四次相互性

四次または 四次の相互性は、合同式x ⁴ ≡ p (mod q ) が解ける条件を述べた初等および代数 的整数論における定理の集合です。「相互性」という単語は、合同式 x ⁴ ≡ p ( mod q )の解ける可能性を x 4 ≡ q (mod p ) の解ける可能性に関連付けるこれらの定理の^形式に由来しています。

オイラーは、双四次相互法則についての最初の予想を立てた。^[1] ガウスは、双四次相互法則に関する2つのモノグラフを出版した。最初のモノグラフ（1828年）では、2の双四次特性に関するオイラーの予想を証明した。2番目のモノグラフ（1832年）では、ガウス整数の双四次相互法則を述べ、補足公式を証明した。彼は^[2]、 3番目のモノグラフで一般定理の証明が近々発表されるだろうと述べたが、結局発表されなかった。ヤコビは、1836年から1837年にかけてのケーニヒスベルク講義で証明を発表した。^[3]最初に出版された証明はアイゼンシュタインによるものだった。^{[4] [5] [6] [7]}

それ以来、古典的（ガウス的）バージョンの他の証明が数多く発見され、^[8]代替の記述も見つかっている。レマーマイヤーは、 1970年代以降、有理相互法則への関心が爆発的に高まったと述べている。 ^{[A] [9]}

4次剰余（mod p）は整数の4乗（mod p ）に^一致する任意の数である。x 4 ≡ a（mod p ）が整数解を持たない場合、 aは4次剰余または4次非剰余 （mod p ）である。^[10]

数論ではよくあることですが、素数を法として扱うのが最も簡単なので、このセクションではp、qなどを法として扱うものはすべて正の奇数の素数であると仮定します。^[10]

整数環Z内で作業するときに最初に注意すべきことは、素数qが ≡ 3 (mod 4) の場合、剰余r が平方剰余(mod q )であるのは、それが双平方剰余 (mod q )である場合に限るということです。実際、平方相互法の最初の補足では、−1 が平方非剰余 (mod q ) であると述べられているため、任意の整数xについて、xと − xの一方が平方剰余であり、もう一方が非剰余です。したがって、もしr ≡ a ² (mod q ) が二乗剰余ならば、a ≡ b ²が剰余ならば、r ≡ a ² ≡ b ⁴ (mod q ) は四乗剰余であり、もしaが非剰余ならば、 − a は剰余であり、 − a ≡ b ²であり、そしてまた、r ≡ ( − a ) ² ≡ b ⁴ (mod q ) は四乗剰余である。^[11]

したがって、興味深い唯一のケースは、係数p ≡ 1 (mod 4) の場合です。

ガウスは^[12]、p ≡ 1 (mod 4)ならば、非ゼロ剰余類 (mod p ) はそれぞれ ( p −1)/4 個の数を含む 4 つの集合に分割できることを証明した。eを2 次非剰余とする。最初の集合は 4 次剰余で、2 番目は最初の集合の数のe倍、3 番目は最初の集合の数のe ²倍、4 番目は最初の集合の数のe ³倍である。この分割を記述する別の方法は、g を原始根(mod p )とすることです。すると、最初の集合はこの根に対するインデックスが ≡ 0 (mod 4) であるすべての数、2 番目の集合はインデックスが ≡ 1 (mod 4) であるすべての数、などとなります。^[ 13 ]群論 ^の語彙では、最初の集合は

最初のセットは四次剰余、3番目のセットは四次剰余ではない四次剰余、2番目と4番目のセットは四次非剰余である。ガウスは、p ≡ 1 (mod 8) のとき -1 は四次剰余であり、 p ≡ 5 (mod 8)のとき四次剰余ではなく四次剰余であることを証明した。^[14]

2がpを法とする平方剰余となるのは、 p ≡ ±1 (mod 8)のときのみである 。pは≡ 1 (mod 4)でもあるので、これはp ≡ 1 (mod 8)を意味する。このような素数はすべて平方と平方の2倍の和である。^[15]

ガウスは証明した^[14]

q = a ² + 2 b ² ≡ 1 (mod 8)を素数とする。すると

2が双4乗剰余（mod q ）となるのは、 a ≡ ±1（mod 8）のときのみであり、

2 は、 a ≡ ±3 (mod 8)の場合に限り、2 次剰余 (mod q ) ではあるが、2 次剰余 (mod q ) ではない。

すべての素数p≡1（mod 4）は2つの平方数の和である。^[16] p = a ² + b ²（aは奇数、bは偶数）の場合、ガウスは^[17]次のこと を証明した。

