ガウス和

代数的整数論において、ガウス和またはガウス和は、典型的には 1の根の有限和の特定の種類である。

G(\chi ):=G(\chi ,\psi )=\sum \chi (r)\cdot \psi (r)

ここで、和はある有限可換環 $Rの元$ $r$ についてであり、 $ψ は$ 加法群 $R$ $+$ の単位円への群準同型であり、 $χ$ は単位群 $R$ $\times$ の単位円への群準同型で、非単位 $r$ に拡張され、値 0 をとる。ガウス和は、ガンマ関数の有限体に対する類似物である。^[1]

このような和は整数論ではいたるところに見られる。例えば、ディリクレ $L$ 関数の関数方程式に現れるが、ディリクレ指標 $χ$ に対して、 $L (s, χ)$ と $L (1 - s, χ$ )（ここで、 $χ$ は $χ$ の複素共役）を関係付ける方程式には因子^[^{説明が必要}^{]が含まれる。}

{\frac {G(\chi )}{|G(\chi )|}}.

歴史

カール・フリードリヒ・ガウスが最初に考えた場合は、 $R が$ 素数 $p を$ 法とする留数体、χ $が$ ルジャンドル記号である二次ガウス和でした。この場合、ガウスは、 $p が$ それぞれ 4 を法として 1 または 3 と合同であるとき、 $G$ $($ $χ$ $) =$ $p$ $1$ $⁄$ $2$ または $ip$ $1$ $⁄$ $2$ であることを証明しました (二次ガウス和は、フーリエ解析や輪郭積分によっても評価できます)。 $.mw-parser-output .frac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .frac .num,.mw-parser-output .frac .den{font-size:80%;line-height:0;vertical-align:super}.mw-parser-output .frac .den{vertical-align:sub}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}$

このガウス和の別の形式は

\sum e^{2\pi ir^{2}/p}

。

二次ガウス和はシータ関数の理論と密接に関係しています。

ガウス和の一般理論は、ヤコビ和と円分体におけるその素分解を用いて、19 世紀初頭に開発されました $。N を$ $法とする$ 整数の剰余環上のガウス和は、ガウス周期と呼ばれる密接に関連した和の線形結合です。

ガウス和の絶対値は、通常、有限群に対するプランシュレルの定理の応用として求められます。R $が$ $p$ 個の元の体で $χ$ が非自明な場合、絶対値は $p 1 ⁄ 2$ です。二次の場合のガウスの結果に従って、一般的なガウス和の正確な値を決定することは、長年の課題です。いくつかのケースについては、クンマー和を参照してください。

ディリクレ指標のガウス和の性質

ディリクレ指標の $N$ を法としたガウス和は

G(\chi )=\sum _{a=1}^{N}\chi (a)e^{2\pi ia/N}.

$χ$ も原始的であれば、

|G(\chi )|={\sqrt {N}},

特に、それはゼロではない。より一般的には、 $N 0 が$ $χ$ の伝導体であり、 $χ$ $0が$ $N$ $0$ $を法としてχ を$ 誘導する原始ディリクレ指標である場合、 $χ$ のガウス和は $χ$ $0$ のガウス和と次のように関係する。

G(\chi )=\mu \left({\frac {N}{N_{0}}}\right)\chi _{0}\left({\frac {N}{N_{0}}}\right)G\left(\chi _{0}\right)

ここで、 $μ は$ メビウス関数です。したがって、 $G (χ)$ がゼロでないのは、 $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠いいえ/0いいえ⁠ は$ 平方根がなく、 $N$ $0$ と互いに素である。^[2]

$G (χ)$ と他のキャラクターのガウス和との間の他の関係としては、

G({\overline {\chi }})=\chi (-1){\overline {G(\chi )}},

ここで $χは$ 複素共役ディリクレ指標であり、 $χ'が$ $N'を$ 法とするディリクレ指標で $N$ と $N'$ が互いに素であるとき、

G\left(\chi \chi ^{\prime }\right)=\chi \left(N^{\prime }\right)\chi ^{\prime }(N)G(\chi )G\left(\chi ^{\prime }\right).

$χ$ と $χ$ $' が$ 同じ係数である( $χχ$ $'$ が原始的である)場合の $G (χχ')$ 、 $G (χ)$ 、および $G (χ')$ 間の関係は、ヤコビ和 $J$ $($ $χ$ $,$ $χ$ $')$ によって測定されます。。具体的には、

G\left(\chi \chi ^{\prime }\right)={\frac {G(\chi )G\left(\chi ^{\prime }\right)}{J\left(\chi ,\chi ^{\prime }\right)}}.

その他の特性

ガウス和は、二次相互性、三次相互性、四次相互性を証明するために使用できます。
ガウス和は有限体上の多項式方程式の解の数を計算するために使用でき、したがって特定のゼータ関数を計算するために使用できます。

参照

参考文献

^ BH GrossとN. Koblitz。ガウス和とp進Γ関数。Ann. of Math. (2), 109(3):569–581, 1979。
^ HL Montgomery、RC Vaughan、 「乗法数論。I. 古典理論」、Cambridge Studies in Advanced Mathematics、97、(2006)の定理9.10 。

アポストル、トム・M. (1976)、解析的数論入門、数学の学部テキスト、ニューヨーク-ハイデルベルグ：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-90163-3、MR 0434929、Zbl 0335.10001
Berndt, BC ; Evans, RJ; Williams, KS (1998)。ガウスとヤコビの和。カナダ数学協会モノグラフおよび上級テキストシリーズ。Wiley。ISBN 0-471-12807-4.ZBL0906.11001 。
アイルランド、ケネス、ローゼン、マイケル (1990)。現代数論への古典的入門。数学大学院テキスト。第 84 巻 (第 2 版)。Springer - Verlag。ISBN 0-387-97329-X.ZBL0712.11001 。
Iwaniec, Henryk ; Kowalski, Emmanuel (2004) 「解析的数論」第3.4節、アメリカ数学会コロキウム出版、第53巻、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会、ISBN 978-0-8218-3633-0、MR 2061214、Zbl 1059.11001

[1] BH GrossとN. Koblitz。ガウス和とp進Γ関数。Ann. of Math. (2), 109(3):569–581, 1979。

[2] ^ HL Montgomery、RC Vaughan、 「乗法数論。I. 古典理論」、Cambridge Studies in Advanced Mathematics、97、(2006)の定理9.10 。