はファイゲンバウムアトラクターと呼ばれます。${\displaystyle 2^{\infty }}$アトラクター。アトラクターとは、周囲の軌道を引き付ける性質を持つ領域を指す用語であり、最終的に引き込まれて継続する軌道のことです。前述の吸引固定点や周期点も、アトラクターの一種です。

ファイゲンバウム・アトラクターの構造は、カントール集合と呼ばれるフラクタル図形の構造と同じです。ファイゲンバウム・アトラクターを構成する点の数は無限であり、その濃度は実数に等しくなります。しかし、どの2点を選択しても、その間に必ず不安定な周期点が存在し、点の分布は連続的ではありません。ファイゲンバウム・アトラクターのフラクタル次元、すなわちハウスドルフ次元または容量次元は、約0.54であることが知られています。

パラメータ r = 4 のロジスティックマップのスパイダー図 (左) と初期値 n = 500 までの時系列 (右)${\displaystyle x_{0}}$= 0.3。

パラメータ r = 4 の場合、挙動は全範囲 [0, 1] でカオス的になります。このとき、リアプノフ指数 λ が最大となり、状態は最もカオス的になります。r = 4 のロジスティック写像の λ の値は正確に計算でき、その値は λ = log 2 です。カオスの厳密な数学的定義はまだ統一されていませんが、よく知られているカオスの定義の 1 つによれば、r = 4 のロジスティック写像は [0, 1] でカオス的であることが示せます。

点密度の不変尺度ρ(x)は、r = 4の場合の正確な関数ρ(x)によっても与えられる。

ここで、ρ(x)は、マップを反復したときに、点xnのうち微小区間[x,x+dx]内に入る点の割合がρ(x)dxで与えられることを意味します。r = 4のロジスティックマップの頻度分布は、[0, 1]の両側付近で密度が高く、x = 0.5で最も密度が低くなります。

r = 4 の場合、カオス軌道の他に、任意の周期の周期軌道も存在する。自然数 n の場合、グラフは${\displaystyle f_{r=4}^{n}(x)}$曲線は${\displaystyle 2^{n-1}}$ピークと${\displaystyle 2^{n-1}-1}$谷はすべて0と1に接しています。したがって、対角線とグラフの交点の数は${\displaystyle 2^{n}}$、そして${\displaystyle 2^{n}}$固定点${\displaystyle f^{n}(x)}$n周期点は常にこれらに含まれる${\displaystyle 2^{n}}$固定点なので、n周期軌道は存在する。${\displaystyle f_{r=4}^{n}(x)}$したがって、r = 4 の場合、[0, 1] 上には無限個の周期点が存在しますが、これらの周期点はすべて不安定です。さらに、区間 [0, 1] 内の集合は非可算無限ですが、周期点の数は可算無限であるため、初期値から始まるほとんどすべての軌道は周期的ではなく非周期的です。

カオスの重要な側面の一つは、決定論的性質と確率的性質という二重性です。力学系は決定論的プロセスですが、変数の範囲が適切に粗視化されると、確率的プロセスと区別がつかなくなります。r = 4 のロジスティック写像の場合、コイン投げの結果はロジスティック写像の軌跡で記述できます。これは次のように詳しく説明できます。

コインを1/2の確率で表または裏が出るように投げ、コインを繰り返し投げるとします。表が0、裏が1の場合、表、裏、表、裏などの結果は、01001...のような記号列になります。一方、軌道については、${\displaystyle x_{0},x_{1},x_{2},...}$ロジスティック写像では、x = 0.5 未満の値は 0 に変換され、x = 0.5 を超える値は 1 に変換され、軌跡は 0 と 1 からなる記号列に置き換えられます。たとえば、初期値が${\displaystyle x_{0}=0.2}$、 それから${\displaystyle x_{1}=0.64}$、${\displaystyle x_{2}=0.9216}$、${\displaystyle x_{3}=0.28901}$、...、したがって、軌跡は記号列0110...になります。${\displaystyle S_{C}}$前述のコイン投げの結果得られた記号列とし、${\displaystyle S_{L}}$後者のロジスティック写像から得られる記号列とする。記号列の記号は${\displaystyle S_{C}}$ランダムなコイン投げによって決定されたため、どんな数字の並びのパターンでも可能です。したがって、どんな文字列でも${\displaystyle S_{L}}$ロジスティックマップには、${\displaystyle S_{C}}$そして、「注目すべき」のは、その逆もまた真であるということです。${\displaystyle S_{C}}$これはロジスティックマップ軌跡によって実現できる。${\displaystyle S_{L}}$適切な初期値を選択することによって。つまり、任意の${\displaystyle S_{C}}$そこには、独自のポイントが存在する${\displaystyle x_{0}}$[0, 1] において、${\displaystyle S_{C}=S_{L}}$。

