代数幾何学の用語集

これは代数幾何学の用語集です。

可換代数の用語集、古典代数幾何学の用語集、環理論の用語集も参照してください。数論への応用については、算術とディオファントス幾何学の用語集を参照してください。

簡潔にするために、基本スキームへの参照はしばしば省略されます。つまり、スキームは、ある固定された基本スキームS上のスキームとなり、射はS射となります。

${\displaystyle \eta}$

一般的な点。たとえば、任意の積分アフィン方式のゼロイデアルに関連付けられた点。

F ( )、F ( )​

1. Xがセールのねじれ層 を持つ射影スキームであり、Fが -加群である場合、${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(1)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle F(n)=F\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {O}}_{X}(n).}$

2. Dがカルティエ因子で、F が- 加群（X は任意）である場合、 Dがヴェイユ因子で、Fが反射的であれば、F ( D ) をその反射包に置き換えます（そして結果を依然としてF ( D ) と呼びます）。${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle F(D)=F\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {O}}_{X}(D).}$

|ダ|

代数的に閉じた体k上の正規完備多様体X上のヴェイユ因子Dの完全線型系、つまり。| D | のk有理点の集合と、 Dと線型同値なX上の有効ヴェイユ因子の集合の間には一対一の関係がある。^[1] D がk上の完備多様体上のカルティエ因子である場合も、同じ定義が用いられる。 ${\displaystyle |D|=\mathbf {P} (\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X}(D)))}$

[X/G]

たとえば、代数空間 X を群スキームGの作用でスタックしたもの。

${\displaystyle X/\!/G}$

グループ スキームGのアクションによるスキームXのGIT商。

Ln^​

あいまいな表記。通常はLのn次テンソルの累乗を意味しますが、 Lの自己交差数を意味する場合もあります。 がX上の構造層である場合、 のn個の直和を意味します。${\displaystyle L={\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(-1)}$

トートロジー直線束。これはセールのねじれ層 の双対です。${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(1)}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(1)}$

セールのねじれ層。これはトートロジー直線束 の双対である。これは超平面束とも呼ばれる。${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(-1)}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D)}$

1. D がX上の有効カルティエ因子である場合、それはDの理想層の逆である。

2. ほとんどの場合、 は、カルティエ因子の群からXのピカール群（ X上の直線束の同型類の群）への自然な群準同型によるDの像です。${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D)}$${\displaystyle \operatorname {Pic} (X)}$

3. 一般に、はWeil 因子D (正規スキーム上)に対応する層です。 は局所的に自由である必要はなく、反射的であるだけでよいです。${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D)}$

4. Dが -因子である場合、 はDの整数部です。${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

${\displaystyle \Omega_{X}^{p}}$

1.  はX上のケーラー微分層である。${\displaystyle \オメガ _{X}^{1}}$

2.  は のp番目の外乗です。${\displaystyle \Omega_{X}^{p}}$${\displaystyle \オメガ _{X}^{1}}$

${\displaystyle \Omega _{X}^{p}(\log D)}$

1. pが 1 の場合、これはDに沿ったX上の対数ケーラー微分層です(ほぼ、因子Dに沿った単純な極を持つ微分形式です)。

2.  は のp番目の外乗です。${\displaystyle \Omega _{X}^{p}(\log D)}$${\displaystyle \Omega _{X}^{1}(\log D)}$

P (ヴ)

この表記法は曖昧である。その伝統的な意味は有限次元kベクトル空間Vの射影化である。すなわち、 (多項式関数の環k [ V ]のProj ) であり、そのk点はV内の直線に対応する。対照的に、ハーツホーンと EGA はVの対称代数の Proj をP ( V ) と書く。${\displaystyle \mathbf {P} (V)=\演算子名 {Proj} (k[V])=\演算子名 {Proj} (\演算子名 {Sym} (V^{*}))}$

Q階乗

すべての-Weil 因子が-Cartier である場合、正規多様体は -階乗です。${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

スペック( R )

ザリスキー位相を持つ環Rのすべての素イデアルの集合。これはRの素スペクトルと呼ばれます。

スペック_X（F）

O _X代数Fの相対Spec。Spec ( F ) または単に Spec( F )とも表記されます。

スペック^an ( R )

