クラス番号の計算式

数論において、類数公式は代数体の多くの重要な不変量をそのデデキントゼータ関数の特殊な値に関連付けます。

まず、次のデータから始めます。

• K は数体です。
• [ K  : Q ] = n = r ₁ + 2 r ₂、ここでr _{1 は}Kの実埋め込みの数を表し、2 r _{2 は}Kの複素埋め込みの数を表します。
• ζ _K ( s ) はKのデデキントゼータ関数です。
• h _Kはクラス数、つまり Kの理想クラス群内の要素の数です。
• Reg _{K は}Kの調節因子です。
• w _{K は}Kに含まれる1 の根の数です。
• D _{K は}拡張K / Qの判別式です。

それから：

定理（類数公式）。ζ K ( s ) は_Re ( s ) > 1に対して絶対収束し、すべての複素数sに対して定義される有理型関数に拡張され、 s = 1で唯一の単純な極を持ち、留数が

${\displaystyle \lim _{s\to 1}(s-1)\zeta _{K}(s)={\frac {2^{r_{1}}\cdot (2\pi )^{r_{2}}\cdot \operatorname {Reg} _{K}\cdot h_{K}}{w_{K}\cdot {\sqrt {|D_{K}|}}}}}$

これは最も一般的な「類数式」です。特定の場合、たとえばK がQの円分拡大である場合、特定のより洗練された類数式が存在します。

クラス数公式の証明の考え方は、K = Q (i) のときに最も簡単にわかります。この場合、 Kの整数環はガウス整数です。

基本的な操作により、s = 1におけるデデキント ゼータ関数の留数は、デデキント ゼータ関数のディリクレ級数表現の係数の平均であることが示されます。ディリクレ級数のn番目の係数は、本質的には、 2 つの非負整数の平方の和としてのnの表現の数です。したがって、表現の平均数を計算することで、 s = 1 におけるデデキント ゼータ関数の留数を計算できます。ガウス円問題に関する記事と同様に、原点を中心とする 1/4 円内の格子点の数を概算することでこれを計算でき、留数は円周率の 1/4 であると結論付けることができます。

Kが任意の虚数二次数体である場合の証明は非常に似ている。 ^[1]

一般的なケースでは、ディリクレの単位定理により、 Kの整数環の単位群は無限です。それでも、実数および複素数埋め込みの古典的な理論を使用して留数の計算を格子点の計数問題に簡略化し、領域の体積で領域内の格子点の数を近似することで、証明を完了することができます。

ピーター・グスタフ・ルジューン・ディリクレは1839年に二次体の類数公式の証明を発表したが、それはイデアルの類ではなく二次形式の言語で述べられていた。ガウスは1801年にすでにこの公式を知っていたようだ。^[2]

この解説はダヴェンポートの解説に従う。^[3]

d を基本判別式とし、判別式dを持つ二次形式の同値類の数をh(d)と書きます。をクロネッカー記号とします。すると、 はディリクレ指標となります。に基づくディリクレ L 級数を と書きます。d > 0に対して、t > 0、u > 0 をuが最小となるペル方程式の解とし、 と書きます。 ${\displaystyle \chi =\left(\!{\frac {d}{m}}\!\right)}$${\displaystyle \chi}$${\displaystyle L(s,\chi )}$${\displaystyle \chi}$ ${\displaystyle t^{2}-du^{2}=4}$

${\displaystyle \varepsilon ={\frac {1}{2}}(t+u{\sqrt {d}}).}$

（この場合、 は実二次体の基本単位か、基本単位の平方のいずれかです。） d < 0 の場合、判別式dの二次形式の自己同型数の数をw と書きます。つまり、 ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$

${\displaystyle w={\begin{cases}2,&d<-4;\\4,&d=-4;\\6,&d=-3.\end{cases}}}$

そしてディリクレは

${\displaystyle h(d)={\begin{cases}{\dfrac {w{\sqrt {|d|}}}{2\pi }}L(1,\chi ),&d<0;\\{ \dfrac {\sqrt {d}}{2\ln \varepsilon }}L(1,\chi ),&d>0.\end{cases}}}$

これは、上記の定理 1 の特殊なケースです。2次体 Kに対して、デデキントのゼータ関数は で、留数は です。ディリクレはまた、L級数が有限形式で記述できることを示しました。これは、類数の有限形式を与えます。が原始的で、素導体が であるとします。 ${\displaystyle \zeta _{K}(s)=\zeta (s)L(s,\chi )}$${\displaystyle L(1,\chi )}$${\displaystyle \chi}$ ${\displaystyle q}$

${\displaystyle L(1,\chi )={\begin{cases}-{\dfrac {\pi }{q^{3/2}}}\sum _{m=1}^{q-1}m\left({\dfrac {m}{q}}\right),&q\equiv 3\mod 4;\\-{\dfrac {1}{2q^{1/2}}}\sum _{m=1}^{q-1}\left({\dfrac {m}{q}}\right)\ln \left(\sin {\dfrac {m\pi }{q}}\right),&q\equiv 1\mod 4.\end{cases}}}$

K がQのガロア拡大である場合、アルティンの L 関数の理論が に適用されます。これは、留数 1 の極を持つリーマンゼータ関数の 1 つの因子を持ち、商はs = 1 で正則です。これは、類数公式の右辺が左辺と等しくできることを意味します。 ${\displaystyle \zeta _{K}(s)}$

Π L (1,ρ) の^次元ρ

ρは次元dim(ρ)のGal( K / Q )の既約な非自明な複素線型表現のクラスにわたって実行されます。これは、正規表現の標準的な分解に従います。

これは、Gal( K / Q )がアーベル群である場合の上記の場合であり、その中で、すべてのρは、導体と呼ばれるいくつかの係数fに対して、 （類体理論を介して）ディリクレ指標で置き換えることができます。したがって、すべてのL （1）値は、対数を含む古典的な公式がある ディリクレL関数に対して発生します。

クロネッカー・ウェーバーの定理によれば、解析的類数式に必要なすべての値は、円分体を考慮するとすでに生じている。その場合、クンマーによって示されたように、さらなる定式化が可能となる。円分体の単位の対数で割った「対数空間」の体積の計算であるレギュレータは、円分単位の対数として認識可能なL (1) からの量に対して設定することができる。その結果、類数は単位群全体における円分単位のインデックスによって決定されるという式が得られる。

岩澤理論では、これらの考え方がさらにスティッケルバーガーの定理と組み合わされています。

• ブルーマー・スターク予想
• スミス・ミンコフスキー・ジーゲル質量公式

• W. Narkiewicz (1990).代数的数の基本および解析理論（第2版）。Springer - Verlag / Polish Scientific Publishers PWN。pp. 324–355。ISBN 3-540-51250-0。

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