パラメータ r が 4 を超えると、ロジスティック写像グラフの頂点 r /4 が 1 を超えます。グラフが 1 を貫通する程度に応じて、軌跡は [0, 1] から外れることがあります。

r = 4 における分岐もまた一種の危機であり、具体的には境界危機である。この場合、[0, 1] のアトラクターは不安定になり崩壊し、その外側にはアトラクターが存在しないため、軌道は無限大に発散する。

一方、r > 4 の場合でも [0, 1] 内に留まる軌道も存在する。分かりやすい例としては、[0, 1] 内の固定点や周期点があり、これらは [0, 1] 内に留まる。しかし、固定点や周期点以外にも [0, 1] 内に留まる軌道が存在する。

させて${\displaystyle A_{0}}$f(x) > 1となるようなxの区間をf(x)とする。上記のように、一度変数が${\displaystyle x_{n}}$入る${\displaystyle A_{0}}$、マイナス無限大に発散します。また、${\displaystyle r_{n}}$[0, 1] の x は、${\displaystyle A_{0}}$マップを1回適用した後、このxの区間は2つに分割され、それらはまとめて${\displaystyle A_{1}}$同様に、4 つの区間がマッピングされます。${\displaystyle A_{1}}$地図を一度適用した後、それらはまとめて${\displaystyle A_{2}}$同様に、2n個の区間があります。${\displaystyle A_{n}}$到達する${\displaystyle A_{0}}$n回の反復後。したがって、間隔${\displaystyle \Lambda }$除去によって得られた${\displaystyle A_{n}}$[0, 1] から無限回繰り返される軌道は、I 内に残る軌道の集合です。

除去のプロセス${\displaystyle A_{n}}$[0, 1] から Λ を構築することは、上述のカントール集合の構築と類似しており、実際、Λ はカントール集合 ([0, 1] の閉じた、完全に不連結な、完全な部分集合) として [0, 1] に存在します。さらに、${\displaystyle \Lambda }$ロジスティックマップ${\displaystyle f_{r>4}}$混沌としている。

ロジスティック写像は生態学的モデルとして研究されることが多いため、パラメータ r が負の場合についてはほとんど議論されてこなかった。a が0 から減少するにつれて、−1 < r < 0 の場合、写像は漸近的に安定固定点 xf = 0 に近づくが、a が −1 を超えると、2 つの周期点に分岐し、正の値の場合と同様に、周期倍分岐を経てカオスに達する。最後に、a が −2 を下回ると、写像はプラス無限大に発散する。

パラメータ r が −2 から 4 の範囲にある場合の軌道図。パラメータ a がこの範囲を超えると、負の側と正の側の両方で軌道が分岐する。

特定のパラメータを持つロジスティックマップの場合${\displaystyle a}$時間を明示的に含む正確な解${\displaystyle n}$そして初期値${\displaystyle x_{0}}$以下のようにして得られた。

r = 4 の場合

r = 2 の場合

r = −2 の場合

上記の３つの正確な解を考慮すると、それらはすべて

漸化式の厳密解はごく少数のケースでしか得られませんが、0 ≤ r ≤ 1の場合、ロジスティック写像の閉形式の上限が知られています。^{[ 18 ]}この領域では、上限によって捉えられるべきロジスティック写像の挙動には 2 つの側面があります。定数rでの漸近的な幾何級数的減衰と、漸化式の(1 − x _n )項によって引き起こされる、 x _{0 が}1 に近いときの初期の急速な減衰です。次の上限は、これら 2 つの効果を捉えています。

$${\displaystyle \forall n\in \{0,1,\ldots \}\quad {\text{and}}\quad x_{0},r\in [0,1],\quad x_{n}\leq {\frac {x_{0}}{r^{-n}+x_{0}n}}.}$$

r = 4の特殊なケースは、r = 2の場合と同様に、実際には厳密に解くことができます。[ ^{19 ]ただし}、一般的なケースは統計的に予測することしかできません。^{[ 20 ]} r = 4 の場合の解は次のとおりです。^{[ 19 ] [ 21 ]}

$${\displaystyle x_{n}=\sin ^{2}\left(2^{n}\theta \pi \right),}$$

ここで、初期条件パラメータθは次のように与えられる。

$${\displaystyle \theta ={\tfrac {1}{\pi }}\sin ^{-1}\left({\sqrt {x_{0}}}\right).}$$

