軌道要素 とは、特定の軌道を一意に識別するために必要な パラメータのこと です。天体力学では、これらの要素は ケプラー軌道 を用いた二体システム で考慮されます。同じ軌道を数学的に記述する方法は数多くありますが、天文学 や軌道力学 では特定のスキームが一般的に用いられています。
実際の軌道とその要素は、他の天体による重力摂動や 一般相対性理論 の影響により、時間とともに変化します。ケプラー軌道は、特定の時点における軌道を理想化した数学的な近似値です。
慣性系 から見ると、2つの軌道上の物体はそれぞれ異なる軌跡を描きます。これらの軌跡はそれぞれ共通の重心を 中心 としています。一方の物体を中心とする非慣性系から見ると、反対側の物体の軌跡のみが見えます。ケプラー要素は、これらの非慣性軌道を表します。軌道には、どちらの物体を基準点として使用するかによって、2組のケプラー要素が存在します。基準となる物体（通常は質量が大きい方）を主物体、 副物体 と呼びます。主物体が必ずしも副物体よりも質量が大きいとは限らず、物体の質量が等しい場合でも、軌道要素は主物体の選択によって異なります。
軌道要素は、軌道状態ベクトル（軌道上の物体の位置ベクトルと速度ベクトル）から、手動変換または 軌道決定 と呼ばれるプロセスによるコンピュータソフトウェアによって取得できます。[ 1 ]
閉じていない軌道も存在するが、これらは周期性がないため、通常は軌道ではなく軌跡と呼ばれる。閉じた軌道を記述するために用いられる要素は、開いた軌跡を表すためにも一般的に用いられる。
必須パラメータ ケプラー軌道を明確に定義するには、6つの軌道要素が必要です。これは、この問題に6つの自由度があるためです。これらは、 軌道状態ベクトル で定義される6つのパラメータに対応します。3つの空間次元 は位置（デカルト座標系 におけるx y z
しかし、このような6つの要素のセットでは、軌道上の物体の初期位置と軌道の形状しか記述できません。軌道要素のセットを用いてケプラー問題を 解くには、さらに2つのパラメータを含める必要があります。つまり、任意の未来時刻における軌道上の物体の位置と速度を求めるには、8つの軌道要素からなる拡張セットが必要となるのです。
軌道要素を用いて軌道を記述する場合、通常、軌道の大きさや形状を記述するために2つの要素、軌道の回転を記述するために3つの要素、そして軌道上の開始位置を記述するために1つの要素が必要です。さらに、位置を時間の関数として求める必要がある場合は、これらの要素に運動速度を記述する要素と、開始位置が発生する時間を記述する要素を追加することができます。
一般的な軌道要素の種類別分類
サイズと形状を記述するパラメータ 離心率0.5の軌道の図。使用されている変数名は、説明されている名称と一致していますが、遠点と近点はそれぞれAp.とPe.と表記されています。円形の点は楕円の中心、黒いひし形は主焦点です。 軌道の大きさと形状を記述するには、2つのパラメータが必要です。一般的に、これらの値のうち任意の2つを使用して他の値を計算できます（後述）。したがって、どちらを使用するかは、好みと特定の用途によって異なります。
離心率 ( e ) — 楕円の形状を表し、完全な円からのずれの度合いを示します。離心率が 0 (ゼロ) の場合は完全な円 、1 未満の値は楕円、ちょうど 1 の値は放物線 、 1より大きい値は双曲線 を表します。[ 2 ] 半長軸 （a ） — 遠点と近点 の間の距離の半分（楕円の長軸）。この値は楕円軌道では正、放物線軌道では定義されず、双曲線軌道では負となるため、異なるタイプの軌道を扱う際にはその使用が妨げられる可能性がある。[ 3 ] 短半径 （b ） は、楕円の幾何学的中心を通る短軸の半分の長さです。この値は長半径と同様に、放物線軌道の場合は定義されず、双曲線軌道の場合は負の値になります。半パラメータ ( p ) — 主焦点 を 真近点角 が± + π / 2 ラジアン 、 つまり±90° の場合の軌道半径r) 。この値は、一般的な 軌道方程式 で使用するのに便利で、 p と真近点角が与えられた場合、あらゆる種類の軌道または軌跡の中心天体からの距離を返すことができます。この値は、半ラトゥス・レクタム とも呼ばれ、別の記号ℓ が与えられます。さらに、この値は、長半径や短半径とは異なり、常に定義され、正の値になります。[ 3 ] 遠点 ( r a ) — 中心天体から軌道上で最も遠い点 (真近点角π ラジアン、Q が与えられることがあります。[ 2 ] 近点 ( r p — 中心天体から最も近い軌道上の点 (真近点角が 0 の点)。遠点とは異なり、この値はすべての軌道タイプで定義されます。この値には、記号q が与えられることがあります。[ 2 ] 完全な円軌道の場合、軌道上のすべての点が中心天体から同じ距離にあるため、明確な遠点や近点は存在しません。また、中心天体によって「遠点」と「近点」の接頭辞が変わることもよくあります（例えば、 地球の軌道では「遠地点」と「近地点」、 太陽 の軌道では「遠日点」と「近日点」）。
