ジオイド

ジオイド（/ ˈ dʒ iː . ɔɪ d / JEE -oyd ）は、風や潮汐など他の影響がない場合に、地球の重力（重力と地球の自転を含む）の影響下で海面がとる形状です。この表面は大陸（非常に狭い仮想的な運河で近似できるもの）まで広がっています。これを最初に説明したガウスによると、これは「地球の数学的図形」であり、地球の内部と表面上の質量の不均一な分布から生じる形状を持つ、滑らかだが不規則な表面です。 ^{[2]これは、広範な重力測定と計算を通じてのみ知ることができます。測地}学と地球物理学の歴史においてほぼ200年間重要な概念であるにもかかわらず、 20世紀後半の 衛星測地学の進歩以降、初めて高精度に定義されました。

ジオイドは、多くの場合、与えられた基準楕円体上のジオイドの起伏またはジオイド高として表現されます。基準楕円体とは、惑星の自転によって赤道が膨らんだわずかに平らな球体です。一般的に、ジオイド高は、地球の物質が局所的に密度が高く、周囲の領域よりも大きな重力を及ぼす場所で高くなります。ジオイドは、海抜高度、ジオポテンシャル高度、および動的高度など、さまざまな鉛直座標の基準座標面として機能します (測地学#高さを参照)。

ジオイド面上のすべての点は、同じジオポテンシャル（重力による位置エネルギーと遠心力による位置エネルギーの合計）を持っています。この面では、一時的な潮汐変動を除けば、重力はジオイドに対して垂直なすべての場所で作用します。つまり、鉛直線は垂直を指し、水準器はジオイドに対して平行です。等ジオポテンシャルであるということは、ジオイドが静止した水の自由表面に対応することを意味します（地球の重力と回転加速度のみが作用している場合）。これは、ボールがジオイド上を転がらずに静止したままでいるための十分な条件でもあります。したがって、地球の重力加速度（ジオポテンシャルの垂直微分）は、ジオイド上で不均一です。^[3]

ジオイド表面は、基準楕円体（物理的な地球を楕円体として数学的に理想化した表現）とは異なり不規則ですが、地球の物理的な表面よりはかなり滑らかです。地球の「地面」は+8,800 m（エベレスト）から-11,000 m（マリアナ海溝）のオーダーで逸脱していますが、楕円体からのジオイドの偏差は+85 m（アイスランド）から-106 m（南インド）の範囲で、合計200 m未満です。^[4]

もし海洋の密度が一定で、潮汐、海流、天候の影響を受けなければ、その表面はジオイドに似たものとなる。ジオイドと平均海面の恒久的な偏差は、海洋表面地形と呼ばれる。大陸の陸地が一連のトンネルや運河で縦横に交差している場合、それらの運河の海面もジオイドとほぼ一致する。測地学者は水準器を使って、ジオイドより上の大陸の地点の高さを導き出すことができる。

等電位面であるジオイドは、定義上、一時的な潮汐の変動を除けば、重力がどこでも垂直になる面です。つまり、船で旅行しているとき、ジオイドの起伏に気付かないということです。潮汐を無視すれば、局所的な垂直線 (鉛直線) は常にジオイドに垂直で、局所的な地平線はジオイドに接しています。同様に、水準器は常にジオイドに平行です。

地球の重力場は均一ではありません。理想的な地球として扁平な回転楕円体が一般的に使用されていますが、地球が球形で自転していないとしても、密度が惑星全体で異なるため、重力の強さはどこでも同じではありません。これは、マグマの分布、地殻の異なる地質学的組成の密度と重量、山脈、深海溝、氷河による地殻の圧縮などによるものです。

その球体が水で覆われると、水の高さはどこでも同じにはなりません。その代わり、地球の中心からその場所までの重力の強さの積分に応じて、水位は地球の中心に対して高くなったり低くなったりします。ジオイドの高さは、水がある場所と一致します。一般的に、地球の物質が局所的に密度が高く、より大きな重力を及ぼし、周囲の領域からより多くの水を引き寄せる場所では、ジオイドは高くなります。

ジオイドの起伏（ジオイド高またはジオイド異常とも呼ばれる）Nは、特定の基準楕円体に対するジオイドの高さです。 国によって基準となる平均海面が異なるため、起伏は標準化されていませんが、最も一般的にはEGM96ジオイドを指します。 $${\displaystyle N=h-H}$$

地図や一般的な用途では、平均海面からの高さ（例えば、海抜高度H）は標高を示すのに使用され、楕円体高hはGPSシステムや同様のGNSSから得られます。 （通常の高さと準ジオイド の間にも同様の関係があり、準ジオイドは局所的な密度の変化を無視します。）実際には、多くのハンドヘルドGPS受信機は、事前に計算されたジオイドマップ（ルックアップテーブル）でNを補間します。^[5]$${\displaystyle H=h-N}$$