2 は、 b ≡ 0 (それぞれ 2、4、または 6) (mod 8)の場合にのみ、上で定義された最初のクラス (それぞれ 2、3、または 4 番目のクラス) に属します。この最初のケースは、オイラーの予想の 1 つです。

2 が素数p ≡ 1 (mod 4)の 4 乗剰余となるのは、 p = a ² + 64 b ²の場合のみです。

奇数の素数pと平方剰余a（mod p）に対して、オイラーの判定法によれば、 p ≡ 1（mod 4）であれば、${\displaystyle a^{\frac {p-1}{2}}\equiv 1{\pmod {p}},}$${\displaystyle a^{\frac {p-1}{4}}\equiv \pm 1{\pmod {p}}.}$

素数p ≡ 1 (mod 4)と平方剰余a (mod p )の有理四次剰余記号を次のように定義する。aが双四次剰余(mod p )であることは、次の場合のみ簡単に証明できる。${\displaystyle {\Bigg (}{\frac {a}{p}}{\Bigg )}_{4}=\pm 1\equiv a^{\frac {p-1}{4}}{\pmod {p}}.}$${\displaystyle {\Bigg (}{\frac {a}{p}}{\Bigg )}_{4}=1.}$

ディリクレ^[18]はガウスの2の双4次特性の証明を簡略化し（彼の証明では整数の2次相互性のみが必要）、その結果を次の形式で示した。

p = a ² + b ² ≡ 1 (mod 4)を素数とし、i ≡ b / a (mod p )とする。すると

${\displaystyle {\Bigg (}{\frac {2}{p}}{\Bigg )}_{4}\equiv i^{\frac {ab}{2}}{\pmod {p}}.}$     （i ² ≡ −1 (mod p )であることに注意してください。）

実際、^[19] p = a ² + b ² = c ² + 2 d ² = e ² − 2 f ² ≡ 1 (mod 8)を素数とし、aを奇数と仮定すると、

${\displaystyle {\Bigg (}{\frac {2}{p}}{\Bigg )}_{4}=\left(-1\right)^{\frac {b}{4}}={\Bigg (}{\frac {2}{c}}{\Bigg )}=\left(-1\right)^{n+{\frac {d}{2}}}={\Bigg (}{\frac {-2}{e}}{\Bigg )},}$通常のルジャンドル記号は   どこにありますか。${\displaystyle ({\tfrac {x}{q}})}$

2の性格を超えて、素数p = a ² + b ²（bは偶数）とし、qを素数として、 二次相互法則が成り立つとします。ここでσ ² ≡ p（mod q）とします。すると^[20]${\displaystyle ({\tfrac {p}{q}})=1.}$${\displaystyle ({\tfrac {q^{*}}{p}})=1,}$${\displaystyle q^{*}=(-1)^{\frac {q-1}{2}}q.}$

${\displaystyle {\Bigg (}{\frac {q^{*}}{p}}{\Bigg )}_{4}={\Bigg (}{\frac {\sigma (b+\sigma )}{q}}{\Bigg )}.}$これは^[21]

${\displaystyle {\Bigg (}{\frac {q^{*}}{p}}{\Bigg )}_{4}=1{\mbox{ if and only if }}{\begin{cases}b\equiv 0{\pmod {q}};&{\mbox{ or }}\\a\equiv 0{\pmod {q}}{\mbox{ and }}\left({\frac {2}{q}}\right)=1;&{\mbox{ or }}\\a\equiv \mu b,\;\;\mu ^{2}+1\equiv \lambda ^{2}{\pmod {q}}{\mbox{, and }}\left({\frac {\lambda (\lambda +1)}{q}}\right)=1.\end{cases}}}$

最初のいくつかの例は次のとおりです: ^[22]

