ゲージの選択 上記の定義では磁気ベクトルポテンシャルを一意に定義することはできません。なぜなら、定義上、観測される磁場を変えることなく、磁気ポテンシャルに回転 のない成分を任意に追加できるからです。したがって、選択する際にはある程度の自由度があります。 A {\displaystyle \mathbf {A} } ゲージ不変性 として知られています。
一般的なゲージの選択肢は2つあります。
ローレンツゲージ ： ∇ ⋅ A + 1 c 2 ∂ ϕ ∂ t = 0 {\displaystyle \ \nabla \cdot \mathbf {A} +{\frac {1}{\ c^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}=0} クーロンゲージ ： ∇ ⋅ A = 0 {\displaystyle \ \nabla \cdot \mathbf {A} =0}
ローレンツゲージ 他のゲージでは、A {\displaystyle \mathbf {A} } ϕ {\displaystyle \phi } クーロンゲージを
時間領域 上記のポテンシャルの定義を用いて、他の2つのマクスウェル方程式（自動的に満たされない方程式）に適用すると、ローレンツゲージ を用いて簡略化できる複雑な微分方程式が得られます。A {\displaystyle \mathbf {A} } [ 5 ] ∇ ⋅ A + 1 c 2 ∂ ϕ ∂ t = 0 {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} +{\frac {1}{\ c^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}=0}
ローレンツゲージを用いると、電磁波方程式は ポテンシャルに関して簡潔に記述できる。[ 5 ]
スカラーポテンシャルの波動方程式∇ 2 ϕ − 1 c 2 ∂ 2 ϕ ∂ t 2 = − ρ ϵ 0 {\displaystyle \nabla ^{2}\phi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t^{2}}}=-{\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}} ベクトルポテンシャルの波動方程式∇ 2 A − 1 c 2 ∂ 2 A ∂ t 2 = − μ 0 J {\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}=-\mu _{0}\mathbf {J} } ローレンツゲージにおけるマクスウェル方程式の解（ファインマン[ 5 ] [ 9 ] 遅延ポテンシャル と呼ばれ、磁気ベクトルポテンシャルである。A （ r 、 t ） {\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)} ϕ （ r 、 t ） {\displaystyle \phi (\mathbf {r} ,t)} 電流密度 の現在の分布によりJ （ r 、 t ） {\displaystyle \mathbf {J} (\mathbf {r} ,t)} 密度 ρ （ r 、 t ） {\displaystyle \rho (\mathbf {r} ,t)} ボリューム Ω {\displaystyle \Omega } ρ {\displaystyle \rho } J {\displaystyle \mathbf {J} }
ソリューションA （ r 、 t ） = μ 0 4 π ∫ Ω J （ r ′ 、 t ′ ） R d 3 r ′ ϕ （ r 、 t ） = 1 4 π ϵ 0 ∫ Ω ρ （ r ′ 、 t ′ ） R d 3 r ′ {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} \!\left(\mathbf {r} ,t\right)&={\frac {\mu _{0}}{\ 4\pi \ }}\int _{\Omega }{\frac {\mathbf {J} {\left(\mathbf {r} ',t'\right)}}{R}}\ d^{3}\mathbf {r} '\\\phi \!\left(\mathbf {r} ,t\right)&={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\Omega }{\frac {\rho {\left(\mathbf {r} ',t'\right)}}{R}}\ d^{3}\mathbf {r} '\end{aligned}}} 位置ベクトル のフィールドr {\displaystyle \mathbf {r} } t {\displaystyle t} r ′ {\displaystyle \mathbf {r} '} t ′ 。 {\displaystyle t'.} r ′ {\displaystyle \mathbf {r} '} Ω {\displaystyle \Omega } t ′ {\displaystyle t'} これは遅延時間 t ′ = t − R c 。 {\displaystyle t'=t-{\frac {\ R\ }{c}}~.} R = ‖ r − r ′ ‖ 。 {\displaystyle R={\bigl \|}\mathbf {r} -\mathbf {r} '{\bigr \|}~.}