特定の弱い位相を持つ環Rのすべての値の集合。これはRのベルコビッチスペクトルと呼ばれます。

アーベル

1.アーベル多様体は完備群多様体です。例えば、複素多様体や有限体上の楕円曲線を考えてみましょう。${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}/\mathbb {Z} ^{2n}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$

2.アーベルスキームは、アーベル多様体の（平坦な）族です。

付加式

1. D が代数多様体X上の有効カルティエ因子であり、どちらも双対層 を許容する場合、付加公式は次のようになります 。${\displaystyle \omega _{D},\omega _{X}}$${\displaystyle \omega _{D}=(\omega _{X}\otimes {\mathcal {O}}_{X}(D))|_{D}}$

2. さらに、XとDが滑らかな場合、式は次のように言うことと同等になります。 ここで、はDとX上の標準因子です。${\displaystyle K_{D}=(K_{X}+D)|_{D}}$${\displaystyle K_{D},K_{X}}$

アフィン

1.  アフィン空間は、どの点が原点であるかを忘れたベクトル空間である。

2.アフィン多様体はアフィン空間内の多様体である

3.アフィンスキームは、ある可換環の素スペクトルであるスキームです。

4. 任意の開いたアフィン部分集合の原像が再びアフィンである場合、その射はアフィンと呼ばれます。より複雑な言葉で言えば、アフィン射は、環のスペクトルとの類推によって定義されるO _X代数の層のグローバルSpec構成によって定義されます。重要なアフィン射は、ベクトル束、および有限射です。

5.射影空間の閉部分多様体X上のアフィン円錐^{[曖昧さ回避]は、} Xの同次座標環の Spec です。

代数幾何学は、前世紀の数学において中心的な位置を占めていました。アーベル、リーマン、ワイエルシュトラスの最も深い成果、クラインとポアンカレの最も重要な論文の多くは、この領域に属しています。前世紀の終わりから今世紀の初めにかけて、代数幾何学に対する態度は突然変化しました。... 当時代数幾何学で完全に発達していた思考スタイルは、当時数学の発展を決定づけた集合論的かつ公理的な精神からかけ離れていました。... 今世紀の中頃、代数幾何学は、このような再形成の過程をかなり経ました。その結果、代数幾何学は、数学においてかつて占めていた地位を再び主張できるようになりました。

IR シャファレヴィッチ著『基礎代数幾何学』序文より。

代数幾何学

代数幾何学は代数方程式の解を研究する数学の分野です。

1つの要素を持つ体上の代数幾何学

一つの目標は、リーマン予想を証明することです。^[2] 1つの要素を持つ体と、Peña, Javier López、Lorscheid, Oliver (2009-08-31)「F_1-landのマッピング: 1つの要素を持つ体上の幾何学の概要」も参照してください。arXiv : 0909.0069 [math.AG] 。^{[3] [4]}も同様である 。

代数群

代数群は、群演算が多様体の射であるような形で群でもある代数多様体です。

代数スキーム

体上の有限型の分離されたスキーム。たとえば、代数多様体は、縮小された既約代数スキームです。

代数集合

体k上の代数集合は、 上の有限型の縮小された分離スキームです。既約代数集合は代数多様体と呼ばれます。${\displaystyle \operatorname {Spec} (k)}$

代数空間

代数空間は、エタール同値関係によるスキームの商です。

代数多様体

体k上の代数多様体は、上の有限型の整分離スキームです。kが代数的に閉じていると仮定しないと、何らかの異常が生じることに注意してください。たとえば、座標環は整域ではないため、 は多様体ではありません。${\displaystyle \operatorname {Spec} (k)}$${\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbb {C} \times _{\mathbb {R} }\operatorname {Spec} \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$

