編み込みグループ

Xが平面である場合、編み紐は閉じることができ、すなわち、対応する端をペアで接続してリンク、すなわち、3次元空間で絡み合った可能性のある結び目のあるループの結合を形成することができる。リンクの構成要素の数は、リンクによって決定されるストランドの順列に応じて、1からnまで任意の値をとることができる。JW Alexanderの定理は、すべてのリンクがこのようにして編み紐の「閉じ」として得られることを示している。ストリングリンクと比較せよ。

異なる組紐でも同じ結び目が作れるように、異なる交差図でも同じ結び目が作れる。1935年、アンドレイ・マルコフ・ジュニアは、対応する閉じた組紐で等価性をもたらす組紐図上の2つの操作について説明した。^{[ 7 ]}マルコフの定理の1つの操作バージョンは1997年に発表された。^{[ 8 ]}

ヴォーン・ジョーンズは当初、自身の多項式をブレイド不変量として定義し、その後、それが閉じたブレイドのクラスのみに依存することを示した。

マルコフの定理は、 2 つの組紐の閉包が等価なリンクとなるための必要十分条件を与える。^{[ 9 ]}

「ブレイドインデックス」とは、リンクの閉じたブレイド表現を作成するために必要な最小のストリング数です。これは、結び目の任意の投影における最小のザイフェルト円数に等しくなります。 ^{[ 10 ]}

次の3つの編み込みについて考えてみましょう。

すべての三つ編み${\displaystyle B_{4}}$これは、これらの組紐とその逆組紐の合成として記述できます。言い換えれば、これら3つの組紐は群を生成します。${\displaystyle B_{4}}$これを確認するには、任意の三つ編みを左から右にスキャンして交差を探します。上から順にストランドに番号を付け、ストランドの交差が見つかったら、${\displaystyle i}$そして${\displaystyle i+1}$遭遇する、$\displaystyle \sigma _{i}}$または$\displaystyle \sigma _{i}^{-1}}$鎖に応じて書き留められます${\displaystyle i}$ストランドの上または下を移動する${\displaystyle i+1}$右端に到達すると、編み込みは$\displaystyle \sigma _{i}}$そしてそれらの逆関数。

明らかに

（私）$\displaystyle \sigma _{1}\sigma _{3}=\sigma _{3}\sigma _{1}}$、

一方、以下の2つの関係はそれほど明白ではない。

（iia）$$\displaystyle \sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{1}=\sigma _{2}\sigma _{1}\sigma _{2}}$$、

（iib）$\displaystyle \sigma _{2}\sigma _{3}\sigma _{2}=\sigma _{3}\sigma _{2}\sigma _{3}}$

（これらの関係は、紙に編み込みを描くことで最もよく理解できます。）編み込み間の他のすべての関係は、$\displaystyle \sigma _{1}}$、$\displaystyle \sigma _{2}}$そして$\displaystyle \sigma _{3}}$これらの関係と群の公理から既に導かれる。

この例を一般化すると${\displaystyle n}$ストランド、グループ${\displaystyle B_{n}}$抽象的に定義するには、以下の表現を用いるとよい。

${\displaystyle B_{n}=\left\langle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n-1}\mid \sigma _{i}\sigma _{i+1}\sigma _{i}=\sigma _{i+1}\sigma _{i}\sigma _{i+1},\sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}\right\rangle ,}$

最初の関係群では${\displaystyle 1\leq i\leq n-2}$そして第二のグループの関係では${\displaystyle |ij|\geq 2}$[ ^{16 ] [ 17 ]このプレゼンテーションは、}アルティン群と呼ばれるブレイド群の一般化につながります。ブレイド関係として知られる3次関係は、ヤン・バクスター方程式の理論において重要な役割を果たします。