有理数θの場合、有限回の反復の後、x _nは周期的な数列に写像されます。しかし、ほとんどすべてのθは無理数であり、無理数θの場合、x _nは決して繰り返されず、非周期的です。この解方程式は、カオスの 2 つの重要な特徴である伸縮と折り畳みを明確に示しています。係数2 ⁿは伸縮の指数関数的増加を示し、初期条件に敏感に依存する結果となります。一方、正弦関数の 2 乗は、x _{n を}[0,1]の範囲内で折り畳んだ状態に保ちます。

r = 4の場合、三角関数の代わりに複素数を用いた同等の解は^{[ 19 ]}である。

$${\displaystyle x_{n}={\frac {-\alpha ^{2^{n}}-\alpha ^{-2^{n}}+2}{4}}}$$

ここでαは複素数のいずれかである。

$${\displaystyle \alpha =1-2x_{0}\pm {\sqrt {\left(1-2x_{0}\right)^{2}-1}}}$$

絶対値が1 に等しい。三角関数の解における正弦関数の二乗が、訪れる点の集合の縮小も拡大ももたらさないのと同様に、後者の解では、この効果はαの単位絶対値によって実現される。

対照的に、 r = 2の場合の解は^{[ 19 ]}である。

$${\displaystyle x_{n}={\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{2}}\left(1-2x_{0}\right)^{2^{n}}}$$

x ₀ ∈ [0,1)の場合。不安定な固定点 0 以外のx ₀の値に対して(1 − 2 x ₀ ) ∈ (−1,1)であるため、項(1 − 2 x ₀ ) ^{2 n}はnが無限大に近づくと 0 に収束し、x _{n は}安定な固定点1 / 2に収束します。

r = 4の場合、ほとんどすべての初期条件から反復列はカオス的になります。しかしながら、サイクルにつながる初期条件は無限に存在し、実際、すべての整数k > 0に対して長さkのサイクルが存在します。ロジスティック写像と二進変換(ビットシフト写像とも呼ばれる)の関係を利用することで、任意の長さのサイクルを見つけることができます。xがロジスティック写像x _{n + 1} = 4 x _n (1 − x _n )に従い、y が二進変換に従う場合、

$${\displaystyle y_{n+1}={\begin{cases}2y_{n}&0\leq y_{n}<{\tfrac {1}{2}}\\2y_{n}-1&{\tfrac {1}{2}}\leq y_{n}<1,\end{cases}}}$$

すると、両者は同相写像によって関連付けられる。

$${\displaystyle x_{n}=\sin ^{2}\left(2\pi y_{n}\right).}$$

2 進変換がビットシフトマップとも呼ばれる理由は、y をバイナリ表記で表すと、マップがバイナリポイントを 1 つ右に移動させる（そして、バイナリポイントの左のビットが「1」になった場合、この「1」は「0」に変更される）ためです。たとえば、反復処理のバイナリ展開に 3 ビットの繰り返しシーケンス (1 ビットの繰り返しシーケンスではない) がある場合、長さ 3 のサイクルが発生します。001、010、100、110、101、または 011。反復処理 001001001... は 010010010... にマッピングされ、これは 100100100... にマッピングされ、これは元の 001001001... にマッピングされます。したがって、これはビットシフトマップの 3 サイクルです。そして、他の 3 つのバイナリ展開繰り返しシーケンスは、3 サイクル 110110110... → 101101101... → 011011011... → 110110110... を与えます。これらの 3 サイクルのいずれも分数形式に変換できます。たとえば、最初に与えられた 3 サイクルは、⁠ 1 / 7 ⁠ → ⁠ 2 / 7 ⁠ → ⁠ 4 / 7 ⁠ → ⁠ 1 / 7 ⁠と書くことができます。上記のビットシフトマップから${\displaystyle r=4}$ロジスティックマップは、対応するロジスティックサイクル 0.611260467... → 0.950484434... → 0.188255099... → 0.611260467... を与えます。他のビットシフト3サイクルも同様に、対応するロジスティックサイクルに変換できます。同様に、任意の長さkのサイクルをビットシフトマップで見つけ、対応するロジスティックサイクルに変換できます。

しかし、[0,1)の範囲のほとんどすべての数は無理数であるため、ビットシフト写像のほとんどすべての初期条件はカオスの非周期性につながります。これは、ロジスティック写像r = 4がほとんどすべての初期条件でカオス的であることを示す一つの方法です。

r = 4のロジスティック写像( μ = 2のテント写像)の (最小) 長さk = 1, 2, 3,…のサイクルの数は、既知の整数列( OEISのシーケンスA001037 )です。2, 1, 2, 3, 6, 9, 18, 30, 56, 99, 186, 335, 630, 1161...。これは、r = 4のロジスティック写像には 2 つの不動点、長さ 2 のサイクルが 1 つ、長さ 3 のサイクルが 2 つなどがあることを意味します。このシーケンスは、素数kに対して特に単純な形式をとります。2 ⋅ ⁠ 2 ^{k − 1} − 1 / k ⁠。例えば、2 ⋅ ⁠ 2 ^{13 − 1} − 1 / 13 ⁠ = 630 は長さ 13 のサイクルの数です。このロジスティック写像の場合、ほとんどすべての初期条件でカオス的であるため、これらの有限長のサイクルはすべて不安定です。