軸測測定法

軸測投影法は、記述幾何学に属する図解法であり、三次元物体の平面像を生成します。「軸測投影法」とは「軸に沿って測定する」という意味で、座標軸の寸法と縮尺が重要な役割を果たすことを示しています。軸測投影法の結果は、物体の均一な縮尺の平行投影です。一般に、得られる平行投影は斜投影（光線が像面に垂直ではない）ですが、特殊な場合には正投影（光線が像面に垂直）となる場合があり、この場合は直交軸測投影と呼ばれます。

製図や建築において、アクソノメトリック透視図法は、立体感や立体感を保つことを目的とした、三次元物体の二次元表現の一形態です。急速透視図法や人工透視図法とも呼ばれ、円錐透視図法とは異なり、人間の目が実際に見るものをそのまま表現するものではありません。特に、平行線は平行のままで、遠くにある物体は縮小されません。中心が無限遠、つまり観察対象から非常に遠くまで押し出された円錐透視図法と考えることができます。

軸測測定という用語は、以下に説明する図解手順と、この手順によって生成される画像の両方を指すのに用いられる。

軸測投影法は、英語文献では通常直交軸測投影法を指すため、軸測投影法と混同してはならない。

ポールケの定理は、3次元物体の縮尺平行投影を構築するための以下の手順の基礎となる。^{[ 1 ] [ 2 ]}

1. 座標軸の投影図を選択する際は、3つの座標軸すべてが1点または1本の線に収束しないようにします。通常、z軸は垂直方向です。
2. これらの投影図には、短縮法を選択してください。${\displaystyle v_{x}}$、${\displaystyle v_{y}}$そして${\displaystyle v_{z}}$、 どこ${\displaystyle v_{x},v_{y},v_{z}>0.}$^{[ 3 ]}
3. 投影${\displaystyle {\overline {P}}}$ある点の${\displaystyle P=(x,y,z)}$これは3つのサブステップで決定されます（結果はこれらのサブステップの順序に依存しません）。
   • 開始地点${\displaystyle {\overline {O}}}$量だけ移動する${\displaystyle v_{x}\cdot x}$の方向に${\displaystyle {\overline {x}}}$、 それから
   • 移動量${\displaystyle v_{y}\cdot y}$の方向に${\displaystyle {\overline {y}}}$、 それから
   • 移動量${\displaystyle v_{z}\cdot z}$の方向に${\displaystyle {\overline {z}}}$そして最後に
4. 最終位置をポイントとしてマークする${\displaystyle {\overline {P}}}$。

歪みのない結果を得るには、軸の投影と短縮を慎重に選択してください（下記参照）。正投影図を作成するには、座標軸の投影のみを自由に選択し、短縮は固定します（de:orthogonale Axonometrie を参照）。^{[ 4 ]}

表記法:

• ${\displaystyle \alpha$ :} 間の角度${\displaystyle {\overline {z}}}$-軸と${\displaystyle {\overline {x}}}$-軸
• ${\displaystyle \beta$ :} 間の角度${\displaystyle {\overline {z}}}$-軸と ${\displaystyle {\overline {y}}}$-軸
• ${\displaystyle \gamma$ :} 間の角度${\displaystyle {\overline {x}}}$-軸と${\displaystyle {\overline {y}}}$-軸。

角度は次のように選択できます。$\displaystyle 0^{\circ }<\alpha +\beta <360^{\circ }\ .}$ 遠近法：${\displaystyle 0<\;v_{x},\;v_{y},\;v_{z}\ .}$

適切な角度と遠近法を選択することによってのみ、歪みのない画像が得られます。次の図は、さまざまな角度と遠近法における単位立方体の画像を示し、これらの選択をどのように行うかについてのヒントを提供します。

絵をシンプルに保つためには、例えば、単純な遠近法を選ぶべきです。${\displaystyle 1.0}$または${\displaystyle 0.5}$。

2つの短縮率が等しい場合、その投影法は二等投影と呼ばれます。3 つの短縮率が等しい場合、その投影法は等角投影と呼ばれます。すべての短縮率が異なる場合、その投影法は三等投影 と呼ばれます。