代数的ベクトル束

有限ランクの局所自由層。

十分な

射影多様体上の直線束は、その直線束の何らかのテンソル冪が非常に豊富である場合に豊富である。

アラケロフ幾何学

有理整数環の Specのコンパクト化上の代数幾何学。アラケロフ幾何学を参照。^[5]${\displaystyle \mathbb {Z} }$

算術種数

r次元の射影多様体Xの算術種数は です。${\displaystyle (-1)^{r}(\chi ({\mathcal {O}}_{X})-1)}$

アルティンスタック

代数スタックの別名。

アルティニアン

0 次元かつネーター。定義はスキームとリングの両方に適用されます。

ベーレンド関数

ベーレンド関数に関する（良い）スタックXの重み付きオイラー特性は、 Xの仮想基本クラスの次数です。

ベーレンドのトレースの公式

ベーレンドのトレース公式はグロタンディークのトレース公式を一般化したものです。どちらの公式もl進コホモロジー上のフロベニウスのトレースを計算します。

大きい

X上のn次元の大直線束 Lは、 となる直線束です。${\displaystyle \displaystyle \limsup _{l\to \infty }\operatorname {dim} \Gamma (X,L^{l})/l^{n}>0}$

双有理射

スキーム間の双有理射とは、ある開いた稠密な部分集合に制限された後に同型になる射です。双有理写像の最も一般的な例の 1 つは、爆発によって誘導される写像です。

爆発

ブローアップは、閉じた部分スキームを有効なカルティエ因子で置き換える双有理変換です。正確には、ネータースキームXと閉じた部分スキームが与えられた場合、 Zに沿ったXのブローアップは、 (1) が例外因子と呼ばれる有効なカルティエ因子であり、(2) が( 1) に関して普遍であるような適切な射です。具体的には、 Z を決定するイデアル層に関する のリース代数の相対 Proj として構築されます。${\displaystyle Z\subset X}$${\displaystyle \pi :{\widetilde {X}}\to X}$${\displaystyle \pi ^{-1}(Z)\hookrightarrow {\widetilde {X}}}$${\displaystyle \pi}$${\displaystyle O_{X}}$

カラビ・ヤウ

カラビ・ヤウ計量は、リッチ曲率がゼロであるケーラー計量です。

正統な

1. n次元の正規多様体X上の標準層は、i が滑らかな軌跡Uの包含であり、U上のn次微分形式の層である。 基底体が正規性ではなく特性 0 を持つ場合、i を特異点の解決に置き換えることができます。${\displaystyle \omega _{X}=i_{*}\Omega _{U}^{n}}$ ${\displaystyle \オメガ _{U}^{n}}$

2.正規多様体X上の標準類 は、 となるような因子類である。${\displaystyle K_{X}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(K_{X})=\omega _{X}}$

3.標準因子は、同じ記号で表される標準クラスの代表です（明確に定義されていません）。${\displaystyle K_{X}}$

4.正規多様体Xの標準環は標準層の切断環である。

標準モデル

標準モデルは標準環の射影です（環が有限生成であると仮定します）。

カルティエ

S上のスキームX上の有効なカルティエ因子 D は、 S上で平坦であり、その理想層が可逆である (局所的にランク 1 でない) Xの閉じたサブスキームです。

カステルヌオーヴォ・マンフォード正則性

スキームS上の射影空間上の連接層Fの カステルヌオーヴォ・マンフォード正則性は、${\displaystyle f:\mathbf {P} _{S}^{n}\to S}$

${\displaystyle R^{i}f_{*}F(ri)=0}$

すべてのi > 0 に対して。

カテナリー

2 つの既約な閉じた部分スキーム間のすべてのチェーンの長さが同じである場合、スキームはカテナリーです。例には、体上の多様体など、事実上あらゆるものが含まれ、カテナリーでない例を構築するのは困難です。

中心繊維

特殊な繊維。

チャウグループ

滑らかな多様体Xのk番目のChow 群は 、有理数同値性を法としてk次元の閉部分多様体( kサイクルの群)によって生成される自由アーベル群です。${\displaystyle A_{k}(X)}$

分類

1.  分類は数学全体における指針となる原則であり、特定の特性を満たすすべてのオブジェクトを、不変量や何らかの構成プロセスなどのよりアクセスしやすいデータによって、与えられた同値性まで記述しようとします。代数幾何学では、離散不変量と連続不変量を区別します。不変量を連続的に分類する場合、さらに、モジュライ空間につながる何らかの幾何学的構造を提供しようとします。