• 編み込みグループ${\displaystyle B_{1}}$些細なことです、${\displaystyle B_{2}}$無限巡回群${\displaystyle \mathbb {Z} }$、 そして${\displaystyle B_{3}}$は三つ葉結びの結び目群と同型である。特に、無限非可換群である。
• n本鎖の編み込みグループ${\displaystyle B_{n}}$サブグループとして埋め込む${\displaystyle (n+1)}$-ストランドブレードグループ${\displaystyle B_{n+1}}$最初のn本のストランドと交差しない追加のストランドを加えることによって。すべてのストランドと組紐グループの結合が増加する。${\displaystyle n\geq 1}$無限ブレイド群${\displaystyle B_{\infty }}$。
• すべての非同一要素${\displaystyle B_{n}}$無限の順序を持​​つ。つまり、${\displaystyle B_{n}}$ねじれがない。
• 左不変線形順序が存在する${\displaystyle B_{n}}$デオルノイ騎士団と呼ばれている。
• のために${\displaystyle n\geq 3}$、${\displaystyle B_{n}}$2つの生成元を持つ自由群と同型な部分群を含む。
• 準同型が存在する${\displaystyle B_{n}\to \mathbb {Z} }$σ _i ↦ 1で定義されます。例えば、ブレイドσ ₂ σ ₃ σ ₁ ⁻¹ σ ₂ σ ₃は1  +  1  −  1  +  1  +  1 = 3に写像されます。この写像はブレイド群のアーベル化に対応します。σ i ^k ↦ kなので、 σ _i ^k_が恒等となるのは、次の場合に限ります。 ${\displaystyle k=0}$これは、生成器が無限次数を持つことを証明する。

ストランドのねじれ方や交差の仕方を忘れることで、n本のストランド上の各ブレイドはn個の要素上の順列を決定します。この割り当ては全射であり、合成と互換性があるため、ブレイド群から対称群への全射群準同型写像B _n → S _nとなります。ブレイド σ _i ∈ B _nの像は、転置s _i = ( i , i +1) ∈ S _nです。これらの転置は対称群を生成し、ブレイド群の関係を満たし、位数は2です。これにより、ブレイド群のアルティン表示が対称群のコクセター表示に変換されます。

${\displaystyle S_{n}=\left\langle s_{1},\ldots ,s_{n-1}|s_{i}s_{i+1}s_{i}=s_{i+1}s_{i}s_{i+1},s_{i}s_{j}=s_{j}s_{i}{\text{ for }}|i-j|\geq 2,s_{i}^{2}=1\right\rangle .}$

準同型写像B _n → S _nの核は、 n本のストランド上の純粋ブレイド群と呼ばれるB _nの部分群であり、P _nと表記される。これは、ユークリッド平面上の異なる点のn組の空間の基本群と見なすことができる。純粋ブレイドでは、各ストランドの始点と終点は同じ位置にある。純粋ブレイド群は、短い完全列に収まる。

${\displaystyle 1\to F_{n-1}\to P_{n}\to P_{n-1}\to 1.}$

このシーケンスは分割されるため、純粋なブレイド群は自由群の反復半直積として実現される。

編み込みグループ${\displaystyle B_{3}}$モジュラー群の普遍的中心拡張である${\displaystyle \mathrm {PSL} (2,\mathbb {Z} )}$これらは（位相的な）普遍被覆群の内部に格子として配置されている。

${\displaystyle {\overline {\mathrm {SL} (2,\mathbb {R} )}}\to \mathrm {PSL} (2,\mathbb {R} )}$。

さらに、モジュラー群は自明な中心を持ち、したがってモジュラー群は商群と同型である。${\displaystyle B_{3}}$その中心を法として、${\displaystyle Z(B_{3}),}$そして同様に、内部自己同型群に対して${\displaystyle B_{3}}$。

この同型性の構成を以下に示します。

${\displaystyle a=\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{1},\quad b=\sigma _{1}\sigma _{2}}$。

編み込みの関係から、${\displaystyle a^{2}=b^{3}}$この後者の積を次のように表す。${\displaystyle c}$編み込みの関係から、

${\displaystyle \sigma _{1}c\sigma _{1}^{-1}=\sigma _{2}c\sigma _{2}^{-1}=c}$

つまり、${\displaystyle c}$中心にある${\displaystyle B_{3}}$。 させて${\displaystyle C}$のサブグループを表す${\displaystyle B_{3}}$cによって生成されるので、C  ⊂ Z ( B ₃ )は 正規部分群であり、商群B ₃ / Cを取ることができます。B 3 _/ C ≅ PSL(2, Z )を主張します。この同型は明示的な形で与えることができます。剰余類σ ₁ Cとσ ₂ Cは、