${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {-3}{p}}\right)_{4}=1&{\mbox{ if and only if }}&b&\equiv 0{\pmod {3}}\\\left({\frac {5}{p}}\right)_{4}=1&{\mbox{ if and only if }}&b&\equiv 0{\pmod {5}}\\\left({\frac {-7}{p}}\right)_{4}=1&{\mbox{ if and only if }}&ab&\equiv 0{\pmod {7}}\\\left({\frac {-11}{p}}\right)_{4}=1&{\mbox{ if and only if }}&b(b^{2}-3a^{2})&\equiv 0{\pmod {11}}\\\left({\frac {13}{p}}\right)_{4}=1&{\mbox{ if and only if }}&b(b^{2}-3a^{2})&\equiv 0{\pmod {13}}\\\left({\frac {17}{p}}\right)_{4}=1&{\mbox{ if and only if }}\;\;\;\;&ab(b^{2}-a^{2})&\equiv 0{\pmod {17}}.\\\end{aligned}}}$

オイラーは 2、-3、5 の規則を推測していましたが、いずれも証明しませんでした。

ディリクレ^[23]は また、p≡1 (mod4)が素数であり、 ${\displaystyle ({\tfrac {17}{p}})=1}$

${\displaystyle {\Bigg (}{\frac {17}{p}}{\Bigg )}_{4}{\Bigg (}{\frac {p}{17}}{\Bigg )}_{4}={\begin{cases}+1{\mbox{ if and only if }}\;\;p=x^{2}+17y^{2}\\-1{\mbox{ if and only if }}2p=x^{2}+17y^{2}\end{cases}}}$

これはブラウンとレーマーによって17から17、73、97、193に拡張されました。^[24]

Burde の有理的双二次相互法則を記述する同等の方法は多数あります。

これらはすべて、p = a ² + b ²と q = c ² + d ²が素数であり、bとdが偶数であると仮定し、${\displaystyle ({\tfrac {p}{q}})=1.}$

ゴセットのバージョンは^[9]

${\displaystyle {\Bigg (}{\frac {q}{p}}{\Bigg )}_{4}\equiv {\Bigg (}{\frac {a/b-c/d}{a/b+c/d}}{\Bigg )}^{\frac {q-1}{4}}{\pmod {q}}.}$

i ² ≡ −1 (mod p )、j ² ≡ −1 (mod q )とすると、フレーリッヒの法則は^[25]

${\displaystyle {\Bigg (}{\frac {q}{p}}{\Bigg )}_{4}{\Bigg (}{\frac {p}{q}}{\Bigg )}_{4}={\Bigg (}{\frac {a+bj}{q}}{\Bigg )}={\Bigg (}{\frac {c+di}{p}}{\Bigg )}.}$

バードは次のように述べている。^{[26] [27] [28]}

${\displaystyle {\Bigg (}{\frac {q}{p}}{\Bigg )}_{4}{\Bigg (}{\frac {p}{q}}{\Bigg )}_{4}={\Bigg (}{\frac {ac-bd}{q}}{\Bigg )}.}$

^[29]に注意してください

${\displaystyle {\Bigg (}{\frac {ac+bd}{p}}{\Bigg )}={\Bigg (}{\frac {p}{q}}{\Bigg )}{\Bigg (}{\frac {ac-bd}{p}}{\Bigg )}.}$

p ≡ q ≡ 1 (mod 4)を素数とし、と仮定する。すると、e ² = pf ² + qg ²は非自明な整数解を持ち、^[30]${\displaystyle ({\tfrac {p}{q}})=1}$

${\displaystyle {\Bigg (}{\frac {p}{q}}{\Bigg )}_{4}{\Bigg (}{\frac {q}{p}}{\Bigg )}_{4}=\left(-1\right)^{\frac {fg}{2}}\left({\frac {-1}{e}}\right).}$

p ≡ q ≡ 1 (mod 4)を素数とし、 p = r ² + qs ²と仮定する。すると^[31]

${\displaystyle {\Bigg (}{\frac {p}{q}}{\Bigg )}_{4}{\Bigg (}{\frac {q}{p}}{\Bigg )}_{4}=\left({\frac {2}{q}}\right)^{s}.}$

p = 1 + 4 x ^2を素数とし、 aをxを割り切る任意の奇数とし、^[32] a ^*はpを法として4乗剰余である。 ${\displaystyle a^{*}=\left(-1\right)^{\frac {a-1}{2}}a.}$

p = a ² + 4 b ² = c ² + 2 d ² ≡ 1 (mod 8)を素数とする。すると[ ^33] c ⁴ − pa ²のすべての約数は(mod p )の 4乗剰余である。同じことが d ⁴ − pb ²のすべての約数にも当てはまる。

ガウスは、2番目の論文で、いくつかの例を示し、上記の小さな素数の2次的性質に関する定理を示唆する推測を行っている。彼はいくつかの一般的な意見を述べ、明らかな一般的な規則が働いていないことを認めている。彼はさらに次のように述べている。

