ペンタグラマ・ミリフィカム

ペンタグラマ・ミリフィクム（ラテン語で「奇跡の五芒星」）は、球面上の星型多角形で、5つの大円弧で構成され、その内角はすべて直角です。この形状は、ジョン・ネイピアが1614年に著した著書「Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio（素晴らしい対数表の説明）」で、直角球面三角形の5つの部分（2つの角と3つの辺）の三角関数の値を関連付ける規則とともに説明されました。ペンタグラマ・ミリフィクムの特性は、カール・フリードリヒ・ガウスなどによって研究されました。 ^[1]

球面上では、三角形の角度と辺（大円の弧）の両方が角度として測定されます。

5つの直角があり、それぞれは、、、、、およびの大きさです。${\displaystyle \pi /2,}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$${\displaystyle D}$${\displaystyle E.}$

10個の弧があり、それぞれ、、、、、、、、、、、、および${\displaystyle \pi /2:}$ ${\displaystyle PC}$${\displaystyle PE}$${\displaystyle QD}$${\displaystyle QA}$${\displaystyle RE}$${\displaystyle RB}$${\displaystyle SA}$${\displaystyle SC}$${\displaystyle TB}$${\displaystyle TD.}$

球面五角形において、すべての頂点は反対側の極です。たとえば、点は赤道の極、点は赤道の極、というように続きます。 ${\displaystyle PQRST}$${\displaystyle P}$${\displaystyle RS}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle ST}$

五角形の各頂点では、外角の大きさは対辺と等しい。たとえば、など。 ${\displaystyle PQRST}$${\displaystyle \angle APT=\angle BPQ=RS,\;\angle BQP=\angle CQR=ST,}$

球面三角形、、、、のネイピアの円は、互いの 回転です。${\displaystyle APT}$${\displaystyle BQP}$${\displaystyle CRQ}$${\displaystyle DSR}$${\displaystyle ETS}$

ガウスは記法を導入した

$${\displaystyle (\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,\varepsilon )=(\tan ^{2}TP,\tan ^{2}PQ,\tan ^{2}QR,\tan ^{2 }RS,\tan ^{2}ST).}$$

以下の恒等式が成り立ち、残りの2つの量から上記の量のうちの任意の3つを決定することができる。^[2]

$${\displaystyle {\begin{aligned}1+\alpha &=\gamma \delta &1+\beta &=\delta \varepsilon &1+\gamma &=\alpha \varepsilon \\1+\delta &=\alpha \beta &1+\varepsilon &=\beta \gamma .\end{aligned}}}$$

ガウスは次の「美しい平等」を証明しました ( schöne Gleichung ): ^[2]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha \beta \gamma \delta \varepsilon &=\;3+\alpha +\beta +\gamma +\delta +\varepsilon \\&=\;{\sqrt {(1+\alpha )(1+\beta )(1+\gamma )(1+\delta )(1+\varepsilon )}}.\end{aligned}}}$$

これは、例えば、積が に等しい数 によって満たされます。 ${\displaystyle (\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,\varepsilon )=(9,2/3,2,5,1/3)}$${\displaystyle \alpha \beta \gamma \delta \varepsilon }$${\displaystyle 20}$

等式の最初の部分の証明:

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha \beta \gamma \delta \varepsilon &=\alpha \beta \gamma \left({\frac {1+\alpha }{\gamma }}\right)\left({\frac {1+\gamma }{\alpha }}\right)=\beta (1+\alpha )(1+\gamma )\\&=\beta +\alpha \beta +\beta \gamma +\alpha \beta \gamma =\beta +(1+\delta )+(1+\varepsilon )+\alpha (1+\varepsilon )\\&=2+\alpha +\beta +\delta +\varepsilon +1+\gamma \\&=3+\alpha +\beta +\gamma +\delta +\varepsilon \end{aligned}}}$

等式の2番目の部分の証明:

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha \beta \gamma \delta \varepsilon &={\sqrt {\alpha ^{2}\beta ^{2}\gamma ^{2}\delta ^{2}\varepsilon ^{2}}}\\&={\sqrt {\gamma \delta \cdot \delta \varepsilon \cdot \varepsilon \alpha \cdot \alpha \beta \cdot \beta \gamma }}\\&={\sqrt {(1+\alpha )(1+\beta )(1+\gamma )(1+\delta )(1+\varepsilon )}}\end{aligned}}}$

ガウスからは次のような式も導かれる^[2]

$${\displaystyle (1+i{\sqrt {^{^{\!}}\alpha }})(1+i{\sqrt {\beta }})(1+i{\sqrt {^{^{\!}}\gamma }})(1+i{\sqrt {\delta }})(1+i{\sqrt {^{^{\!}}\varepsilon }})=\alpha \beta \gamma \delta \varepsilon e^{iA_{PQRST}},}$$五角形の面積は どこですか。 ${\displaystyle A_{PQRST}=2\pi -(|{\overset {\frown }{PQ}}|+|{\overset {\frown }{QR}}|+|{\overset {\frown }{RS}}|+|{\overset {\frown }{ST}}|+|{\overset {\frown }{TP}}|)}$${\displaystyle PQRST}$

球面五角形を球の中心から球に接する任意の平面に投影した心射影（球の中心からの投影）における像は直線五角形です。その 5 つの頂点は円錐曲線（この場合は楕円）を明確に決定します。ガウスは、五角形の高さ（頂点を通り、反対側に垂直な線）が 1 点で交差することを示しました。これは平面と球の接点の像です。 ${\displaystyle PQRST}$${\displaystyle P'Q'R'S'T'}$ ${\displaystyle P'Q'R'S'T'}$${\displaystyle O'}$

アーサー・ケイリーは、直交座標系の原点を点に設定すると、頂点の座標が等式 を満たすことを観察しました。ここで は球の半径の長さです。^[3]${\displaystyle O'}$${\displaystyle P'Q'R'S'T'}$${\displaystyle (x_{1},y_{1}),\ldots ,}$ ${\displaystyle (x_{5},y_{5})}$${\displaystyle x_{1}x_{4}+y_{1}y_{4}=}$ ${\displaystyle x_{2}x_{5}+y_{2}y_{5}=}$ ${\displaystyle x_{3}x_{1}+y_{3}y_{1}=}$ ${\displaystyle x_{4}x_{2}+y_{4}y_{2}=}$ ${\displaystyle x_{5}x_{3}+y_{5}y_{3}=-\rho ^{2}}$${\displaystyle \rho }$

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