${\displaystyle \sigma _{1}C\mapsto R={\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}\qquad \sigma _{2}C\mapsto L^{-1}={\begin{bmatrix}1&0\\-1&1\end{bmatrix}}}$

ここで、LとRはStern–Brocot木における標準的な左移動と右移動であり、これらの移動によってモジュラー群が生成されることはよく知られています。

あるいは、モジュール群の一般的な表現方法の一つは

${\displaystyle \langle v,p\,|\,v^{2}=p^{3}=1\rangle }$

どこ

${\displaystyle v={\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}},\qquad p={\begin{bmatrix}0&1\\-1&1\end{bmatrix}}.}$

aをvに、bをpに写像すると、全射群準同型B ₃ → PSL(2, Z )が得られます。

B ₃の中心はCに等しく、これはcが中心にあること、モジュラー群が自明な中心を持つこと、および上記の全射準同型が核Cを持つことの結果である。

編み込み群B _{n は、} n個の穴が開いた円盤の写像類群と同型であることが示せる。これは、各穴が円盤の境界に紐で繋がっていると想像すると最も分かりやすい。2 つの穴を入れ替える各写像準同型は、紐のホモトピー、つまり紐の編み込みであることがわかる。

このマッピングクラスグループによる組紐の解釈により、各組紐は周期的、還元可能、または擬似アノソフとして分類される可能性があります。

組紐が与えられ、新しい紐を使って最初の左側の要素を最初の右側の要素に接続し、次に2番目の左側の要素を2番目の右側の要素に接続するなど（新しい紐の中に組紐を作成しない）、リンク、そして時には結び目が得られます。組紐理論におけるアレクサンダーの定理は、その逆もまた真であると述べています。つまり、すべての結び目とすべてのリンクは、少なくとも1つの組紐からこのようにして生じ、リンクを切断することでそのような組紐が得られます。組紐は生成子σ _iの単語として具体的に与えることができるため、これは結び目をコンピュータプログラムに入力する際の好ましい方法となることがよくあります。

ブレイド関係の語問題は効率的に解くことができ、B n の要素は生成元 σ 1 、 ...、 σ n −1 を用いて正規形として表すことができます。（本質_的に、_ブレイドの_正規形を計算することは、上記の 2 番目の画像セットで示されているように、「糸を引っ張る」ことの代数的な類似物です。）無料のGAP コンピュータ代数システムは、要素がこれらの生成元で与えられている場合、 B _nの計算を実行できます。GAP3 には、ブレイド群を特別にサポートするCHEVIEというパッケージもあります。語問題は、ローレンス・クラマー表現によっても効率的に解くことができます。

単語問題に加えて、ブレイドグループを実装できる既知の難しい計算問題がいくつかあり、暗号化への応用が提案されている。^{[ 18 ]}

ブレイド群B _nの要素は、より具体的には行列で表現できます。古典的な表現の一つにBurau 表現があり、その行列要素は一変数のLaurent 多項式です。Burau 表現が忠実であるかどうかは長年の疑問でしたが、 n  ≥  5の場合、答えは否定的であることが判明しました。より一般的には、ブレイド群が線形であるかどうかは大きな未解決問題でした。1990 年、Ruth Lawrence は、いくつかのパラメータに依存する、より一般的な「Lawrence 表現」の族を記述しました。1996 年、Chetan NayakとFrank Wilczekは、 SO(3)の射影表現に類似して、ブレイド群の射影表現は、分数量子ホール効果における特定の準粒子に対して物理的な意味を持つと提唱しました。^{[ 19 ]} 2001 年頃、Stephen Bigelowと Daan Krammer は、すべてのブレイド群が線形であることを独立に証明しました。彼らの研究では、次元のLawrence–Krammer 表現が使用されました。${\displaystyle n(n-1)/2}$変数qとtに応じて、これらの変数を適切に特殊化することで、ブレイドグループは${\displaystyle B_{n}}$複素数体上の一般線形群の部分群として実現される可能性がある。