摂動（天文学）

天文学において、摂動とは、単一の他の巨大な物体の重力以外の力を受ける巨大な物体の複雑な運動のことである。^[1]他の力には、第3（第4、第5など）の物体、大気などからの抵抗、扁平な物体やその他の変形した物体による中心からずれた引力などが含まれる。^[2]

摂動の研究は、天空の惑星の運動を予測する最初の試みから始まりました。古代では原因は不明でした。アイザック・ニュートンは、運動と万有引力の法則を定式化した当時、その計算の複雑さを認識しながら、それらを摂動の最初の分析に適用しました。[ ^{2 ] [a]} それ以来、多くの偉大な数学者が関連するさまざまな問題に注目してきました。18世紀から19世紀にかけて、海洋航行のために月と惑星の位置の正確な表が求められていました。

重力摂動の複雑な運動は分解できる。物体が他の 1 つの物体の重力の影響のみを受けて従う仮想的な運動は円錐曲線であり、幾何学的な用語で記述できる。これは2 体問題、または摂動のないケプラーの軌道と呼ばれる。この運動と物体の実際の運動との差は、残りの物体の追加の重力効果による摂動である。他の重要な物体が 1 つだけの場合、摂動運動は3 体問題である。他の物体が複数ある場合はn体問題である。2 体問題には一般的な解析解 (将来の任意の時点での位置と運動を予測する数式) が存在する。3 つ以上の物体が考慮される場合、解析解は特殊な場合にのみ存在する。2 体問題であっても、物体の 1 つが不規則な形状であれば解けなくなる。^[6]

複数の重力が関与するシステムのほとんどには、その影響が支配的な 1 つの主要天体 (たとえば、恒星とその惑星の場合は恒星、惑星とその衛星の場合は惑星) が存在します。他の天体の重力の影響は、その主要天体の周りの 惑星または衛星の仮想的な非摂動運動の摂動として扱うことができます。

一般摂動法では、運動または軌道要素の変化のいずれかに関する一般微分方程式が、通常は級数展開によって解析的に解かれる。結果は通常、問題の物体と摂動物体の軌道要素の代数関数と三角関数で表されます。これは、多くの異なる条件セットに一般的に適用でき、特定の重力物体セットに固有のものではありません。^[7]歴史的には、一般摂動が最初に調査されました。古典的な方法は、要素の変化、パラメータの変化、または積分定数の変化として知られています。これらの方法では、物体は常に円錐曲線上を動いていると考えられますが、円錐曲線は摂動のために常に変化しています。すべての摂動が特定の瞬間に停止した場合、物体はこの（現在は変化しない）円錐曲線内に無期限に留まります。この円錐は接触軌道として知られており、特定の時点におけるその軌道要素が一般摂動法によって求められるものである。^[2]

一般摂動は、天体力学の多くの問題において、摂動により2体軌道がかなりゆっくりと変化するという事実を利用している。2体軌道は良い第一近似である。一般摂動は、摂動力が主天体の重力より約1桁小さいかそれ以下の場合にのみ適用可能である。 ^[6]太陽系では、これは通常の場合である。2番目に大きい天体である木星の質量は約⁠1/ 1000 ⁠太陽のそれ。

一般的な摂動法は、観測された特定の運動の原因が容易に発見できるため、いくつかの種類の問題では好まれます。これは、特殊な摂動の場合に必ずしも当てはまるわけではありません。運動は同様の精度で予測されますが、それを引き起こした摂動体の構成（たとえば、軌道共鳴）に関する情報は入手できません。^[6]

特殊摂動法では、対象物体の位置、速度、加速力などの値を表す数値データセットが、微分運動方程式の数値積分の基礎となります。^[8]実際には、位置と速度は直接摂動され、軌道の曲線や軌道要素を計算しようとする試みは行われません。^[2]

特殊摂動は、摂動力が小さい場合に限定されないため、天体力学のあらゆる問題に適用できます。 ^[6]かつては彗星と小惑星にのみ適用されていましたが、特殊摂動法は現在、天文年鑑の最も正確な機械生成惑星暦の基礎となっています。 ^{[2] [b]}特殊摂動は、コンピューターで軌道を モデル化するためにも使用されます。

コーウェルの定式化（ACDクロメリンとともにハレー彗星の再来を予測するために同様の方法を使用したフィリップ・H・コーウェルにちなんで名付けられた）は、特殊摂動法の中でおそらく最も単純なものである。 ^[9]相互に作用する物体のシステムでは、この方法は、他の物体からの個々の相互作用を合計することによって、物体に働くニュートン力を数学的に解きます。 ${\displaystyle \n\}$${\displaystyle \ i\ }$${\displaystyle j}$

${\displaystyle \mathbf {\ddot {r}} _{i}=\sum _{\underset {j\neq i}{j=1}}^{n}\ G\ m_{j}{\frac { \ (\mathbf {r} _{j}-\mathbf {r} _{i})\ }{\ \|\mathbf {r} _{j}-\mathbf {r} _{i}\|^ {3}}}}$

