リンク番号

数学において、連結数とは、 3 次元空間で2 つの閉曲線の連結を表す数値不変量です。直感的には、連結数は各曲線が他の曲線の周りを巻く回数を表します。ユークリッド空間では、連結数は常に整数ですが、 2 つの曲線の方向に応じて正または負になることがあります(ほとんどの3 次元多様体では連結数が分数になるか、まったく存在しない場合もあり、これは当てはまりません)。

連結数は連結積分の形でガウスによって導入され、結び目理論、代数的位相幾何学、微分幾何学における重要な研究対象であり、量子力学、電磁気学、DNAの超らせん構造の研究など、数学や科学の分野で数多くの応用がある。

空間内の任意の 2 つの閉じた曲線は、それ自体は通過できるが互いは通過できない場合、次の標準位置のいずれかに移動できます。これにより、リンク数が決定されます。

各曲線はこの運動中に自分自身を通過する可能性がありますが、2 つの曲線は最初から最後まで分離されたままでなければなりません。これは、通常のホモトピーとして形式化され、さらに各曲線が単なるマップではなく、はめ込みであることを必要とします。ただし、この追加条件によってリンク数の定義は変更されません (曲線が常にはめ込みである必要があるかどうかは関係ありません)。これは、h原理(ホモトピー原理) の例であり、幾何学が位相幾何学に還元されることを意味します。

この事実 (リンク数が唯一の不変量である) は、1 つの円を標準位置に置き、リンク数が他の円の唯一の不変量であることを示すことによって最も簡単に証明されます。詳細:

• 単一の曲線は、標準の円に対して正則なホモトピックです (曲線がそれ自身を通過することが許されていれば、どんな結び目も解くことができます)。3次元空間は収縮可能であり、それへのすべての写像はホモトピックであるため、ホモトピックであるという事実は明らかですが、これが浸漬によって実行可能であるという事実は、何らかの幾何学的議論を必要とします。
• 標準円の補集合は、点が除去された立体トーラスと同相です(これは、3 次元空間を無限遠点が除去された 3 次元球面と解釈し、3 次元球面を境界に沿って接着された 2 つの立体トーラスと解釈することで確認できます)。または、補集合を直接分析することもできます。
• 3 次元空間から円を除いた基本群は、連結数に対応する整数です。これは、 Seifert-Van Kampen の定理からわかります(無限遠点を追加して立体トーラスを得るか、円を追加して 3 次元空間を得るかのいずれかによって、目的の空間の基本群を計算できます)。
• したがって、3 次元空間内の曲線から円を引いたもののホモトピー類は、連結数によって決定されます。
• 正則ホモトピー類は連結数によって決定されることも事実であり、これには追加の幾何学的議論が必要です。

リンクダイアグラムから2つの曲線のリンク数を計算するアルゴリズムがあります。次の規則に従って、各交差に正または負のラベルを付けます。 ^[1]

正の交差の総数から負の交差の総数を引いた値は、リンク数の2 倍に等しくなります。つまり、

${\displaystyle {\text{リンク数}}={\frac {n_{1}+n_{2}-n_{3}-n_{4}}{2}}}$

ここで、n ₁、n ₂、n ₃、n _{4 は}、4つのタイプのそれぞれの交差数を表します。2つの合計とは常に等しく、^[2]次の代替式につながります。 ${\displaystyle n_{1}+n_{3}\,\!}$${\displaystyle n_{2}+n_{4}\,\!}$

${\displaystyle {\text{リンク数}}\,=\,n_{1}-n_{4}\,=\,n_{2}-n_{3}.}$

この式には、青い曲線と赤い曲線の交差のみが含まれ、 には交差のみが含まれま す。 ${\displaystyle n_{1}-n_{4}}$${\displaystyle n_{2}-n_{3}}$

• リンクされていない 2 つの曲線のリンク番号は 0 です。ただし、リンク番号が 0 の 2 つの曲線がリンクされている場合もあります (例: Whitehead リンク)。
• どちらかの曲線の方向を反転するとリンク数は反転しますが、両方の曲線の方向を反転してもリンク数は変化しません。
• リンク数はキラルです。リンクの鏡像を取るとリンク数は反転します。正のリンク数の規則は右手の法則に基づいています。
• x - y平面内の有向曲線の巻数は、 z軸との連結数に等しくなります( z軸を3 次元球面内の閉じた曲線と考えると)。
• より一般的には、どちらかの曲線が単純であれば、その補曲線の最初のホモロジー群はZと同型です。この場合、リンク数は他の曲線のホモロジー類によって決まります。
• 物理学では、リンク数はトポロジカル量子数の一例です。