2.  代数的に閉体上の完全な 滑らかな 曲線は、種数によって有理同値性まで分類されます。(a)有理曲線、つまり、曲線は射影直線に対して双有理的です。(b)楕円曲線、つまり、曲線上の任意の点を恒等点として選択した後、曲線は完全な 1 次元群スキームになります。(c )双曲曲線、一般型曲線とも呼ばれます。例については、代数曲線を参照してください。滑らかな曲線の分類は、特に平面曲線に制限されている場合、射影的に埋め込まれた曲線の次数によって絞り込むことができます。すべての完全な滑らかな曲線は、射影空間への埋め込みを許容するという意味では射影的ですが、次数を明確に定義するには、そのような埋め込みの選択を明示的に指定する必要があることに注意してください。数体上の完全な滑らかな曲線の算術（特にその有理点の数と構造）は、代数閉包に変更された関連する曲線基底の分類によって決まります。算術的含意の詳細については、ファルティングスの定理を参照してください。 ${\displaystyle g}$${\displaystyle g=0}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle g=1}$${\displaystyle g\geq 2}$

3.有理同値性までの代数的に閉じた体上の完全な滑らかな表面の分類。詳細については、分類の概要またはEnriques–Kodaira 分類を参照してください。

4.同型性までの代数的閉体上の特異点および関連するザリスキ近傍の分類。(a) 特性 0 では、広中の分解の結果は、特異点を分類する不変量を特異点に結び付けます。(b) 曲線と曲面の場合、分解は分類ももたらす任意の特性で知られています。曲線についてはここを、曲線と曲面についてはここを参照してください。

5. 小さな次元におけるファノ多様体の分類。

6.最小モデル プログラムは、高次元 (少なくとも 2) の完全な滑らかな多様体の双有理分類へのアプローチです。本来の目標は滑らかな多様体に関するものですが、終端特異点が自然に現れ、より広い分類の一部となります。

7.代数的に閉じた体上の同型性までの分割簡約群の分類。

分類スタック

代数幾何学におけるトルソルの分類空間の類似物。分類スタックを参照してください。

閉鎖

スキームXの閉じた部分スキームは、次の構成で発生するものとして定義されます。J を-イデアルの準コヒーレントな層とします。商層の台はXの閉部分集合Zであり、イデアルの準コヒーレントな層Jによって定義される閉部分スキームと呼ばれるスキームです。^[6]閉じた部分スキームの定義がこのような構成に依存する理由は、開部分集合とは異なり、スキームの閉部分集合は部分スキームとしての一意の構造を持たないためです。${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}/J}$${\displaystyle (Z,({\mathcal {O}}_{X}/J)|_{Z})}$

コーエン・マコーレー

すべての局所環がコーエン・マコーレーであるとき、そのスキームはコーエン・マコーレーと呼ばれる。例えば、正則スキームやSpec k [ x,y ]/( xy )はコーエン・マコーレーであるが、 違います。

一貫した束

ノイザンスキームX上のコヒーレント層は、 O _Xモジュールとして有限生成される準コヒーレント層です。

円錐形

2次の代数曲線。

接続された

このスキームは位相空間として連結している。連結成分は既約成分を細分化するため、あらゆる既約スキームは連結しているが、その逆は成り立たない。アフィンスキーム Spec(R)が連結であるためには、環R が0 と 1 以外の冪等性を持たないことが必要である。このような環は連結環とも呼ばれる。連結スキームの例には、アフィン空間、射影空間などがあり、連結されていないスキームの例には Spec ( k [ x ]× k [ x ])がある。

コンパクト化

例えば永田のコンパクト化定理を参照してください。

コックスリング

同次座標環の一般化。Cox環を参照してください。

クレパント

正規多様体間のクレパント射 とは、 となる射である。${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle f^{*}\omega _{Y}=\omega _{X}}$

曲線

次元 1 の代数多様体。

変形

をスキームの射とし、 X をSスキームとします。すると、 Xの変形X ' は、 XがX 'のプルバックであるプルバック スクエアを伴うS ' スキームになります(通常、X ' は平坦であると想定されます)。${\displaystyle S\to S'}$

縮退遺伝子座

多様体X上のベクトル束写像（つまり、束の全空間間のスキームX射）が与えられた場合、退化軌跡は（スキーム理論的な）軌跡です 。${\displaystyle f:E\to F}$${\displaystyle X_{k}(f)=\{x\in X|\operatorname {rk} (f(x))\leq k\}}$