これらの式を用いると：
ローレンツゲージ条件 が満たされている。 ∇ ⋅ A + 1 c 2 ∂ ϕ ∂ t = 0 。 {\displaystyle \ \nabla \cdot \mathbf {A} +{\frac {1}{\ c^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}=0~.} のポジションr {\displaystyle \mathbf {r} } ϕ {\displaystyle \phi } A {\displaystyle \mathbf {A} } r ′ {\displaystyle \mathbf {r} '} r 。 {\displaystyle \mathbf {r} .} r ′ {\displaystyle \mathbf {r} '} r {\displaystyle \mathbf {r} } 被積分関数は遅延時間 t ′ 。 {\displaystyle t'.} r {\displaystyle \mathbf {r} } t {\displaystyle t} r ′ {\displaystyle \mathbf {r} '} t ′ 。 {\displaystyle t'.} の方程式A {\displaystyle \mathbf {A} } [ 10 ] A x （ r 、 t ） = μ 0 4 π ∫ Ω J x （ r ′ 、 t ′ ） R d 3 r ′ 、 A y （ r 、 t ） = μ 0 4 π ∫ Ω J y （ r ′ 、 t ′ ） R d 3 r ′ 、 A z （ r 、 t ） = μ 0 4 π ∫ Ω J z （ r ′ 、 t ′ ） R d 3 r ′ 。 {\displaystyle {\begin{aligned}A_{x}{\left(\mathbf {r} ,t\right)}&={\frac {\mu _{0}}{\ 4\pi \ }}\int _{\Omega }{\frac {J_{x}{\left(\mathbf {r} ',t'\right)}}{R}}\,d^{3}\mathbf {r} '\ ,\\A_{y}{\left(\mathbf {r} ,t\right)}&={\frac {\mu _{0}}{\ 4\pi \ }}\int _{\Omega }{\frac {J_{y}{\left(\mathbf {r} ',t'\right)}}{R}}\,d^{3}\mathbf {r} '\ ,\\A_{z}{\left(\mathbf {r} ,t\right)}&={\frac {\mu _{0}}{\ 4\pi \ }}\int _{\Omega }{\frac {J_{z}{\left(\mathbf {r} ',t'\right)}}{R}}\,d^{3}\mathbf {r} '~.\end{aligned}}} A {\displaystyle \mathbf {A} } J {\displaystyle \mathbf {J} } A {\displaystyle \mathbf {A} }
周波数領域 前述の時間領域方程式は周波数領域で表現できる。[ 11 ] ：
ローレンツゲージ∇ ⋅ A + j ω c 2 ϕ = 0 {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} +{\frac {j\omega }{c^{2}}}\phi =0} ϕ = j ω k 2 ∇ ⋅ A {\displaystyle \phi ={\frac {j\omega }{k^{2}}}\nabla \cdot \mathbf {A} } ソリューションA （ r 、 ω ） = μ 0 4 π ∫ Ω J （ r ′ 、 ω ） R e − j k R d 3 r ′ ϕ （ r 、 ω ） = 1 4 π ϵ 0 ∫ Ω ρ （ r ′ 、 ω ） R e − j k R d 3 r ′ {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} \!\left(\mathbf {r} ,\omega \right)&={\frac {\mu _{0}}{\ 4\pi \ }}\int _{\Omega }{\frac {\mathbf {J} {\left(\mathbf {r} ',\omega \right)}}{R}}\ e^{-jkR}d^{3}\mathbf {r} '\\\phi \!\left(\mathbf {r} ,\omega \right)&={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\Omega }{\frac {\rho {\left(\mathbf {r} ',\omega \right)}}{R}}\ e^{-jkR}d^{3}\mathbf {r} '\end{aligned}}} 波動方程式∇ 2 ϕ + k 2 ϕ = − ρ ϵ 0 ∇ 2 A + k 2 A = − μ 0 J 。 {\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}\phi +k^{2}\phi &=-{\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}\\\nabla ^{2}\mathbf {A} +k^{2}\mathbf {A} &=-\mu _{0}\mathbf {J} .\end{aligned}}} 電磁場方程式B = ∇ × A E = − ∇ ϕ − j ω A = − j ω A − j ω k 2 ∇ （ ∇ ⋅ A ） {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {B} &=\nabla \times \mathbf {A} \\\mathbf {E} &=-\nabla \phi -j\omega \mathbf {A} =-j\omega \mathbf {A} -j{\frac {\omega }{k^{2}}}\nabla (\nabla \cdot \mathbf {A} )\end{aligned}}} どこ
ϕ {\displaystyle \phi } ρ {\displaystyle \rho } フェーザ です。A {\displaystyle \mathbf {A} } B {\displaystyle \mathbf {B} } E {\displaystyle \mathbf {E} } J {\displaystyle \mathbf {J} } フェーザ です。k = ω c {\displaystyle k={\frac {\omega }{c}}} 注目すべき点がいくつかありますA {\displaystyle \mathbf {A} } ϕ {\displaystyle \phi }
ローレンツゲージ条件 が満たされている。ϕ = − c 2 j ω ∇ ⋅ A 。 {\displaystyle \textstyle \phi =-{\frac {c^{2}}{j\omega }}\nabla \cdot \mathbf {A} .} ϕ {\displaystyle \phi } J {\displaystyle \mathbf {J} } のポジションr 、 {\displaystyle \mathbf {r} ,} ϕ {\displaystyle \phi } A {\displaystyle \mathbf {A} } r ′ {\displaystyle \mathbf {r} '} r 。 {\displaystyle \ \mathbf {r} .} r ′ {\displaystyle \mathbf {r} '} r {\displaystyle \mathbf {r} } 被積分関数は位相シフト 項を使用するe − j k R {\displaystyle e^{-jkR}} これは、遅延時間 の方程式A {\displaystyle \mathbf {A} } [ 10 ] A x （ r 、 ω ） = μ 0 4 π ∫ Ω J x （ r ′ 、 ω ） R e − j k R d 3 r ′ 、 A y （ r 、 ω ） = μ 0 4 π ∫ Ω J y （ r ′ 、 ω ） R e − j k R d 3 r ′ 、 A z （ r 、 ω ） = μ 0 4 π ∫ Ω J z （ r ′ 、 ω ） R e − j k R d 3 r ′ {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} _{x}\!\left(\mathbf {r} ,\omega \right)&={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\Omega }{\frac {\mathbf {J} _{x}{\left(\mathbf {r} ',\omega \right)}}{R}}\,e^{-jkR}\,d^{3}\mathbf {r} ',\\\mathbf {A} _{y}\!\left(\mathbf {r} ,\omega \right)&={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\Omega }{\frac {\mathbf {J} _{y}{\left(\mathbf {r} ',\omega \right)}}{R}}\,e^{-jkR}\,d^{3}\mathbf {r} ',\\\mathbf {A} _{z}\!\left(\mathbf {r} ,\omega \right)&={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\Omega }{\frac {\mathbf {J} _{z}{\left(\mathbf {r} ',\omega \right)}}{R}}\,e^{-jkR}\,d^{3}\mathbf {r} '\end{aligned}}} A {\displaystyle \mathbf {A} } J {\displaystyle \ \mathbf {J} \ } A {\displaystyle \mathbf {A} }