交差しない2つの微分可能曲線が与えられたとき、トーラスから球面へのガウス写像を次のように 定義する。${\displaystyle \gamma _{1},\gamma _{2}\colon S^{1}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \ガンマ}$

${\displaystyle \Gamma (s,t)={\frac {\gamma _{1}(s)-\gamma _{2}(t)}{|\gamma _{1}(s)-\gamma _ {2}(t)|}}}$

単位球面上の点vを選び、リンクをvに垂直な平面に正射影するとリンク図が得られるようにします。ガウス写像の下でvに向かう点 ( s , t ) は、が 上にあるリンク図の交差点に対応することに注意してください。また、 ( s , t )の近傍は、ガウス写像の下でvの近傍に写像されますが、その向きは交差の符号に応じて維持または反転します。したがって、vに対応する図のリンク数を計算するには、ガウス写像がv を覆う符号付きの回数を数えるだけで十分です。v は正則値であるため、これはまさにガウス写像の次数(つまり、 Γ の像が球を覆う符号付きの回数) です。次数はホモトピック写像の下で不変であるため、リンク数のアイソトピー不変性は自動的に得られます。他の正則値でも同じ数になるため、リンク数は特定のリンク図に依存しません。 ${\displaystyle \gamma_{1}}$${\displaystyle \gamma_{2}}$

γ ₁とγ ₂の連結数のこの定式化により、二重線積分、すなわちガウス連結積分 として明示的な式が可能になります。

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {link} (\gamma _{1},\gamma _{2})&={\frac {1}{4\pi }}\oint _{\gamma _{1}}\oint _{\gamma _{2}}{\frac {\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{3}}}\cdot (d\mathbf {r} _{1}\times d\mathbf {r} _{2})\\[4pt]&={\frac {1}{4\pi }}\int _{S^{1}\times S^{1}}{\frac {\det \left({\dot {\gamma }}_{1}(s),{\dot {\gamma }}_{2}(t),\gamma _{1}(s)-\gamma _{2}(t)\right)}{\left|\gamma _{1}(s)-\gamma _{2}(t)\right|^{3}}}\,ds\,dt\end{aligned}}}$

この積分は、ガウス写像の像の符号付き面積の合計を計算し（積分関数はΓ のヤコビアン）、それを球の面積（4 π）で割ります。

量子場の理論では、チャーン・サイモンズゲージ理論におけるウィルソンループ観測量の期待値を計算するときにガウスの積分定義が用いられる。具体的には、 3次元多様体上のゲージポテンシャル1形式に対するアーベルチャーン・サイモンズ作用は次のように表される。 ${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle S_{CS}={\frac {k}{4\pi }}\int _{M}A\wedge dA}$

私たちは、以下の場合に Chern–Simons のFeynman 経路積分を実行することに興味があります。 ${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{3}}$

${\displaystyle Z[\gamma _{1},\gamma _{2}]=\int {\mathcal {D}}A_{\mu }\exp \left({\frac {ik}{4\pi }}\int d^{3}x\varepsilon ^{\lambda \mu \nu }A_{\lambda }\partial _{\mu }A_{\nu }+i\int _{\gamma _{1}}dx^{\mu }\,A_{\mu }+i\int _{\gamma _{2}}dx^{\mu }\,A_{\mu }\right)}$

ここで、は反対称記号です。理論はガウス分布なので、紫外線正規化や再正規化は必要ありません。したがって、右辺の位相不変性により、経路積分の結果は位相不変量になります。残された唯一のことは、全体的な正規化係数を提供することです。そうすれば、自然な選択ができます。理論はガウス分布とアーベル分布なので、経路積分は、理論を古典的に解き、 を に代入するだけで実行できます。 ${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle A}$

古典的な運動方程式は

${\displaystyle \varepsilon ^{\lambda \mu \nu }\partial _{\mu }A_{\nu }={\frac {2\pi }{k}}J^{\lambda }}$

ここでは、ラグランジアン内の項を持つソースにチャーン・サイモンズ場を結合しました。明らかに、適切な を代入することで、ウィルソンループを復元できます。3次元なので、運動方程式をより馴染みのある表記法で書き直すことができます。 ${\displaystyle -J_{\mu }A^{\mu }}$${\displaystyle J}$