退化

1.一般的なファイバーXと特殊なファイバーを持つスキームがある場合、スキームX はスキーム( Xの極限と呼ばれる) に退化すると言われます。${\displaystyle X_{0}}$${\displaystyle \pi :Y\to \mathbf {A} ^{1}}$ ${\displaystyle X_{0}}$

2.平坦退化とは、 が平坦であるような退化です。${\displaystyle \pi}$

寸法

次元は、定義により、既約な閉じたサブスキームのチェーンの最大長であり、グローバルなプロパティです。スキームが既約である場合、これはローカルに確認できます。これはトポロジーのみに依存し、構造層には依存しません。グローバル次元も参照してください。例:次元の等次元スキーム0:アルティンスキーム、1:代数曲線、2:代数曲面。

程度

1. 完備多様体上の直線束Lの次数は、となる整数dです。${\displaystyle \chi (L^{\otimes m})={d \over n!}m^{n}+O(m^{n-1})}$

2. x が体k上の完備多様体上のサイクルである場合、その次数は です。${\displaystyle f:X\to \operatorname {Spec} k}$${\displaystyle f_{*}(x)\in A_{0}(\operatorname {Spec} k)=\mathbb {Z} }$

3. 有限射の次数については、多様体の射#有限射の次数を参照してください。

派生代数幾何学

可換環の代わりに（可換）環スペクトルを使用する代数幾何学へのアプローチ。導来代数幾何学を参照。

除算的な

1.正規多様体上の因子層は、あるヴェイユ因子Dに対してO _X ( D )の形をとる反射層である。

2.除数スキームは、可逆層の十分な族を許容するスキームです。十分な可逆層を許容するスキームは基本的な例です。

支配的な

射f  : X → Yは、像f ( X ) が稠密である場合に優勢と呼ばれます。アフィン スキームSpec A → Spec B の射が稠密であるためには、対応する写像B → Aの核がBの nilradical に含まれている必要があります。

二重化複合体

コヒーレント双対性を参照してください。

双対束

純粋次元nの射影コーエン・マコーレースキームでは、双対化層はX上の 任意の局所自由層Fに対して成り立つような X上の連接層です。たとえば、X が滑らかな射影多様体である場合、それは標準層です。${\displaystyle \omega}$${\displaystyle H^{ni}(X,F^{\vee }\otimes \omega )\simeq H^{i}(X,F)^{*}}$

幾何学の要素

EGAは、代数多様体の一般化であるスキームの概念に基づいて代数幾何学の基礎を築く不完全な試みでした。Séminaire de géométrie algébrique は、 EGA が中断したところから始まり、今日では代数幾何学の標準的な参考書の 1 つとなっています。

楕円曲線

楕円曲線は種数 1 の滑らかな射影曲線です。

本質的に有限型

有限型スキームのローカライズ。

エタール

射f  : Y → Xは平坦かつ非分岐である場合にエタールである。同値な定義は他にもいくつかある。滑らかな多様体および代数閉体の場合、エタール射はまさに接空間の同型を誘導する射であり、これは微分幾何学におけるエタール写像の通常の概念と一致する。エタール射は非常に重要な射のクラスを形成し、いわゆるエタール位相を構築するために使用され、その結果としてエタールコホモロジーが構築され、今日では代数幾何学の基礎の 1 つとなっている。${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle df:T_{y}Y\rightarrow T_{f(y)}X}$

オイラー数列

層の正確な順序:

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{\mathbf {P} ^{n}}\to {\mathcal {O}}_{\mathbf {P} ^{n}}(1)^{\oplus (n+1)}\to T\mathbf {P} ^{n}\to 0,}$

ここで、P ^{n は}体上の射影空間であり、最後の非ゼロ項は接層であり、オイラー列と呼ばれます。

同変交差理論

http://www.math.ubc.ca/~behrend/cet.pdf の第 2 章を参照してください。

F -レギュラー

フロベニウス写像と関連がある。^[7]

ファノ

ファノ多様体は、反標準層が十分な滑らかな射影多様体 Xです。${\displaystyle \omega _{X}^{-1}}$

ファイバ

スキーム間で与えられると、 y上のfのファイバーは、集合として、原像 です。ファイバー積 として、 yの剰余体上のスキームの自然な構造を持ちます。ここで、 は、yの剰余体の Spec として、Y上のスキームの自然な構造を持ちます。${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle f^{-1}(y)=\{x\in X|f(x)=y\}}$${\displaystyle X\times _{Y}\{y\}}$${\displaystyle \{y\}}$