右の図（方眼紙に描かれた家の例）におけるパラメータは次のとおりです。${\displaystyle \alpha =135^{\circ },\beta =90^{\circ },\ v_{y}=v_{z}=1,\;v_{x}=1/{\sqrt {2}}\ .}$したがって、これは二次元軸測投影法である。画像平面はyz平面に平行であり、yz平面に平行な平面図形はすべて真の形状で表示される。

円の平行投影は一般に楕円になります。重要な特殊なケースとして、円の平面が像の平面と平行な場合があり、この場合、円の像は合同な円になります。図では、前面に含まれる円は歪みません。円の像が楕円である場合、直交する直径と周囲の接線の正方形に 4 つの点をマッピングし、像の平行四辺形に手動で楕円を塗りつぶすことができます。より良い、しかし時間のかかる方法は、円の 2 つの垂直な直径の像を描き、それらは像の楕円の共役直径であり、Rytz の作図で楕円の軸を決定し、楕円を描くことです。

• 
  騎士道的な視点：円
• 
  軍事投影：​​球体

球の一般的な軸測投影では、画像の輪郭は楕円になります。球の輪郭が円になるのは、直交軸測投影の場合のみです。しかし、工学投影と標準等角投影は縮尺された正射投影であるため、これらの場合も球の輪郭は円になります。図に示すように、球の輪郭が楕円だと混乱を招く可能性があるため、球がマッピング対象の一部である場合は、直交軸測投影、工学投影、または標準等角投影のいずれかを選択する必要があります。

デカルト的${\displaystyle x{\text{-}}y{\text{-}}z}$原点を持つ座標系${\displaystyle O}$宇宙空間でもまだ使われている。描画平面に直交座標系を装備する。${\displaystyle x'{\text{-}}y'}$原点を持つ座標系${\displaystyle {\overline {O}}.}$軸測測定法では${\displaystyle {\overline {O}}}$はイメージポイントです${\displaystyle O}$地図で表すことができる${\displaystyle f\colon \ \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{2},}$$${\displaystyle p={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\mapsto f(p)={\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}}$$座標ベクトル をマッピングする$\displaystyle p\in \mathbb {R} ^{3}}$一般的な観点から${\displaystyle P}$空間内の座標ベクトルに$\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$画像点の${\displaystyle {\overline {P}}.}$地図${\displaystyle f}$線形であり、したがってその${\displaystyle 2\!\times \!3}$変換行列${\displaystyle A\colon }$$${\displaystyle f(p)=A\!\ p}$$ （行列×ベクトル）。3つの列${\displaystyle A}$画像ベクトルは${\displaystyle f(e_{x}),f(e_{y}),f(e_{z})\in \mathbb {R} ^{2}}$標準基底ベクトル の$${\displaystyle e_{x}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},\quad e_{y}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},\quad e_{z}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}}$$ そして、${\displaystyle {\overline {x}},}$${\displaystyle {\overline {y}}}$と${\displaystyle {\overline {z}}}$画像軸。これらは原点、つまり実数軸を通る共通の直線上にはない。${\displaystyle 2\!\times \!3}$マトリックス${\displaystyle A}$ランクがある${\displaystyle 2.}$逆に、そのような各行列は軸測投影図を生成する。

例

1.要因${\displaystyle v_{x},v_{y},v_{z}}$角度${\displaystyle \alpha ,\beta }$上記で紹介した変換行列は、直ちに変換行列につながる。 $${\displaystyle A={\begin{pmatrix}-v_{x}\sin \alpha &v_{y}\sin \beta &0\\v_{x}\cos \alpha &v_{y}\cos \beta &v_{z}\end{pmatrix}}.}$$ と想定されるのは${\displaystyle y'{\text{-}}}$軸と${\displaystyle {\overline {z}}}$画像軸は上向きで、${\displaystyle x'{\text{-}}}$軸は右方向を指している。