軌道の大きさや形状を表すために、線形離心率 、扁平率 、焦点パラメータ などの他のパラメータも使用できますが、これらの使用には制限があります。
要素間の関係 このセクションでは、これらの軌道要素間の一般的な関係を示しますが、これらの式を1つ以上操作することで、さらに多くの関係を導き出すことができます。ここで使用されている変数名は、上記で説明した変数名と一致しています。
偏心率は、短半径と長半径を用いて求めることができます。 e = { 1 − b 2 1 2 w h e n 1 > 0 （ e l l 私 p s e ） 、 1 + b 2 1 2 w h e n 1 < 0 （ h y p e r b o l 1 ） 。 {\displaystyle e={\begin{cases}{\sqrt {\ 1-{\frac {\ b^{2}}{\ a^{2}}}~}}&~~{\mathsf {when}}~~a>0\quad {\mathsf {(ellipse)}}\ ,\\{\sqrt {\ 1+{\frac {\ b^{2}}{\ a^{2}}}~}}&~~{\mathsf {when}}~~a<0\quad {\mathsf {(hyperbola)}}~.\end{cases}}}
離心率は、遠点と近点を用いて次の関係式によって求めることもできます。[ 2 ] e = r 1 − r p r 1 + r p 。 {\displaystyle e={\frac {r_{\mathsf {a}}-r_{\mathsf {p}}}{\ r_{\mathsf {a}}+r_{\mathsf {p}}\ }}~.}
半長軸は、遠点から円錐の中心を結ぶ線と中心から近点を結ぶ線の両方を合わせた長さが円錐の長さ、つまり長軸に等しいという事実を利用して求めることができます。これを2で割ると半長軸が得られます。[ 3 ] 1 = r p + r 1 2 。 {\displaystyle a={\frac {\ r_{\mathsf {p}}+r_{\mathsf {a}}\ }{2}}~.}
短半径は、長半径と離心率を用いて、以下の関係式から求めることができます。 b = { 1 1 − e 2 w h e n e < 1 （ e l l 私 p s e ） 、 1 e 2 − 1 w h e n e > 1 （ h y p e r b o l 1 ） 。 {\displaystyle b~=~{\begin{cases}~a\;\!{\sqrt {\ 1-e^{2}~}}&~~{\mathsf {when}}~~e<1\quad {\mathsf {(ellipse)}}\ ,\\\\~a\;\!{\sqrt {\ e^{2}-1~}}&~~{\mathsf {when}}~~e>1\quad {\mathsf {(hyperbola)}}~.\end{cases}}} 平方根 を取ることを避けるには、2つの公式が必要です。または、 b = 1 | 1 − e 2 | 。 {\displaystyle ~b=a\;\!{\sqrt {\;\!\left|1-e^{2}\right|~}}~.}
半パラメータは、半長軸と離心率を使用して求めることができます。 [ 3 ] p = 1 （ 1 − e 2 ） 。 {\displaystyle p=a\left(1-e^{2}\right)~.}
アポアプシス（ e < 1 {\displaystyle \ e<1\ } [ 4 ] r 1 = 1 （ 1 + e ） 。 {\displaystyle r_{\mathsf {a}}=a\left(1+e\right)~.}
近点角は、次の式を使用して長半径と離心率から求めることができます。[ 4 ] r p = 1 （ 1 − e ） 。 {\displaystyle r_{\mathsf {p}}=a\left(1-e\right)~.}
要素アニメーション 軌道のアニメーション 半パラメータ（p ）を一定に保ち、偏心率を変化させたアニメーション。e が 1を超えると、長半径と短半径が無限大に近づき、その後負の値になることに注目してください。
近点距離（rp ）が 一定で、偏心率が変化するアニメーション。
半長軸
( a )が一定で、離心率が変化するアニメーション。e が 1 より大きい場合、半長軸は負の値になります。不連続点に注目してください。
e = 1 。 {\displaystyle \ e=1~.} 半短軸が一定で偏心率が変化するアニメーション。偏心率が 1を超えると、半短軸は負の値になります。