繊維製品

1.カテゴリー理論における「プルバック」の別名。

2.に対して与えられたスタック: B上のオブジェクトは三つ組 ( x , y , ψ )、xはF ( B )、yはH ( B )、 ψ はG ( B )の同型である; ( x , y , ψ ) から ( x' , y ' , ψ' ) への矢印は、 となる射のペアである。結果として得られる明らかな射影を持つ正方形は可換ではなく、むしろ自然同型まで可換である、すなわち 2 可換である。${\displaystyle F\times _{G}H}$${\displaystyle f:F\to G,g:H\to G}$${\displaystyle f(x){\overset {\sim }{\to }}g(y)}$${\displaystyle \alpha :x\to x',\beta :y\to y'}$${\displaystyle \psi '\circ f(\alpha )=g(\beta )\circ \psi }$

ファイナル

グロタンディークの基本的な考え方の 1 つは、相対的な概念、つまりスキーム自体の条件ではなく射の条件を強調することです。スキームのカテゴリには、整数の環のスペクトルという最終オブジェクトがあります。そのため、任意のスキームは上にあり、一意に存在します。${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\textrm {Spec}}(\mathbb {Z} )}$

有限

射f  : Y → Xが有限であるとは、それぞれがアフィンである（つまり、 の形式である）ようなアフィン開集合で覆われ、さらに- 加群として有限生成される場合を言う。有限射を参照。有限射は準有限であるが、有限ファイバーを持つ射がすべて準有限であるとは限らず、有限型の射は通常準有限ではない。${\displaystyle X}$${\displaystyle {\text{Spec }}B}$${\displaystyle f^{-1}({\text{Spec }}B)}$${\displaystyle {\text{Spec }}A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

有限型（ローカル）

射f  : Y → Xは、各逆像がそれぞれ- 代数として有限生成されるアフィン開集合で覆われるようなアフィン開集合で覆われる場合、局所的に有限型です。 射f  : Y → Xは、各逆像がそれぞれ- 代数として有限生成される有限個のアフィン開集合で覆われるようなアフィン開集合で覆われる場合、局所的に有限型です。${\displaystyle X}$${\displaystyle {\text{Spec }}B}$${\displaystyle f^{-1}({\text{Spec }}B)}$${\displaystyle {\text{Spec }}A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\text{Spec }}B}$${\displaystyle f^{-1}({\text{Spec }}B)}$${\displaystyle {\text{Spec }}A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

有限繊維

各点上のファイバーが有限集合である場合、射f  : Y → Xには有限ファイバーがあります。射が有限型であり、有限ファイバーを持つ場合、射は準有限です。${\displaystyle x\in X}$

有限プレゼンテーション

y がYの点である場合、射f がyにおいて有限表示である（またはyにおいて有限表示されている）とは、 f(y)の開アフィン近傍Uとyの開アフィン近傍Vが存在して、 f ( V ) ⊆  Uであり、 が上の有限表示代数であるときである。射f が局所的に有限表示であるとは、 Yのすべての点で有限表示されているときである。X が局所的にネーターである場合、f が局所的に有限表示であるとは、局所的に有限型である場合に限る。^[8] 射f  : Y → Xが有限表示である（またはYがX上で有限表示されている）とは、局所的に有限表示、準コンパクト、および準分離である場合である。X が局所的にネーターである場合、fが有限表示であるとは、有限型である場合に限る。^[9]${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}(V)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$

旗の種類

旗多様体はベクトル空間の旗をパラメータ化します。

フラット

射が平坦であるとは、茎上に平坦な写像を生じる場合である。射f  : Y → Xを の点によってパラメータ化されたスキームの族として見ると、平坦性の幾何学的意味は、ファイバーがあまり大きく変化しないと言うことで大まかに説明できる。${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f^{-1}(x)}$

フォーマル

正式なスキームを参照してください。

グレード^​_​

曲線C、その上の因子D、ベクトル部分空間が与えられたとき、 V が次元r +1 を持ち、D が次数d を持つ場合、線型システムはag ^r _dであると言えます。そのような線型システムが存在する場合、C はag ^r _dを持つと言えます。${\displaystyle V\subset H^{0}(C,{\mathcal {O}}(D))}$${\displaystyle \mathbb {P} (V)}$