そのため、船上のGPS 受信機は、長い航海の途中では、船が常に海面にあるにもかかわらず (潮汐の影響を無視した場合)、高度の変動を示すことがあります。これは、地球の重心の周りを周回するGPS衛星が、地心基準楕円体に対する高さしか測定できないためです。標高を取得するには、生の GPS 読み取り値を補正する必要があります。逆に、従来の土地測量のように、潮位計から水準器で測定した高さは、標高に近くなります。最新の GPS 受信機のソフトウェアにはグリッドが実装されており、これにより、現在の位置から世界測地系(WGS) 楕円体上のジオイド (例: EGM96 ジオイド) の高さを取得します。次に、WGS 楕円体上の高さを EGM96 ジオイド上の高さに補正できます。船上で高さがゼロでない場合、その不一致は、海洋の潮汐、大気圧（気象の影響）、局所的な海面地形、測定の不確実性 などの他の要因によるものです。

ジオイドNの起伏は、ブルンスの公式(ハインリッヒ・ブルンスにちなんで名付けられた)に従って、擾乱ポテンシャル Tと密接に関係しています。

${\displaystyle N=T/\gamma \,,}$

ここで、 は法線場ポテンシャルから計算された法線重力の力です。 ${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle U}$

Nを決定する別の方法は、重力異常 値、つまり真の基準重力と通常の基準重力の差を使用することです。${\displaystyle \Delta g}$1849年にジョージ・ガブリエル・ストークスによって発表されたストークスの公式（またはストークスの積分）:

${\displaystyle N={\frac {R}{4\pi \gamma _{0}}}\iint _{\sigma }\Delta g\,S(\psi )\,d\sigma .}$

積分核 S はストークス関数と呼ばれ、ストークスによって閉じた解析形式で導出されました。^[6]この式で地球上の任意の場所 を決定するには、海洋、極地、砂漠を含む地球上のあらゆる場所を知る必要があることに注意してください。地上の重力測定では、国際測地学協会(IAG)内の緊密な国際協力、例えば国際重力局 (BGI、Bureau Gravimétrique International) を通じた協力にもかかわらず、これはほぼ不可能です。 ${\displaystyle N}$${\displaystyle \Delta g}$

ジオイドを決定するための別のアプローチは、複数の情報源を組み合わせることです。地上の重力測定だけでなく、衛星の軌道摂動の分析から得られる地球の形状に関する衛星測地データ、最近ではGOCEやGRACEなどの衛星重力ミッションから得られるデータも組み合わせます。このような組み合わせソリューションでは、ジオイド ソリューションの低解像度部分は衛星データによって提供され、評価ポイントの近隣からの地上の重力測定データのみから高解像度部分を計算するために、上記のストークス方程式の「調整された」バージョンが使用されます。

うねりを計算することは数学的に困難です。^{[7] [8]} Petr Vaníčekと同僚 による精密なジオイド解は、ジオイド計算に対するストークスアプローチを改良したものです。^{[9]彼らの解は、ジオイド}計算においてミリメートルからセンチメートルの精度を可能にし、従来の古典的な解に比べて桁違いの改善となっています。^{[10] [11] [12] [13]}

ジオイドの起伏には不確実性があり、最小二乗法（LSC）、ファジー論理、人工ニューラルネットワーク、ラジアル基底関数（RBF）、地統計学的手法など、いくつかの方法を使用して推定することができます。地統計学的アプローチは、ジオイドの起伏の予測において最も改善された手法として定義されています。^[14]

ジオイド面の高さの変化は、地球内部の異常な密度分布と関係している。したがって、ジオイドの測定は、地球の内部構造を理解するのに役立つ。総合的な計算によると、厚くなった地殻（例えば、大陸衝突によって形成された造山帯）のジオイドの特徴は正であり、厚化がリソスフェア全体に影響する場合に予想される値とは逆である。マントル対流も、時間の経過とともにジオイドの形状を変化させる。^[15]

正の重力異常または負の擾乱ポテンシャル（質量過剰）がある場合、ジオイドの表面は基準楕円体よりも高くなり、負の重力異常または正の擾乱ポテンシャル（質量不足）がある場合、ジオイドの表面は基準楕円体よりも低くなります。^[16]

この関係は、重力ポテンシャルが負の値を持ち、物体からの距離に反比例するように定義されていることを思い出すと理解できます。したがって、質量が過剰になると重力加速度が強まりますが、重力ポテンシャルは減少します。その結果、ジオイドを定義する等ポテンシャル面は、質量過剰から離れた位置に移動します。同様に、質量不足になると重力の引力が弱まりますが、特定の距離でのジオポテンシャルが増加するため、ジオイドは質量不足の方向に動きます。

背景媒体中に局所的な介在物が存在すると、重力加速度ベクトルはそれぞれより密度の高い物体またはより軽い物体に向かって、またはそれらから離れてわずかに回転し、等電位面に隆起またはくぼみが生じます。^[17]

最大の絶対偏差はインド洋ジオイド低位で、平均海面より106メートル低い。^{[18]もう一つの大きな特徴は北大西洋ジオイド高位（または北大西洋ジオイドうねり）で、これは}新生代後期氷河期 に北米と北ヨーロッパを覆った氷の重さによって部分的に引き起こされた。^[19]

