残留物（複合分析）

例として、経路積分を考えてみましょう。

${\displaystyle \oint _{C}{e^{z} \over z^{5}}\,dz}$

どこで${\displaystyle C}$は、に関する単純な閉曲線です。${\displaystyle 0}$⁠ .

級数による積分に関する標準的な収束結果を用いて、この積分を評価してみましょう。のテイラー級数を代入すると、${\displaystyle e^{z}}$被積分関数に代入すると、積分は次のようになる。

${\displaystyle \oint _{C}{1 \over z^{5}}\left(1+z+{z^{2} \over 2!}+{z^{3} \over 3!}+{z^{4} \over 4!}+{z^{5} \over 5!}+{z^{6} \over 6!}+\cdots \right)\,dz.}$

用語を導入しましょう${\displaystyle 1/z^{5}}$⁠を級数に組み込む。級数の経路積分は次のようになる。

${\displaystyle {\begin{aligned}&\oint _{C}\left({1 \over z^{5}}+{z \over z^{5}}+{z^{2} \over 2!\;z^{5}}+{z^{3} \over 3!\;z^{5}}+{z^{4} \over 4!\;z^{5}}+{z^{5} \over 5!\;z^{5}}+{z^{6} \over 6!\;z^{5}}+\cdots \right)\,dz\\[4pt]={}&\oint _{C}\left({1 \over \;z^{5}}+{1 \over \;z^{4}}+{1 \over 2!\;z^{3}}+{1 \over 3!\;z^{2}}+{1 \over 4!\;z}+{1 \over \;5!}+{z \over 6!}+\cdots \right)\,dz.\end{aligned}}}$

積分経路のサポート上で級数が一様に収束するため、積分と総和を入れ替えることができます。すると、経路積分の級数は、前の計算のおかげで、はるかに単純な形に縮退します。したがって、 の周りの積分は⁠${\displaystyle C}$⁠形式以外のすべての用語⁠${\displaystyle cz^{-1}}$はゼロであり、積分は次のように簡略化されます。

${\displaystyle \oint _{C}{1 \over 4!\,z}\,dz={1 \over 4!}\oint _{C}{1 \over z}\,dz={1 \over 4!}(2\pi i)={\pi i \over 12}.}$

値 1/4! は⁠の剰余です${\displaystyle e^{z}/z^{5}}$⁠で⁠${\displaystyle z=0}$⁠、そして、と表記される

${\displaystyle \operatorname {Res} _{0}{e^{z} \over z^{5}},{\text{ or }}\operatorname {Res} _{z=0}{e^{z} \over z^{5}},{\text{ or }}\operatorname {Res} (f,0){\text{ for }}f={e^{z} \over z^{5}}.}$

2つ目の例として、関数の特異点における留数を計算することを考えてみましょう。$${\displaystyle f(z)={\sin z \over z^{2}-z}}$$これは特定の経路積分を計算するために使用できる可能性があります。この関数は に特異点を持つようです。${\displaystyle z=0}$しかし、分母を因数分解して関数を次のように書くと$${\displaystyle f(z)={\sin z \over z(z-1)}}$$特異点は明らかに${\displaystyle z=0}$は除去可能な特異点であり、その残余は です。${\displaystyle z=0}$したがって、​${\displaystyle 0}$⁠。他に特異点があるのは⁠です。${\displaystyle z=1}$⁠。関数のテイラー級数の式を思い出してください。${\displaystyle g(z)}$について​​${\displaystyle z=a}$⁠ :$${\displaystyle g(z)=g(a)+g'(a)(z-a)+{g''(a)(z-a)^{2} \over 2!}+{g'''(a)(z-a)^{3} \over 3!}+\cdots .}$$そのため、${\displaystyle g(z)=\sin z}$そして​​${\displaystyle a=1}$私たちは$${\displaystyle \sin z=\sin 1+(\cos 1)(z-1)+{-(\sin 1)(z-1)^{2} \over 2!}+{-(\cos 1)(z-1)^{3} \over 3!}+\cdots ,}$$そして、${\displaystyle g(z)=1/z}$そして​​${\displaystyle a=1}$私たちは$${\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {1}{(z-1)+1}}=1-(z-1)+(z-1)^{2}-(z-1)^{3}+\cdots .}$$これら2つの級数を掛け合わせ、${\displaystyle 1/(z-1)}$⁠は私たちに$${\displaystyle {\frac {\sin z}{z(z-1)}}={\sin 1 \over z-1}+(\cos 1-\sin 1)+(z-1)\left(-{\frac {\sin 1}{2!}}-\cos 1+\sin 1\right)+\cdots .}$$したがって、残余は${\displaystyle f(z)}$⁠で⁠${\displaystyle z=1}$⁠は⁠${\displaystyle \sin 1}$⁠ .