ここで、は物体 の加速度ベクトル、は万有引力定数、は物体 の質量、はそれぞれ物体との位置ベクトル、 は物体 から物体 までの距離で、すべてのベクトルはシステムの重心を基準としています。この方程式は、 との成分に分解され、これらが数値的に積分されて新しい速度ベクトルと位置ベクトルが形成されます。このプロセスは、必要な回数だけ繰り返されます。 Cowell 法の利点は、適用とプログラミングが容易なことです。欠点は、摂動の大きさが大きくなると (物体が別の物体に接近するときなど)、この方法の誤差も大きくなることです。^{[10]ただし、}天体力学 の多くの問題では、これは当てはまりません。もう一つの欠点は、太陽のような支配的な中心天体を持つシステムでは、中心天体と摂動天体の力の大きな差のために、計算で多くの有効桁数が必要になることです。ただし、現代のコンピュータに組み込まれた高精度の数値により、これは以前ほど大きな制限ではありません。^[11]${\displaystyle \\mathbf {\ddot {r}}_{i}\}$${\displaystyle i}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \m_{j}\}$${\displaystyle j}$${\displaystyle \\mathbf {r}_{i}\}$${\displaystyle \\mathbf {r}_{j}\}$${\displaystyle \ i\ }$${\displaystyle \j\}$${\displaystyle \ r_{ij}\equiv \|\mathbf {r} _{j}-\mathbf {r} _{i}\|\ }$${\displaystyle i}$${\displaystyle \j\}$${\displaystyle \ x\ ,}$ ${\displaystyle \y\,}$${\displaystyle \ z\ ,}$

エンケ法は、接触軌道を基準として数値積分を行い、基準からの変化を時間の関数として求めます。^[12] この方法の利点は、摂動が一般に小さいため、積分をより大きなステップで進めることができ（結果として誤差が少なくなります）、極端な摂動の影響をほとんど受けないことです。欠点は複雑さです。接触軌道を時々更新し、そこから継続する（整流と呼ばれるプロセス）ことなく、無期限に使用することはできません。 [ ^10]エンケ法は、要素の一般的な摂動法に似ていますが、整流が連続的ではなく離散的な間隔で実行される点が異なります。^{[13] [全文引用が必要]}

を接触軌道の半径ベクトル、を摂動軌道の半径ベクトル、を接触軌道からの変化 とすると、${\displaystyle {\boldsymbol {\rho}}}$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle \delta \mathbf {r} }$

${\displaystyle \mathbf {\ddot {r}} }$およびは、およびの運動方程式に過ぎない。${\displaystyle {\boldsymbol {\ddot {\rho }}}}$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle {\boldsymbol {\rho }},}$

ここで、は重力パラメータ、は中心物体と摂動物体の質量、は摂動加速度、および はおよびの大きさです。 ${\displaystyle \mu =G(M+m)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \mathbf {a} _{\text{per}}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle {\boldsymbol {\rho }}}$

式（３）と（４）を式（２）に代入すると、

理論的には、これを2回積分して を求めることができます。接触軌道は2体法で簡単に計算できるため、とが考慮され、を解くことができます。実際には、括弧内の量 は2つのほぼ等しいベクトルの差であり、追加の有効桁 が必要になるのを避けるために、さらに操作する必要があります。^{[14] [15]エンケの方法は、現代の}コンピューターが登場する前、軌道計算の多くが機械式計算機で行われていた時代には、より広く使用されていました。 ${\displaystyle \delta \mathbf {r} }$${\displaystyle {\boldsymbol {\rho }}}$${\displaystyle \delta \mathbf {r} }$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle {{\boldsymbol {\rho }} \over \rho ^{3}}-{\mathbf {r} \over r^{3}}}$

太陽系では、ある惑星が他の惑星から受ける擾乱の多くは周期的であり、惑星が軌道上で他の惑星を通過するたびに生じる小さな衝撃から成ります。これにより、天体は周期的または準周期的な運動をします。たとえば、月の軌道が大きく擾乱される現象は、月の理論の対象です。この周期的な性質により、1846年に海王星が天王星の軌道を擾乱した結果、海王星が発見されました。

惑星間の継続的な摂動により、軌道要素に長期的な準周期的変動が生じ、2つの惑星の公転周期がほぼ同期しているときに最も顕著になります。たとえば、木星の公転5回(59.31年) は、土星の公転2回 (58.91年) とほぼ等しくなります。これにより、両方の惑星に大きな摂動が生じ、その周期は918年です。これは、合の際の両者の位置の小さな差が1つの完全な円を描くのに必要な時間であり、ラプラスによって初めて発見されました。^[2]現在、 金星はすべての惑星の軌道の中で最も離心率が小さい、つまり円形に近い軌道を描いています。25,000年後には、地球は金星よりも円形に近い (離心率が低い) 軌道になります。太陽系内の長期周期的な擾乱は、非常に長い時間スケールで無秩序になる可能性があることが示されています。状況によっては、1つまたは複数の惑星が他の惑星の軌道を横切り、衝突を引き起こす可能性があります。^[c]

太陽系の小天体、例えば彗星の多くは、その軌道がしばしば激しく乱される。特に巨大ガス惑星の重力場によるものである。こうした乱れの多くは周期的であるが、そうでないものもあり、特にこれらは混沌とした運動の側面を表している可能性がある。例えば、1996年4月、木星の重力の影響でヘール・ボップ彗星の公転周期は4,206年から2,380年に減少したが、この変化は周期的に元に戻ることはない。^[16]

脚注

引用

文献

• PE エルヤスバーグ: 人工地球衛星の飛行理論入門

• Solex (Aldo Vitagliano 著) による火星の位置/軌道/接近の予測
• 重力 ジョージ・ビデル・エアリー卿が 1884 年に出版した、重力の運動と摂動に関する本。数学はほとんどまたは全く使用されていません。(Google ブックスで入手可能)