四乗剰余に関する定理は、算術の分野が虚数にまで拡張され、制限なく a + bi の形の数が研究対象となったときにのみ、最大の単純さと真の美しさを放ちます。このような数を整複素数と呼びます。^[34] [太字は原文のまま]

これらの数はガウス整数環と呼ばれ、 Z [ i ]で表されます。iは1の4乗根であることに注意してください。

脚注で彼はこう付け加えている。

3次留数の理論も同様にa + bhの形式の数の考察に基づいている必要があり、ここでhはh ³ = 1の式の虚根である...同様に、高次の剰余の理論は他の虚数の量の導入につながる。^[35]

1 の 3 乗根から構築される数は、現在ではアイゼンシュタイン整数環と呼ばれています。「高次の累乗の留数の理論」に必要な「その他の虚数」は、円分数体の整数環です。ガウス整数とアイゼンシュタイン整数は、これらの最も単純な例です。

ガウスは「整数複素数」の算術理論を展開し、それが通常の整数の算術と非常に似ていることを示した。^[36]ここで、単位、準位、ノルム、一次という用語が数学に導入された。

単位は1を割り切る数である。^[37]単位は1、i、−1、−iである。これらは通常の整数の1と−1と同様に、あらゆる数を割り切る数である。単位はiの累乗である。

数λ = a + biが与えられたとき、その共役数はa − biであり 、その関連数は4つの数である^[37]

   λ = + a + bi

  iλ = − b + aiである。

 −λ = − a − bi

− i λ = + b − ai

λ = a + biの場合、 λ のノルムは Nλ と書かれ、数a ² + b ²です。 λ と μ が2つのガウス整数の場合、 Nλμ = Nλ Nμ です。言い換えると、ノルムは乗法的です。^[37]ゼロのノルムはゼロで、他のすべての数のノルムは正の整数です。 ε は、 Nε = 1 の場合にのみ単位になります。 ガウス整数ではない可能性のある非負の実数である λ のノルムの平方根は、ラムダの絶対値です。

ガウスはZ [ i ]が唯一の因数分解領域であることを証明し、素数が3つのクラスに分類されることを示した: ^[38]

• 2 は特別な場合です: 2 = i ³ (1 + i ) ^{2 。これは}Z [ i ]の素数の平方で割り切れるZの唯一の素数です。代数的整数論では、2 はZ [ i ]で分岐すると言われています。
• Z ≡ 3 (mod 4)の正の素数はZ [ i ]でも素数である。代数的整数論では、これらの素数はZ [ i ] で不活性であると言われる。
• Z ≡ 1 (mod 4)の正の素数は、 Z [ i ]の 2 つの共役素数の積です。代数的整数論では、これらの素数はZ [ i ]で分解すると言われています。

したがって、不活性素数は3、7、11、19、…であり、分割素数の因数分解は

 5 = (2 + i ) × (2 − i )、

13 = (2 + 3 i ) × (2 − 3 i )、

17 = (4 + i ) × (4 − i )、

29 = (2 + 5 i ) × (2 − 5 i )、...

素数の関連数と共役数も素数です。

不活性素数qのノルムはN q = q ^{2 ≡ 1 (mod 4) であることに注意してください。したがって、1 +} iとその関連数以外のすべての素数のノルムは≡ 1 (mod 4) です。

ガウスは、 Z [ i ]の数のノルムが奇数のとき、その数を奇数と呼ぶ。 ^[39]したがって、1 + iとその関連数を除くすべての素数は奇数である。2つの奇数の積は奇数であり、奇数の共役数と関連数は奇数である。

一意因数分解定理を述べるためには、数の関連数を区別する方法が必要です。ガウスは^{[40]奇数が ≡ 1 (mod (1 +} i ) ³ )である場合にその奇数を一次数と定義しています。すべての奇数には正確に 1 つの関連数があることは簡単に示せます。奇数 λ = a + biが一次数となるのは、 a + b ≡ a − b ≡ 1 (mod 4)の場合です。つまり、a ≡ 1 かつb ≡ 0、またはa ≡ 3 かつb ≡ 2 (mod 4) の場合です。^[41] 2 つの基本数の積は基本数であり、基本数の共役数も基本数です。