回転を記述する要素 この図では、軌道面 （黄色）が基準面（灰色）と交差しています。地球周回衛星の場合、基準面は通常地球の赤道面であり、太陽周回衛星の場合は黄道面です。この交点は、基準天体（主天体）と昇交点および降交点を結ぶため、 ノード線 と呼ばれます。基準天体と春分点 （♈︎）は基準方向を定め、基準面とともに基準座標系を確立します。 軌道面の向きと、その面内における軌道の向きを記述するには、3つのパラメータが必要である。
軌道傾斜角 ( i ) — 基準面（通常は中心天体の赤道 ）に対する軌道面 の垂直方向の傾き。昇 交点（軌道が基準面と交差する点。図中の緑色の角度iで示される）で測定される。傾斜角がゼロに近い場合は 赤道軌道 、90°に近い場合は極軌道 を示す。90°から180°までの傾斜角は、通常、逆行軌道 を表すために使用される。昇交点経度 ( Ω ) —軌道の昇交点 (図中の☊)から基準座標系の基準方向 (図中の♈︎) までの角度を表します。これは基準面で測定され、図中の緑色の角度Ω で示されています。この量は完全な赤道軌道 (共面軌道) では定義されませんが、慣例として代わりにゼロに設定されることがよくあります。[ 3 ] 近点引数 （ω ） は、昇交点から近点（衛星が周回する主天体に最も近づく点）までの角度として、軌道面における向きを定義します。図中の紫色の角度ω で表されます。この量は円軌道では定義されませんが、慣例としてゼロに設定されることがよくあります。[ 3 ] これら3つの要素は、基準座標系に対する軌道の向きを定義するオイラー角 として説明できます。これら3つが最も一般的ですが、他にも要素が存在し、軌道の他の特性を記述するのに役立ちます。
近点経度 （ϖ ） —基準面上で測定した春分点と近点の間の角度を表します。これは昇交点経度と近点引数の合計として表すことができます。ϖ = Ω + ω {\displaystyle \varpi =\オメガ +\オメガ } [ 3 ]
時間経過に伴う動きを記述する要素 中心天体の周りを公転する物体の速度を表すには、1つのパラメータが必要です。ただし、軌道の形状のみを記述すればよい場合は、このパラメータは省略できます。速度を直接表さない様々な量を用いてこの条件を満たすことができ、また、ある量から別の量への変換も可能です（下記の式を参照）。
要素間の関係 このセクションでは、上述の軌道要素群間の共通の関係を示しますが、これらの式を一つ以上操作することで、さらに多くの関係を導き出すことができます。ここで使用されている変数名は、上述のものと同じです。
平均運動は、標準重力パラメータと軌道の長半径を用いて計算できる。[ 3 ] n = μ | 1 | 3 。 {\displaystyle n~={\sqrt {\;\!{\frac {\mu }{\ |a|^{3}}}~}}~.} nを
軌道長半径は平均運動と標準重力パラメータに関係するため、指定しなくても計算できます。これは、μ が既知であると仮定した場合に特に便利です。なぜなら、nを使用して aを 計算でき、同様にaを 指定できるからです。これにより、指定する要素を1つ減らすことができます。
軌道周期は、平均運動が周期の逆数 である周波数（単位時間あたりの軌道の数）として記述できるという事実から、n から求めることができます。 [ 3 ] P = { 2 π n 私 f n 私 s 私 n r 1 d 私 1 n s ; 360 ∘ n 私 f n 私 s 私 n d e g r e e s 。 {\displaystyle P={\begin{cases}~~{\dfrac {\;\!2\pi \;\!}{n}}&{\mathsf {if}}~~n~~{\mathsf {is\ in\ radians}}\ ;\\\\{\dfrac {\ 360^{\circ }\;\!}{n}}&{\mathsf {if}}~~n~~{\mathsf {is\ in\ degrees}}~.\end{cases}}}
標準重力パラメータは、平均運動と軌道長半径が与えられた場合、次の関係式によって求めることができます（n はラジアン単位であると仮定します）。 μ = n 2 1 3 。 {\displaystyle \mu =n^{2}a^{3}~.}
2体システム（または中心天体）の質量（M ） は、標準重力パラメータが与えられた場合、その定義を質量と重力定数の積として変形することで求めることができる。M = μ G 。 {\displaystyle M={\frac {\ \mu \ }{G}}~.}
時代を記述する要素 天体の軌道上の位置と、その位置が特定される時刻を記述するには、2つの要素が必要です。もしこの時刻が、特定の位置変数が定数（通常はゼロ）となる時点として定義されている場合、その時刻を指定する必要はありません。