次の例は、級数展開による留数計算において、ラグランジュの反転定理が重要な役割を果たすことを示している。$${\displaystyle u(z):=\sum _{k\geq 1}u_{k}z^{k}}$$を完全関数とし、$${\displaystyle v(z):=\sum _{k\geq 1}v_{k}z^{k}}$$正の収束半径を持ち、${\displaystyle v_{1}\neq 0}$⁠。だから⁠${\displaystyle v(z)}$局所逆関数を持つ${\displaystyle V(z)}$⁠で⁠${\displaystyle 0}$⁠、そして${\textstyle u(1/V(z))}$は有理型である${\displaystyle 0}$⁠。次に、次のようになります。$${\displaystyle \operatorname {Res} _{0}{\big (}u(1/V(z)){\big )}=\sum _{k=0}^{\infty }ku_{k}v_{k}.}$$確かに、$${\displaystyle \operatorname {Res} _{0}{\big (}u(1/V(z)){\big )}=\operatorname {Res} _{0}\left(\sum _{k\geq 1}u_{k}V(z)^{-k}\right)=\sum _{k\geq 1}u_{k}\operatorname {Res} _{0}{\big (}V(z)^{-k}{\big )}}$$最初の級数は、任意の小円上で一様に収束するためです。${\displaystyle 0}$ラグランジュ反転定理を用いて$${\displaystyle \operatorname {Res} _{0}{\big (}V(z)^{-k}{\big )}=kv_{k},}$$そして上記の式が得られます。例えば、${\displaystyle u(z)=z+z^{2}}$そしてまた${\displaystyle v(z)=z+z^{2}}$⁠、それから$${\displaystyle V(z)={\frac {2z}{1+{\sqrt {1+4z}}}}}$$そして$${\displaystyle u(1/V(z))={\frac {1+{\sqrt {1+4z}}}{2z}}+{\frac {1+2z+{\sqrt {1+4z}}}{2z^{2}}}.}$$最初の項は寄与する${\displaystyle 1}$残余に寄与し、第2項は${\displaystyle 2}$漸近的に${\displaystyle 1/z^{2}+2/z}$⁠ .

対応するより強い対称性の仮定は⁠${\displaystyle u(z)}$そして​​${\displaystyle v(z)}$⁠、したがって、$${\displaystyle \operatorname {Res} _{0}\left(u(1/V)\right)=\operatorname {Res} _{0}\left(v(1/U)\right),}$$どこで${\displaystyle U(z)}$はの局所逆関数です${\displaystyle u(z)}$⁠で⁠ ${\displaystyle 0}$⁠ .

機能${\displaystyle f(z)=\exp \left({\tfrac {5i}{z}}\right)}$は正則である${\displaystyle G=\mathbb {C} \setminus \{0\}}$。${\displaystyle f}$以下のローランシリーズがあります。 $${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\cdot \left({\frac {5i}{z}}\right)^{n}=\sum _{n=-\infty }^{0}\underbrace {\frac {(5i)^{-n}}{(-n)!}} _{=a_{n}}\cdot z^{n}}$$ 残留物${\displaystyle f}$で${\displaystyle z_{0}=0}$係数${\displaystyle a_{-1}}$ローランシリーズの中心には${\displaystyle z_{0}=0}$本質的な特異点として： $${\displaystyle Res(f,0)=a_{-1}={\frac {(5i)^{-(-1)}}{(-(-1))!}}=5i}$$