2.特に、${\displaystyle v_{x}=v_{y}=v_{z}=1}$そして${\displaystyle \alpha =\beta =120^{\circ }}$行列を用いた 標準等長変換を与える$${\displaystyle A={\begin{pmatrix}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&0\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}&1\end{pmatrix}}.}$$ 例えば、頂点${\displaystyle p=(1,1,1)^{\mathsf {T}}}$単位立方体の は、${\displaystyle f(p)=A\!\ p=(0,0)^{\mathsf {T}},}$反対側の頂点も同様です${\displaystyle (0,0,0)^{\mathsf {T}},}$どこ${\displaystyle {}^{\mathsf {T}}}$は転置を表します。上記のように、標準等長変換は係数でスケーリングされた正射影です。${\displaystyle \textstyle {\sqrt {3/2}}\,.}$

3.最後の行列に逆数を掛ける${\displaystyle \textstyle {\sqrt {2/3}}}$これにより変換行列が得られる。 $${\displaystyle A={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&0\\-{\frac {1}{\sqrt {6}}}&-{\frac {1}{\sqrt {6}}}&{\sqrt {\frac {2}{3}}}\end{pmatrix}}}$$ （縮尺されていない）正射影の。ちなみに、その転置では${\displaystyle A^{\mathsf {T}},}$両方の列 $${\displaystyle e_{x}'={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\[0.3ex]0\end{pmatrix}},\quad e_{y}'={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{\sqrt {6}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {6}}}\\{\sqrt {\frac {2}{3}}}\end{pmatrix}}}$$正規直交 である、つまり、${\displaystyle e_{x}'\cdot e_{y}'=0}$そして${\displaystyle e_{x}'\cdot e_{x}'=e_{y}'\cdot e_{y}'=1.}$これは正射投影の特徴であり、以下に具体例を示す。

4.今度は逆に、直交ベクトルから始めて、別の正射影を構築する。 $${\displaystyle e_{x}'={\frac {1}{7}}{\begin{pmatrix}6\\-3\\-2\end{pmatrix}},\quad e_{y}'={\frac {1}{7}}{\begin{pmatrix}3\\2\\6\end{pmatrix}}.}$$ これら2つは${\displaystyle e_{z}'=e_{x}'\times e_{y}'}$そして${\displaystyle O}$空間に別の直交座標系を定義する。一般的な点として、${\displaystyle P}$空間には別の座標ベクトルが存在する${\displaystyle p'=(x',y',z')^{\mathsf {T}}}$その上${\displaystyle p=(x,y,z)^{\mathsf {T}}.}$これらのために、常に${\displaystyle E\!\ p'=p}$と共に${\displaystyle 3\!\times \!3}$基底変換行列${\displaystyle E={\big (}e_{x}'\,{\big |}\,e_{y}'\,{\big |}\,e_{z}'{\big )}.}$として${\displaystyle E}$直交している、${\displaystyle E^{-1}=E^{\mathsf {T}}}$そして結果として${\displaystyle p'=E^{\mathsf {T}}p.}$正投影法は、${\displaystyle x'{\text{-}}y'{\text{-}}}$平面を描画平面として、底面を省略することに対応します${\displaystyle z'{\text{-}}}$座標${\displaystyle p'.}$ その変換行列は、以下から得られる。${\displaystyle E^{\mathsf {T}}}$一番下の行を省略することで： $${\displaystyle A={\frac {1}{7}}\,{\begin{pmatrix}6&-3&-2\\3&2&6\end{pmatrix}}.}$$ これは、単位立方体の隣接する図の点を計算するために使用できます。たとえば、頂点${\displaystyle p=(1,1,1)^{\mathsf {T}}}$マッピング先${\displaystyle f(p)=A\!\ p={\big (}{\tfrac {1}{7}},{\tfrac {11}{7}}{\big )}{}^{\mathsf {T}}.}$

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注記

• 直交軸測法