Z [ i ]の唯一の因数分解定理^[42]は次の通りである: λ ≠ 0 ならば、

${\displaystyle \lambda =i^{\mu }(1+i)^{\nu }\pi _{1}^{\alpha _{1}}\pi _{2}^{\alpha _{2}}\pi _{3}^{\alpha _{3}}\dots }$

ここで、0 ≤ μ ≤ 3、ν ≥ 0、π_は素数、α は ≥ 1 であり_、この表現は因数の順序まで一意です。

合同^[43]と最大公約数^[44]の概念は、通常の整数Zの場合と同じようにZ [ i ]でも定義されています。単位はすべての数を割り切るので、合同(mod λ)はλの任意の関連を法としても真であり、GCDの任意の関連もGCDです。

ガウスはフェルマーの定理の類似を証明した。αが奇数の素数πで割り切れないならば、^[45]

${\displaystyle \alpha ^{N\pi -1}\equiv 1{\pmod {\pi }}}$

Nπ ≡ 1 (mod 4) なので、意味があり、一意の単位i ^kです。 ${\displaystyle \alpha ^{\frac {N\pi -1}{4}}}$${\displaystyle \alpha ^{\frac {N\pi -1}{4}}\equiv i^{k}{\pmod {\pi }}}$

この単位はα（πを法とする）の4次剰余数または2次剰余数と呼ばれ、 ^{[46] [47]}で表されます。

${\displaystyle \left[{\frac {\alpha }{\pi }}\right]=i^{k}\equiv \alpha ^{\frac {N\pi -1}{4}}{\pmod {\pi }}.}$

これはルジャンドル記号と同様の形式的性質を持つ。^[48]

合同式       がZ [ i ] 上で解けるのは、    ^[49]${\displaystyle x^{4}\equiv \alpha {\pmod {\pi }}}$${\displaystyle \left[{\frac {\alpha }{\pi }}\right]=1.}$

${\displaystyle {\Bigg [}{\frac {\alpha \beta }{\pi }}{\Bigg ]}={\Bigg [}{\frac {\alpha }{\pi }}{\Bigg ]}{\Bigg [}{\frac {\beta }{\pi }}{\Bigg ]}}$

${\displaystyle {\overline {{\Bigg [}{\frac {\alpha }{\pi }}{\Bigg ]}}}={\Bigg [}{\frac {\overline {\alpha }}{\overline {\pi }}}{\Bigg ]}}$     ここでバーは複素活用を表します。

πとθが関連している場合、   ${\displaystyle {\Bigg [}{\frac {\alpha }{\pi }}{\Bigg ]}={\Bigg [}{\frac {\alpha }{\theta }}{\Bigg ]}}$

α ≡ β (mod π)の場合、   ${\displaystyle {\Bigg [}{\frac {\alpha }{\pi }}{\Bigg ]}={\Bigg [}{\frac {\beta }{\pi }}{\Bigg ]}}$

ルジャンドル記号がヤコビ記号に一般化されるのと同じように、双二次式は「分母」の奇数の合成数に拡張できます。その場合と同様に、「分母」が合成数であれば、合同式を解くことなく記号が 1 に等しくなります。

${\displaystyle \left[{\frac {\alpha }{\lambda }}\right]=\left[{\frac {\alpha }{\pi _{1}}}\right]^{\alpha _{1}}\left[{\frac {\alpha }{\pi _{2}}}\right]^{\alpha _{2}}\dots }$   どこ   ${\displaystyle \lambda =\pi _{1}^{\alpha _{1}}\pi _{2}^{\alpha _{2}}\pi _{3}^{\alpha _{3}}\dots }$

aとbが通常の整数で、a ≠ 0、| b | > 1、gcd( a , b ) = 1の場合、^[50]    ${\displaystyle \left[{\frac {a}{b}}\right]=1.}$

ガウスは、双二次相互法則を次のように述べた。^{[2] [51]}

πとθをZ [ i ]の異なる素数とする。すると

π または θ のどちらか、あるいは両方が ≡ 1 (mod 4) の場合、${\displaystyle {\Bigg [}{\frac {\pi }{\theta }}{\Bigg ]}=\left[{\frac {\theta }{\pi }}\right],}$

πとθが両方とも≡3 + 2 i (mod 4)の場合、${\displaystyle {\Bigg [}{\frac {\pi }{\theta }}{\Bigg ]}=-\left[{\frac {\theta }{\pi }}\right].}$