エポック （t₀ —以下の要素のいずれかが定義される時刻。あるいは、軌道要素が測定された時点。場合によっては、エポック時刻は基準系の一部とみなされ、個別の要素として記載されないこともあります。 近点通過時刻 ( T 0 — 軌道上の天体が近点にある時刻。この時刻は平均近点角と真近点角 (その他) がゼロになる時刻でもあるため、これらを定義する必要はありません。円軌道には一意に定義された近点がないため、この値は定義されません。[ 2 ] 平均近点角 ( M 0 — 基準時刻における平均近点角。平均近点角は、軌道が完全な円形であるかのように時間とともに直線的に増加する、数学的に便利な角度です。0 は近点にあると定義され、1 周期は 2πラジアン です。平均近点角の増加率は平均運動n に等しくなります。この角度は近点に対する相対的な角度であるため、円軌道では定義されません。基準 平均経度 （L₀ —基準時刻における平均経度。平均経度は平均近点角と同様に、時間とともに直線的に増加し、実際の角変位 を表すものではありません。平均近点角とは異なり、平均経度は春分点を基準として定義されるため、円軌道に対して定義されます。離心近点角 ( E 0 — 基準時刻における離心近点角。離心近点角は、楕円の補助円 (楕円の両端で接する円) に沿った角変位で定義されます。この値は、楕円軌道上の物体の速度変化を考慮していますが、軌道の楕円形状は考慮していません。そのため、軌道上の物体の実際の角変位とは一致しません。平均近点角や真近点角と同様に、離心近点角は近点を基準として測定され、円軌道では定義されません。また、離心近点角は放物線軌道や双曲線軌道では定義されず、代わりに放物線近点角または双曲線近点角が使用されます。[ 3 ] 真近点角 （ν₀ ） とは、 軌道の速度変化と楕円形状を考慮に入れた、その時点における軌道上の天体の実際の角変位を表す角度です。平均近点角と同様に、真近点角も近点を基準として測定されるため、円軌道の場合、同じ制約を受けます。真経度 （l₀）とは、 を 基準として測定されるため、円軌道に対して定義することができます。時刻における平均緯度引数 ( u M0 — 時刻における軌道体の角変位。平均緯度引数は平均近点角や平均経度に似ていますが、昇交点を基準として測定されます。つまり、円軌道では明確に定義されますが、赤道軌道では定義されません。[ 3 ] 緯度引数 ( u 0 — 時刻における軌道天体の角変位。この角度は昇交点を基準として測定されるため、円軌道では定義されますが、赤道軌道では定義されません。これらの要素は、より一般的な文脈において、物体の軌道上の位置を記述するためにも使用され、特定の時点における状態を記述することに限定されるものではありません。
要素間の関係 このセクションでは、上述の軌道要素群間の一般的な関係を示しますが、これらの式のうち1つ以上を操作することで、さらに多くの関係を導き出すことができます。ここで使用されている変数名は、上述のものと一致しています。これらの式は、これらの要素間の変換全般にも適用されます。（表記の中断に注意してください。Mは、上述のように中心天体の質量ではなく、 平均近点角 を表すように再定義されています。）
近点通過時刻、その時点での平均近点角、および平均運動から、エポックを求めることができます。 t 0 = T 0 + M 0 n 。 {\displaystyle t_{0}\ =\ T_{0}+{\frac {\ M_{0}}{n}}~.}
近点通過時刻は、エポック、エポックにおける平均近点角、および平均運動から、前述の式を変形することで求めることができる。 T 0 = t 0 − M 0 n 。 {\displaystyle T_{0}\ =\ t_{0}-{\frac {\ M_{0}}{n}}~.}
平均近点角は、ケプラーの式を用いて、偏心近点角と偏心率から求めることができる。 M = E − e 罪 E 。 {\displaystyle M\ =\ Ee\sin E~.}
平均経度は、エポックにおける平均近点角と近点経度を用いて求めることができる。[ 3 ] L = M + ϖ 、 o r L = M + ω + Ω 。 {\displaystyle L\ =\ M+\varpi \ ,\qquad {\mathsf {or}}\qquad L\ =\ M+\omega +\Omega ~.}
偏心近点角は、ケプラーの式 を用いて平均近点角と離心率から求めることができる。E = M + e 罪 E {\displaystyle E\ =\ M+e\sin E} 反復計算や数値解法（ e のいくつかの値の場合） など、さまざまな方法によって解くことができます。通常はニュートン法などの 根探索アルゴリズム によって解くことができます。[ 3 ] E k + 1 = E k + M − E k + e 罪 （ E k ） 1 − e コス （ E k ） 。 {\displaystyle E_{k+1}~=~E_{k}\ +\ {\frac {\ M-E_{k}+e\sin(E_{k})\ }{1-e\cos(E_{k})}}~.}
