対数積分関数

数学 において、対数積分関数または積分対数li( x ) は特別な関数です。これは物理学の問題に関連しており、数論的に重要な意味を持っています。特に、素数定理によれば、これは素数計数関数の非常に良い近似値であり、素数計数関数は、与えられた値x以下の素数の数として定義されます。

対数積分は、すべての正の実数x  ≠  1 に対して定積分によって定義される積分表現を持つ。

${\displaystyle \operatorname {li} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}.}$

ここで、ln は自然対数を表します。関数1/(ln t )はt = 1で特異点を持ち、 x > 1の積分はコーシー主値として解釈されます。

${\displaystyle \operatorname {li} (x)=\lim _{\varepsilon \to 0+}\left(\int _{0}^{1-\varepsilon }{\frac {dt}{\ln t}}+\int _{1+\varepsilon }^{x}{\frac {dt}{\ln t}}\right).}$

しかし、対数積分は複素領域における有理型複素数値関数とみなすこともできます。この場合、0と1に分岐点を持つ多価関数となり、上記の積分で定義される0から1の間の値は、1を超える値とは互換性がありません。複素関数は上の図に示されています。1を超える実軸上の値は上記で定義したものと同じですが、0から1の間の値はiπだけオフセットされているため、0における絶対値はゼロではなくπになります。複素関数は負の実部を持つ数に対しても定義されますが（ただし多価関数）、負の実軸上の値は実数ではありません。

オフセット対数積分またはオイラー対数積分は次のように定義される。

${\displaystyle \operatorname {Li} (x)=\int _{2}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}=\operatorname {li} (x)-\operatorname {li} (2).}$

そのため、積分表現には、積分領域における特異点を回避できるという利点がある。

同様に、

${\displaystyle \operatorname {li} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}=\operatorname {Li} (x)+\operatorname {li} (2).}$

関数 li( x ) は単一の正の零点を持ち、それはx ≈ 1.45136 92348 83381 05028 39684 85892 02744 94930... OEIS : A070769 で発生します。この数値はラマヌジャン-ゾルドナー定数として知られています。

${\displaystyle \operatorname {li} ({\text{Li}}^{-1}(0))={\text{li}}(2)}$≈ 1.045163 780117 492784 844588 889194 613136 522615 578151... OEIS : A069284 

これは${\displaystyle -(\Gamma (0,-\ln 2)+i\,\pi )}$どこ$\displaystyle \Gamma (a,x)$は不完全ガンマ関数です。これは、関数のコーシー主値として理解されるべきです。

関数 li( x ) は、次の式によって指数積分Ei( x )と関連付けられます。

${\displaystyle \operatorname {li} (x)={\hbox{Ei}}(\ln x),}$

これはx  > 0の場合に有効です。この恒等式は li( x ) の級数表現を提供します。

${\displaystyle \operatorname {li} (e^{u})={\hbox{Ei}}(u)=\gamma +\ln |u|+\sum _{n=1}^{\infty }{u^{n} \over n\cdot n!}\quad {\text{ for }}u\neq 0\,,}$

ここで、γ ≈ 0.57721 56649 01532 ... OEIS : A001620 はオイラー・マスケローニ定数です。複素関数の場合、式は次のようになります。

${\displaystyle \operatorname {li} (e^{u})={\hbox{Ei}}(u)=\gamma +\ln u+\sum _{n=1}^{\infty }{u^{n} \over n\cdot n!}\quad {\text{ for }}u\neq 0\,,}$

（uの絶対値を取らずに）。ラマヌジャン^{[ 1 ]}によるより収束の速い級数は

${\displaystyle \operatorname {li} (x)=\gamma +\ln |\ln x|+{\sqrt {x}}\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n-1}(\ln x)^{n}}{n!\,2^{n-1}}}\sum _{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }{\frac {1}{2k+1}}\right).}$

再び、有理型複素関数の場合、項${\displaystyle \ln |\ln u|}$に置き換える必要があります${\displaystyle \ln \ln u.}$

漸近挙動はどちらも${\displaystyle x\to \infty }$そして${\displaystyle x\to 0^{+}}$は

${\displaystyle \operatorname {li} (x)=O\left({\frac {x}{\ln x}}\right).}$

どこ${\displaystyle O}$はビッグオー記法です。完全な漸近展開は

$\displaystyle \operatorname {li} (x)\sim {\frac {x}{\ln x}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(\ln x)^{k}}}}$

または

$\displaystyle {\frac {\operatorname {li} (x)}{x/\ln x}}\sim 1+{\frac {1}{\ln x}}+{\frac {2}{(\ln x)^{2}}}+{\frac {6}{(\ln x)^{3}}}+\cdots .}$

これにより、より正確な漸近挙動が得られます。

${\displaystyle \operatorname {li} (x)-{\frac {x}{\ln x}}=O\left({\frac {x}{(\ln x)^{2}}}\right).}$

漸近展開として、この級数は収束しません。級数が有限項で打ち切られ、かつxの大きな値のみが用いられる場合にのみ、妥当な近似となります。この展開は、指数積分の漸近展開から直接導かれます。

これは、例えば li を次のように括弧で囲むことができることを意味します。

${\displaystyle 1+{\frac {1}{\ln x}}<\operatorname {li} (x){\frac {\ln x}{x}}<1+{\frac {1}{\ln x}}+{\frac {3}{(\ln x)^{2}}}}$

すべての人々のために${\displaystyle \ln x\geq 11}$。

対数積分は数論において重要であり、与えられた値より小さい素数の個数を推定する際に用いられる。例えば、素数定理は次のように述べている。

${\displaystyle \pi (x)\sim \operatorname {li} (x)}$

どこ$\displaystyle \pi (x)$は、以下の素数の数を表します。${\displaystyle x}$。

リーマン予想を仮定すると、さらに強い次のことが導かれる。^{[ 2 ]}

${\displaystyle |\operatorname {li} (x)-\pi (x)|=O({\sqrt {x}}\log x)}$

実際、リーマン予想は次の記述と同等である。

${\displaystyle |\operatorname {li} (x)-\pi (x)|=O(x^{1/2+a})}$いかなる場合でも${\displaystyle a>0}$。

小規模向け${\displaystyle x}$、${\displaystyle \operatorname {li} (x)>\pi (x)}$しかし、その差は無限回符号が変わる。${\displaystyle x}$増加し、これが最初に起こるのは 10 ¹⁹から1.4 × 10 ³¹⁶。

• ヨルゲン・ペダーセン・グラム
• スキューズ番号
• 対数関数の積分の一覧

• アブラモウィッツ、ミルトン；ステガン、アイリーン・アン編（1983年）[1964年6月]。「第5章」。『数式、グラフ、数表付き数学関数ハンドブック』。応用数学シリーズ。第 55巻（第10版（1972年12月）の修正を加えた第9版再版；初版 ）。ワシントンDC；ニューヨーク：米国商務省国立標準局；ドーバー出版。228 ページ。ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036 . MR 0167642 . LCCN 65-12253 .   
• Temme, NM (2010)、「指数関数、対数関数、正弦関数、余弦関数の積分」、Olver, Frank WJ、Lozier, Daniel M.、Boisvert, Ronald F.、Clark, Charles W. (編)、『NIST 数学関数ハンドブック』、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-19225-5MR 2723248​ 。