ルジャンドル記号の二次の相互法則がヤコビ記号にも当てはまるのと同様に、数が素数であるという要件は必要ではなく、奇数で互いに素な非単位数であれば十分である。^[52]おそらく最もよく知られている記述は次の通りである。

πとθを互いに素な非単位元とする。すると^[53]

${\displaystyle {\Bigg [}{\frac {\pi }{\theta }}{\Bigg ]}\left[{\frac {\theta }{\pi }}\right]^{-1}=(-1)^{{\frac {N\pi -1}{4}}{\frac {N\theta -1}{4}}}.}$

単位元と半偶素数1 + iに対する補足定理^{[54] [55]}がある。

π = a + biが素数であれば、

${\displaystyle {\Bigg [}{\frac {i}{\pi }}{\Bigg ]}=i^{-{\frac {a-1}{2}}},\;\;\;{\Bigg [}{\frac {1+i}{\pi }}{\Bigg ]}=i^{\frac {a-b-1-b^{2}}{4}},}$

そしてこうして

${\displaystyle {\Bigg [}{\frac {-1}{\pi }}{\Bigg ]}=(-1)^{\frac {a-1}{2}},\;\;\;{\Bigg [}{\frac {2}{\pi }}{\Bigg ]}=i^{-{\frac {b}{2}}}.}$

また、π = a + biが素数であり、b ≠ 0である場合、 ^[56]

${\displaystyle {\Bigg [}{\frac {\overline {\pi }}{\pi }}{\Bigg ]}={\Bigg [}{\frac {-2}{\pi }}{\Bigg ]}(-1)^{\frac {a^{2}-1}{8}}}$   ( b = 0 の場合、シンボルは 0 です)。

ヤコビは、 a ≡ 1 (mod 4)のときπ = a + biが基本であると定義した。この正規化により、法則は次の形になる^[57]。

α = a + bi、β = c + diとし、a ≡ c ≡ 1 (mod 4)、bとdは互いに素な非単位偶数とする。すると

${\displaystyle \left[{\frac {\alpha }{\beta }}\right]\left[{\frac {\beta }{\alpha }}\right]^{-1}=(-1)^{\frac {bd}{4}}}$

以下のバージョンはガウスの未発表原稿の中に見つかりました。^[58]

α = a + 2 biおよび β = c + 2 di（aとcは奇数）を互いに素な非単位とします。すると

${\displaystyle \left[{\frac {\alpha }{\beta }}\right]\left[{\frac {\beta }{\alpha }}\right]^{-1}=(-1)^{bd+{\frac {a-1}{2}}d+{\frac {c-1}{2}}b},\;\;\;\;\left[{\frac {1+i}{\alpha }}\right]=i^{{\frac {b(a-3b)}{2}}-{\frac {a^{2}-1}{8}}}}$

この法則は、プライマリの概念を使用せずに述べることができます。

λが奇数の場合、ε(λ)をλ(mod (1 + i ) ³ )に一致する唯一の単位元とする。すなわち、ε(λ) = i ^k ≡ λ(mod 2 + 2 i )、ただし0 ≤ k ≤ 3である。すると^[59]、奇数かつ互いに素なαとβに対して、どちらも単位元ではない。

${\displaystyle \left[{\frac {\alpha }{\beta }}\right]\left[{\frac {\beta }{\alpha }}\right]^{-1}=(-1)^{{\frac {N\alpha -1}{4}}{\frac {N\beta -1}{4}}}\epsilon (\alpha )^{\frac {N\beta -1}{4}}\epsilon (\beta )^{\frac {N\alpha -1}{4}}}$

λが奇数の場合、λとμが互いに素な非単位であれば、アイゼンシュタインは^{[60]を証明した。}${\displaystyle \lambda ^{*}=(-1)^{\frac {N\lambda -1}{4}}\lambda .}$

${\displaystyle \left[{\frac {\lambda }{\mu }}\right]={\Bigg [}{\frac {\mu ^{*}}{\lambda }}{\Bigg ]}.}$

• 二次相互性
• 三次相互性
• オクトスの相互関係
• エイゼンシュタインの相互主義
• アルティンの相互関係

• A. ^ここで、「有理数」とは、何らかの代数体の整数ではなく、通常の整数で述べられる法則を意味します。

オイラー、ディリクレ、アイゼンシュタインの原著論文への参照は、レマーマイヤーとコックスの参考文献からコピーしたものであり、本論文の作成には使用されていません。

• オイラー、レオンハルト (1849)、Tractatus de numeroroum doctrina capita sedecim quae supersunt、コメント。算数。 2