通常は、 M 、 {\displaystyle \ M\ ,} M − e 、 {\displaystyle \ Me\ ,} M + e 、 {\displaystyle \ M+e\ ,} M + e 罪 M {\displaystyle \ M+e\sin M\ } [ 3 ] [ 5 ]
真近点角は、以下の関係式を用いて偏心近点角から求めることができる。 罪 ν = 1 − e 2 罪 E 1 − e コス E 、 コス ν = コス E − e 1 − e コス E 。 {\displaystyle {\begin{aligned}\sin \nu \ &=\ {\frac {\ {\sqrt {1-e^{2}\ }}\sin E\ }{1-e\cos E}}\ ,\\\\\cos \nu \ &=\ {\frac {\cos Ee}{\ 1-e\cos E\ }}~.\end{aligned}}} atan2( y , x ) 関数を使用して解くことができる。[ 3 ]
真経度は、真近点角と真近点経度を用いて求めることができる。 l = ν + ϖ 、 o r l = ν + ω + Ω 。 {\displaystyle l\ =\ \nu +\varpi \ ,\qquad {\mathsf {or}}\qquad l\ =\ \nu +\omega +\Omega ~.}
平均緯度引数は、平均近点角と平均近点引数を用いて計算できます。 u M = Ω + M 。 {\displaystyle u_{M}\ =\ \Omega +M~.}
緯度引数は、真近点角と近点引数を用いて求めることができる。 u = ν + Ω 。 {\displaystyle u\ =\ \nu +\Omega ~.}
共通の要素セット
古典的なケプラー要素 理論上は、上記の要件を満たす要素の集合であればどれでも軌道を記述するために使用できるが、実際には、特定の集合が他の集合よりもはるかに頻繁に使用される。
軌道の大きさや形状を表す最も一般的な要素は、軌道長半径 ( a ) と離心率 ( e ) です。軌道長半径は 放物線軌道 では特異点を 持つため、この場合は使用できず、軌道長半径の代わりに半パラメータ ( p ) が使用されることもあります。 [ 3 ] [ 2 ]
ケプラー要素セットでは、半長軸の代わりに周期（P ）または平均運動（n ）を指定するのが一般的です。これは 、標準重力パラメータ （μ {\displaystyle \mu }
エポック については、エポック時間（t ）と平均近点角 （M 0 平均経度 （L 0 真近点角 （ν 0 \displaystyle \nu _{0}} 偏心近点角 （E 0 T 0 [ 2 ]
また、平均近点角または平均経度を、M₀やL₀といった中間段階を経ずに、 時間 線形 関数 直接 表すこともよくあります。M （ t ） = M 0 + n （ t − t 0 ） 。 {\displaystyle M(t)=M_{0}+n(t-t_{0}).}
身体タイプ別の要素 要素の選択は、天体の種類によって異なる場合があります。軌道の形状とサイズを指定するには、離心率 ( e a q ) のいずれかを使用します。昇交点経度 ( Ω )、軌道傾斜角 ( i ω 近点経度 ( ϖ L 0 M 0 T 0 [ 6 ] [ 7 ]
2行要素 軌道要素は、さまざまな形式でテキストとしてエンコードできます。最も一般的なのは、NASA / NORAD の 「2 行要素」 (TLE) 形式です。[ 8 ] パンチ カード で使用するために設計されましたが、最も一般的な形式であり、80 文字の ASCII レコードは最新のデータベースで効率的に処理できるため、現在でも使用されています。
2行の要素フォーマットには、離心率 ( e )、軌道傾斜角 ( i )、昇交点経度 ( Ω )、近点引数 ( ω )、平均運動 ( n )、エポック ( t 0 M 0 [ 8 ] [ 3 ] μ ) を仮定して、上記の関係式を使用して平均運動による軌道長半径を計算することができます。
アプリケーションや対象物の軌道によっては、30日以上前のTLEから得られたデータは信頼できなくなる可能性があります。軌道位置は、簡略化された摂動モデル （SGP4 / SDP4 / SGP8 / SDP8）を使用してTLEから計算できます。[ 9 ]
SORCE 衛星の2行要素の例：[ 10 ]
1 27651U 03004A 07269.09107561 .00000015 00000-0 17636-4 0 4191 2 27651 039.9956 188.8112 0026975 282.9289 076.8483 14.81973121252789
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