重力場および定常海洋循環探査機（GOCE）や GRACEなどの最近の衛星ミッションにより、時間変動ジオイド信号の研究が可能になりました。GOCE衛星データに基づく最初の製品は、2010年6月に欧州宇宙機関（ESA）を通じてオンラインで利用可能になりました。^{[20] [21]} ESAは、前例のない精度と空間解像度で地球の重力をマッピングするミッションを遂行するために、2009年3月に衛星を打ち上げました。2011年3月31日、ドイツのミュンヘン工科大学で開催された第4回国際GOCEユーザーワークショップで、新しいジオイドモデルが発表されました。^[22] GRACEデータから計算された時間変動ジオイドを使用した研究により、地球規模の水循環、^[23]氷床の質量収支、^[24]および氷河期後の回復に関する情報が得られました。^[25]後氷期の反発測定から、時間変化するGRACEデータを使用して地球のマントルの粘性を推定することができます。^[26]

球面調和関数はジオイドの形状を近似するためによく使用されます。現在、球面調和関数の係数の最良のセットは、国立画像地図局（現在の国立地理空間情報局、NGA）が主導する国際共同プロジェクトで決定されたEGM2020 （地球重力モデル2020）です。このモデルにおけるポテンシャル関数の非回転部分の数学的記述は次のとおりです。^[27]

$${\displaystyle V={\frac {GM}{r}}\left(1+{\sum _{n=2}^{n_{\text{max}}}}\left({\frac {a}{r}}\right)^{n}{\sum _{m=0}^{n}}{\overline {P}}_{nm}(\sin \phi )\left[{\overline {C}}_{nm}\cos m\lambda +{\overline {S}}_{nm}\sin m\lambda \right]\right),}$$

ここで、 およびはそれぞれ地心（球面）緯度と経度、は次数と 次数の完全に正規化されたルジャンドル准多項式、および は測定データに基づくモデルの数値係数です。上記の式は、座標が地心半径 、すなわち地球の中心からの距離である場所における、地球の重力ポテンシャルを表しており、ジオイドそのものではありません。ジオイドは特定の等ポテンシャル面であり、^[27]計算が多少複雑です。このポテンシャルの勾配は、重力加速度のモデルも提供します。最も一般的に使用される EGM96 には、 次数と 次数 360 までの係数の完全なセット（すなわち、）が含まれており、55 km（解像度の定義によっては 110 km）ほど小さいグローバル ジオイドの詳細を表します。係数の数、および は、まず の式での特定の値に対してを除くのすべての値に対して 2 つの係数があることに気づくことで決定できます。なので のときは係数は 1 つだけです。したがって、のあらゆる値に対して係数が存在する。これらの事実と公式 を用いると、係数の総数は次のように与えられる。 ${\displaystyle \phi \ }$${\displaystyle \lambda \ }$${\displaystyle {\overline {P}}_{nm}}$${\displaystyle n\ }$${\displaystyle m\ }$${\displaystyle {\overline {C}}_{nm}}$${\displaystyle {\overline {S}}_{nm}}$ ${\displaystyle V}$${\displaystyle \phi ,\;\lambda ,\;r,\ }$${\displaystyle r\ }$${\displaystyle n_{\text{max}}=360}$${\displaystyle {\overline {C}}_{nm}}$${\displaystyle {\overline {S}}_{nm}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$${\displaystyle m=0}$${\displaystyle m=0}$${\displaystyle \sin(0\lambda )=0}$${\displaystyle (2n+1)}$${\displaystyle n}$${\textstyle \sum _{I=1}^{L}I={\frac {1}{2}}L(L+1)}$

$${\displaystyle \sum _{n=2}^{n_{\text{max}}}(2n+1)=n_{\text{max}}(n_{\text{max}}+1)+n_{\text{max}}-3=130317}$$のEGM96値を使用します。 ${\displaystyle n_{\text{max}}=360}$

多くのアプリケーションでは、完全なシリーズは不必要に複雑であり、数項 (場合によっては数十項) の後で切り捨てられます。

それでも、さらに高解像度のモデルが開発されている。EGM96の著者の多くはEGM2008を発表している。これは新しい衛星重力データ（例えば、重力回復・気候実験）の多くを取り入れており、次数と順序2160（1度の6分の1、400万以上の係数が必要）までをサポートし、^[28]追加係数は次数2190、順序2159まで拡張されている。 ^[29] EGM2020は、当初2020年に予定されていた国際的なフォローアップであり（2024年になってもまだ発表されていない）、より優れたデータで生成された同数の高調波が含まれている。^[30]

• 垂直方向の偏向
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• 物理的な測地学
• 惑星ジオイド
  • アレオイド（火星のジオイド）
  • セレノイド（月のジオイド）

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• 地球重力モデルに関する NGA ウェブページ
• EGM96 に関する NASA のウェブページ
• ジオイドモデルに関する NOAA ウェブページ
• 国際地球モデルセンター (ICGEM)
• 国際ジオイドサービス (ISG)