これは実際には1748年から1750年に書かれたものですが、死後に出版されました。第5巻、182～283ページに掲載されています。

• オイラー、レオンハルト (1911–1944)、オペラ オムニア、シリーズ プリマ、第 1 巻から第 5 巻、ライプツィヒとベルリン: トイプナー

ガウスが出版した双二次相互性に関する 2 つのモノグラフには、連続番号が付けられたセクションがあります。最初のモノグラフには §§ 1 ～ 23 が含まれ、2 番目のモノグラフには §§ 24 ～ 76 が含まれます。これらを参照する脚注の形式は、「Gauss, BQ, § n」です。Disquisitiones Arithmeticaeを参照する脚注の形式は、「Gauss, DA, Art. n」です。

• ガウス、カール・フリードリッヒ (1828)、Theoria residuorum biquadraticorum、Commentatio prima、ゲッティンゲン: コメント。社会科学領域、ゲッティンゲン 6

• ガウス、カール・フリードリッヒ (1832)、Theoria residuorum biquadraticorum、Commentatio secunda、ゲッティンゲン: コメント。社会地理領域、ゲッティンゲン 7

これらはガウスの作品集第2巻65～92ページと93～148ページ に掲載されている。

ドイツ語訳は、以下の 511 ～ 533 ページと 534 ～ 586 ページにあります。これには、Disquisitiones Arithmeticaeと Gauss の数論に関するその他の論文も掲載されています。

• Gauss, Carl Friedrich (1965)、Untersuchungen uber hohere Arithmetik (Disquisitiones Arithmeticae & other Papers on Number Theory) (第 2 版)、Maser, H. 訳、ニューヨーク: Chelsea、ISBN 0-8284-0191-8

• アイゼンシュタイン、フェルディナンド・ゴットホルト (1844)、「Lois de réciprocité」、Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelle's Journal)、1844 (28)、J. Reine Angew。数学。 28、pp. 53–67 (Crelle's Journal): 53–67、doi :10.1515/crll.1844.28.53、S2CID  120713971

• Aisenstein、Ferdinand Gotthold (1844)、Einfacher Beweis und Verallgemeinerung des Fundamentaltheorems für die biquadratischen Reste、J. Reine Angew。数学。 28 pp. 223–245 (クレルの日記)

• アイゼンシュタイン、フェルディナンド・ゴットホルト (1845)、超越数学の応用、J. Reine Angew。数学。 29 pp. 177–184 (クレルの日記)

• Aisenstein、Ferdinand Gotthold (1846)、Beiträge zur Theorie der elliptischen Funktionen I: Ableitung des biquadratischen Fundalmentaltheorems aus der Theorie der Lemniskatenfunctionen、nebst Bemerkungen zu den Multiplications- und Transformationsformeln、J. Reine Angew。数学。 30 pp. 185–210 (クレルの日記)

これらの論文はすべて彼の作品集第 1 巻に収録されています。

• Dirichlet、Pierre Gustave LeJeune (1832)、Démonstration d'une propriété minimumu à la loi de Réciprocité qui存在 entre deux nombres premiers quelconques、J. Reine Angew。数学。 9 pp. 379–389 (クレルの日記)

• Dirichlet、Pierre Gustave LeJeune (1833)、Untersuchungen über die Theorie der quadratischen Formen、Abh。ケーニグル。プロイス。アカド。ウィス。 101～121ページ

これらは両方とも彼の作品集の第 1 巻に収録されています。

• コックス、デビッド A. (1989)、 x ² + ny ²の形の素数、ニューヨーク：ワイリー、ISBN 0-471-50654-0

• アイルランド、ケネス、ローゼン、マイケル（1990）、現代数論への古典的入門（第2版）、ニューヨーク：シュプリンガー、ISBN 0-387-97329-X

• Lemmermeyer、Franz (2000)、相反性の法則: オイラーからエイゼンシュタインまで、Springer Monographs in Mathematics、ベルリン: Springer、doi :10.1007/978-3-662-12893-0、ISBN 3-540-66957-4

• Weisstein、Eric W.「双二次相互定理」。MathWorld。

Franz Lemmermeyer による次の 2 つの論文には、Burde の法則の証明と関連する結果が含まれています。

• 有理四次相互性
• 有理四次相互性 II