ガブリエル・ローゼンベルク再構成定理

ガブリエル・ローゼンバーグ再構成定理は、スキームX はX上の準連接層のカテゴリから復元できることを述べています。^{[10]この定理は、}非可換代数幾何学の出発点です。定理を公理とすると、非可換スキームを定義することは、その上の準連接層のカテゴリを定義することと同じだからです。https://mathoverflow.net/q/16257も参照してください。

Gバンドル

主要な G バンドル。

一般的なポイント

密な点。

属

#算術種数、#幾何種数 を参照してください。

属式

射影平面の節点曲線の種数式によれば、曲線の種数は次のように表されます。 ここで、 dは曲線の次数、δ は節点の数 (曲線が滑らかな場合は 0) です。${\displaystyle g=(d-1)(d-2)/2-\delta }$

幾何学的属

n次元の滑らかな射影多様体Xの幾何学的種数は (等式はセールの双対性定理)です 。${\displaystyle \dim \Gamma (X,\Omega _{X}^{n})=\dim \operatorname {H} ^{n}(X,{\mathcal {O}}_{X})}$

幾何学的点

代数的に閉じた体の素スペクトル。

幾何学的性質

体k上のスキームXの性質は、任意の体拡大に対して成り立つ場合、「幾何学的」である。${\displaystyle X_{E}=X\times _{\operatorname {Spec} k}{\operatorname {Spec} E}}$${\displaystyle E/k}$

幾何商

スキームX とグループ スキームGの作用との幾何商は、ファイバーが軌道であるような良好な商です。

ガーベ

ガーベは（大まかに言えば）局所的に空ではなく、2 つのオブジェクトが局所的に同型であるスタックです。

GIT 指数

GIT商は 、およびのときです。${\displaystyle X/\!/G}$${\displaystyle \operatorname {Spec} (A^{G})}$${\displaystyle X=\operatorname {Spec} A}$${\displaystyle \operatorname {Proj} (A^{G})}$${\displaystyle X=\operatorname {Proj} A}$

良い商

スキームXと群スキームGの作用との良好な商は、不変射であり、${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle (f_{*}{\mathcal {O}}_{X})^{G}={\mathcal {O}}_{Y}.}$

ゴレンシュタイン

1.ゴレンシュタインスキームは、局所環がゴレンシュタイン環である局所ノイザンスキームです。

2. 正規多様体は、その標準因子が -Cartier である場合に -Gorensteinであると言われる（Cohen–Macaulay である必要はない）。${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

3. 正規因子がカルティエである場合、一部の著者は正規多様体をゴレンシュタインと呼ぶ。この用法は意味 1 と矛盾する点に注意すること。

グラウエルト・リーメンシュナイダー消失定理

グラウエルト・リーメンシュナイダー消失定理は、小平消失定理を高次の直接像層に拡張したものである。https://arxiv.org/abs/1404.1827 も参照のこと。

グロタンディーク多様体環

多様体のグロタンディーク環は、多様体の同型類によって生成される自由アーベル群であり、関係式は次の通りである。 ここでZは多様体Xの閉部分多様体であり、乗法 ${\displaystyle [X]=[Z]+[X-Z]}$${\displaystyle [X]\cdot [Y]=[X\times Y].}$

グロタンディークの消失定理

グロタンディークの消失定理は局所コホモロジーに関するものです。

グループスキーム

群スキームとは、点の集合が群の構造を持つスキームです。

グループ多様性

「滑らかな」代数群を表す古い用語。

ヒルベルト多項式

体上の射影スキームXのヒルベルト多項式はオイラー特性です。${\displaystyle \chi ({\mathcal {O}}_{X}(s))}$

ホッジバンドル

曲線のモジュライ空間（種数が固定）上のホッジ束は、曲線C上のファイバーがベクトル空間であるベクトル束です。${\displaystyle \Gamma (C,\omega _{C})}$

超楕円形

曲線が超楕円曲線であるとは、 g ¹ ₂を持つ場合です(つまり、次元 1 および次数 2 の線型システムが存在する場合です)。

超平面束

セールのねじれ層 の別名。これはトートロジー直線束の双対である（この用語の由来）。${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(1)}$