${\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}={\frac {2\pi }{k}}{\vec {J}}}$

両辺の回転を取り、ローレンツゲージを 選択すると、方程式は ${\displaystyle \partial ^{\mu }A_{\mu }=0}$

${\displaystyle \nabla ^{2}{\vec {A}}=-{\frac {2\pi }{k}}{\vec {\nabla }}\times {\vec {J}}}$

静電気学から考えると、解決策は

${\displaystyle A_{\lambda }({\vec {x}})={\frac {1}{2k}}\int d^{3}{\vec {y}}\,{\frac {\varepsilon _{\lambda \mu \nu }\partial ^{\mu }J^{\nu }({\vec {y}})}{|{\vec {x}}-{\vec {y}}|}}}$

任意の経路積分は、これをチャーン・サイモンズ作用に代入して場の有効作用を得ることで簡単に行えます。ウィルソンループの経路積分を得るには、閉ループ内を移動する2つの粒子を記述するソース、すなわち を代入します。 ${\displaystyle J}$${\displaystyle J}$${\displaystyle J=J_{1}+J_{2}}$

${\displaystyle J_{i}^{\mu }(x)=\int _{\gamma _{i}}dx_{i}^{\mu }\delta ^{3}(x-x_{i}(t))}$

有効作用は の2次関数なので、粒子の自己相互作用を記述する項が存在することは明らかであり、これらはループが1つしかない場合でも存在するため、興味深くありません。したがって、これらの項を正確に打ち消す係数で経路積分を正規化します。代数を通して、次式を得ます。 ${\displaystyle J}$

${\displaystyle Z[\gamma _{1},\gamma _{2}]=\exp {\left({\frac {2\pi i}{k}}\Phi [\gamma _{1},\gamma _{2}]\right)},}$

どこ

${\displaystyle \Phi [\gamma _{1},\gamma _{2}]={\frac {1}{4\pi }}\int _{\gamma _{1}}dx^{\lambda }\int _{\gamma _{2}}dy^{\mu }\,{\frac {(x-y)^{\nu }}{|x-y|^{3}}}\varepsilon _{\lambda \mu \nu },}$

これは単にガウスの連結積分である。これは経路積分が位相不変量を計算する位相量子場理論の最も単純な例である。これはまた、チャーン・サイモンズ理論の非可換変種が他の結び目不変量を計算することを示唆し、エドワード・ウィッテンによって非可換理論がジョーンズ多項式として知られる不変量を与えることが明示的に示された。^[3]

チャーン・サイモンズゲージ理論は3次元時空に存在する。より一般的には、より高次元の位相量子場理論が存在する。4次元時空におけるエキゾチックな位相量子場理論のリンク不変量によって捉えられる、より複雑な4次元ゲージ理論のマルチループ/ストリングブレイディング統計が存在する。 ^[4]

• 閉曲線が3 次元で連結できるのと同様に、次元mとnの任意の2 つの閉多様体は、次元 のユークリッド空間で連結できます。このような連結にはガウス写像が関連付けられており、その次数は連結数の一般化です。${\displaystyle m+n+1}$
• 任意のフレーム結び目は、結び目Cの点をフレーム ベクトルに沿ってわずかに移動することによって得られる新しい曲線との結び目Cのリンク数を計算することによって得られる自己リンク数を持ちます。垂直方向 (黒板のフレームに沿って) に移動することによって得られる自己リンク数は、カウフマンの自己リンク数として知られています。
• リンク数は 2 つのリンクされた円に対して定義されます。3 つ以上の円が与えられた場合、リンク数を一般化する数値不変量であるミルノア不変量を定義できます。
• 代数的位相幾何学において、カップ積は連結数の広範囲にわたる代数的一般化であり、マッシー積はミルノア不変量の代数的類似物である。
• 無向グラフのリンクレス埋め込みは、2 つのサイクルごとにリンク数が 0 になるような 3 次元空間への埋め込みです。リンクレス埋め込みを持つグラフには、ピーターセン ファミリーマイナーを持たないグラフとして、禁制マイナー特性があります。

• 微分可能曲線 – 微分の観点から見た曲線の研究
• ホップ不変量 – n 次元球面間の写像のホモトピー不変量
• キスナンバー – 幾何学的概念
• もがく – 結び目図の不変量

• AV Chernavskii (2001) [1994]、「リンク係数」、数学百科事典、EMS Press
• AV Chernavskii (2001) [1994]、「蠢く数」、Encyclopedia of Mathematics、EMS Press