電磁四電位 特殊相対性理論 の文脈では、磁気ベクトルポテンシャルと（スカラー）電位を結合して電磁 ポテンシャル、 または四元ポテンシャル と呼ぶのが自然である。
そうする理由の一つは、4元ポテンシャルが数学的な4元ベクトル であることだ。したがって、標準的な4元ベクトル変換規則を用いれば、ある慣性系における電位と磁気ポテンシャルが分かっていれば、他の任意の慣性系における電位も簡単に計算できる。
もう一つの関連する動機は、特にローレンツゲージ を用いる場合、電磁四元ポテンシャルを用いることで、古典電磁気学の内容を簡潔かつ便利な形で記述できるという点である。具体的には、抽象インデックス表記 では、マクスウェル方程式（ローレンツゲージ）は（ ガウス単位 で）次のように 記述できる。∂ ν A ν = 0 ◻ 2 A ν = 4 π c J ν {\displaystyle {\begin{aligned}\partial ^{\nu }A_{\nu }&=0\\\Box ^{2}A_{\nu }&={\frac {4\pi }{\ c\ }}\ J_{\nu }\end{aligned}}} ◻ 2 {\displaystyle \ \Box ^{2}\ } J {\displaystyle \ J\ } 4元電流 です。最初の式はローレンツゲージ条件 であり、2番目の式にはマクスウェル方程式が含まれています。4元電位も量子電磁力学 において非常に重要な役割を果たします。
注記 ↑ ノイマン、フランツ・エルンスト（1846年1月1日）。「Allgemeine Gesetze der induzirten elektrischen Ströme (誘導電流の一般法則)」。アンナレン・デア・フィジーク 。143 (11): 31–34 。土井 : 10.1002/andp.18461430103。 ↑ WE ウェーバー、Elektrodymische Maassbestimungen、uber ein allgemeines Grundgesetz der elektrischen Wirkung、Abhandlungen bei Begrund der Koniglichen Sachsischen Gesellschaft der Wissenschaften (ライプツィヒ、1846)、211–378 ページ [WE ウェーバー、ヴィルヘルム ウェーバーのウェルクス、Vols. 1–6 (ベルリン、1892–1894); Vol. 3、25–214ページ]。 ↑ Wu, ACT; Yang, Chen Ning (2006-06-30). "基本相互作用の記述におけるベクトルポテンシャルの概念の進化" . International Journal of Modern Physics A . 21 (16): 3235– 3277. Bibcode : 2006IJMPA..21.3235W . doi : 10.1142/S0217751X06033143 . ISSN 0217-751X . ↑ Yang, ChenNing (2014). "マクスウェル方程式とゲージ理論の概念的起源". Physics Today . 67 (11): 45–51 . Bibcode : 2014PhT....67k..45Y . doi : 10.1063/PT.3.2585 . 1 2 3 4 ファインマン (1964) 、第15章 1 2 フィッツパトリック、リチャード。 「テンソルと擬似テンソル」 （講義ノート）。テキサス州オースティン： テキサス大学 。 1 2 3 Mark D. Semon および John R. Taylor (1996). "磁気ベクトルポテンシャルに関する考察" . American Journal of Physics . 64 (11): 1361– 1369. Bibcode : 1996AmJPh..64.1361S . doi : 10.1119/1.18400 . ↑ ファインマン、リチャード・P. ; レイトン、ロバート・B. ; サンズ、マシュー (1964). 「17」 . ファインマン物理学講義 . 第 2巻. アディソン・ウェスリー. ISBN 978-0-201-02115-8 。↑ ジャクソン（1999） 、 p.246 1 2 クラウス（1984） 、 p.189 ↑ Balanis, Constantine A. (2005), Antenna Theory (third ed.), John Wiley, ISBN 047166782X ↑ ファインマン (1964) 、p. 11、 cpt 15
参考文献 ダフィン、WJ（1990）。電気と磁気、第4版 。マグロウヒル。 ファインマン、リチャード・P；レイトン、ロバート・B；サンズ、マシュー（1964）。ファインマン物理学講義 第2巻 。アディソン・ウェスリー。ISBN 0-201-02117-X 。 ジャクソン、 ジョン・デイビッド（1999）。古典電磁気学 （第3 版）。ジョン・ワイリー・アンド・サンズ 。ISBN 0-471-30932-X 。Kraus, John D. (1984).電磁気学 版）. McGraw-Hill. ISBN 0-07-035423-5 。
外部リンク ウィキメディア・コモンズにある 磁気ベクトルポテンシャルに関連するメディア 
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