画像

f  : Y → Xがスキームの任意の射である場合、 fのスキーム理論的像は、次の普遍的性質を満たす唯一の閉じたサブスキームi  : Z → Xです。

1. f はi を介して因数分解され、
2. j  : Z ′ → X がXの任意の閉部分スキームで、f がjを介して因数分解される場合、iもjを介して因数分解される。^{[11] [12]}

この概念は、 f、f ( Y ) の通常の集合論的イメージの概念とは異なります。たとえば、Zの基底空間には、 Xにおけるf ( Y )のザリスキ閉包が常に含まれます (ただし、必ずしも等しいとは限りません) 。そのため、 Y がXの任意の開いた (閉じていない) サブスキームであり、fが包含写像である場合、Z はf ( Y )とは異なります。Yが簡約されている場合、Z は、簡約された閉じたサブスキームの構造を備えたf ( Y )のザリスキ閉包です。ただし、一般に、fが準コンパクトでない限り、 Zの構成はX上で局所的ではありません。

没入

浸漬 f  : Y → X は、部分スキームを持つ同型を介して因数分解される写像である。具体的には、開いた浸漬は開いた部分スキームを持つ同型を介して因数分解され、閉じた浸漬は閉じた部分スキームを持つ同型を介して因数分解される。 ^[13]同様に、fが閉じた浸漬であるためには、 Yの基礎位相空間からXの基礎位相空間の閉じた部分集合への同相写像を誘導し、その射影が射影的である必要がある。^[14]浸漬の合成もまた浸漬である。^[15] Hartshorne の著書Algebraic Geometryや Q. Liu の著書Algebraic Geometry and Arithmetic Curvesなど、一部の著者は、浸漬を開いた浸漬とそれに続く閉じた浸漬の合成として定義している。これらの浸漬は上記の意味での浸漬であるが、その逆は偽である。さらに、この定義では、2 つの浸漬の合成は必ずしも浸漬ではない。しかし、fが準コンパクトな場合、2 つの定義は同値である。^[16] 開いた浸漬は位相空間の意味でその像によって完全に記述されるのに対し、閉じた浸漬はそうではないことに注意する。また、同相であっても同型ではない可能性がある。これは、たとえば、I がJの根基であるが、J が根基イデアルでない場合などに発生する。スキーム構造に言及せずにスキームの閉じた部分集合を指定する場合、通常はいわゆる縮小スキーム構造、つまり、その閉じた部分集合上で消えるすべての関数からなる唯一の根基イデアルに対応するスキーム構造を意味する。${\displaystyle f^{\sharp }:{\mathcal {O}}_{X}\to f_{*}{\mathcal {O}}_{Y}}$${\displaystyle \operatorname {Spec} A/I}$${\displaystyle \operatorname {Spec} A/J}$

インドスキーム

ind -scheme は、スキームの閉じた浸漬の帰納的極限です。

可逆束

ランク 1 の局所自由層。同様に、乗法群(つまり、直線束)のトルサーです。${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$

積分

既約かつ既約なスキームは積分と呼ばれます。局所ノイザンスキームの場合、積分であることは、積分領域のスペクトルによってカバーされる連結スキームであることと同等です。（厳密に言えば、 2 つの積分スキームの互いに素な和は積分ではないため、これは局所的な特性ではありません。ただし、既約なスキームの場合、これは局所的な特性です。）たとえば、スキームSpec k [ t ]/ f、f 既約多項式は積分ですが、Spec A × B ( A、B ≠ 0) は積分ではありません。

還元不可能な

スキームXは、（位相空間として）2 つの閉部分集合の和集合ではないが、一方がXに等しい場合に既約であると言われる。アフィン スキームにおける素イデアルと点の対応を用いると、これは、 X が連結であり、環 A i がすべてちょうど 1 つの極小素イデアルを持つ場合に限り、 X が既約であることを意味する。（したがって、_極小素イデアルを 1 つだけ持つ環は、既約ではないとも呼ばれる。）任意のネーター スキームは、その既約成分と呼ばれる、有限個の極大既約な空でない閉部分集合の和集合として一意に記述できる。アフィン空間と射影空間は既約であるが、 Spec k [ x,y ]/( xy ) = 違います。