超幾何関数

超幾何微分方程式の解は、超幾何級数₂ F ₁ ( a , b ; c ; z ) から構築されます。この方程式には、2 つの線形独立な解があります。 3 つの特異点 0、1、∞ のそれぞれにおいて、通常、x ^sとxの正則関数の積の形の 2 つの特殊解が存在します。ここで、sは指標方程式の 2 つの根の 1 つであり、x は正則特異点でゼロになる局所変数です。これにより、次の 3 ×  2  = 6 つの特殊解が得られます 。

点z  =  0 の周りでは、cが非正の整数でない場合、 2 つの独立した解は次のようになります。

$${\displaystyle _{2}F_{1}(a,b;c;z)}$$

また、cが整数でないという条件の下で、

$${\displaystyle z^{1-c}{_{2}F_{1}}(1+a-c,1+b-c;2-c;z)}$$

cが非正の整数 1 − mの場合、これらの解の最初のものは存在せず、${\displaystyle z^{m}F(a+m,b+m;1+m;z).}$cが 1 より大きい整数の場合、2 番目の解は存在せず、 cがそれ以外の任意の整数の場合、最初の解またはその代替解と等しくなります。したがって、 cが整数の場合、2 番目の解には、最初の解に ln( z ) を掛けたものに、ディガンマ関数を含むzのべき級数を加えた、より複雑な式を使用する必要があります。詳細はOlde Daalhuis (2010)を参照してください。

z  =  1付近で、 c  − a − bが整数でない場合、2 つの独立した解が存在する。   

$${\displaystyle \,_{2}F_{1}(a,b;1+a+b-c;1-z)}$$

そして

$${\displaystyle (1-z)^{c-a-b}\;_{2}F_{1}(c-a,c-b;1+c-a-b;1-z)}$$

z  =  ∞付近で、 a  − bが整数でない場合、2 つの独立した解が存在する。 

$${\displaystyle z^{-a}\,_{2}F_{1}\left(a,1+a-c;1+a-b;z^{-1}\right)}$$

そして

$${\displaystyle z^{-b}\,_{2}F_{1}\left(b,1+b-c;1+b-a;z^{-1}\right).}$$

また、非整数​​性の条件が満たされない場合、より複雑な他の解が存在する。

上記の6つの解のうち任意の3つは、解の空間が2次元であるため線形関係を満たし、それらの間に接続式と呼ばれる( ⁶ ₃ ) =  20の線形関係が得られます。

n個の特異点を持つ2 階のフックス方程式は、その解に (射影的に) 作用する対称群を持ち、これは位数 2 ^{n −1} n ! のコクセター群W( D _n ) と同型です。超幾何方程式はn = 3 の場合で、位数 24 の群は、 クンマーによって最初に記述された 4 点の対称群と同型です。対称群の出現は偶然であり、3 点を超える特異点には類似するものはなく、この群を、3 点の対称群 (3 つの特異点の置換として作用) をクライン4 群(その要素は偶数個の特異点における指数の差の符号を変える) で拡張したものと考える方が良い場合もあります。クンマーの 24 変換群は、解F ( a , b ; c ; z ) を次の 1 つに変換する 3 つの変換によって生成されます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}(1-z)^{-a}F\left(a,c-b;c;{\tfrac {z}{z-1}}\right)\\F(a,b;1+a+b-c;1-z)\\(1-z)^{-b}F\left(c-a,b;c;{\tfrac {z}{z-1}}\right)\end{aligned}}}$$

これらは、4点1、2、3、4における対称群との同型写像による転置(12)、(23)、(34)に対応する。（これらのうち、1番目と3番目は実際にはF ( a , b ; c ; z )に等しいが、2番目は微分方程式の独立した解である。）

クンマーの 24 = 6×4 変換を超幾何関数に適用すると、3 つの特異点のそれぞれで 2 つの可能な指数に対応する上記の 6 = 2×3 解が得られ、それぞれが恒等式により 4 回出現します。

$${\displaystyle {\begin{aligned}{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)&=(1-z)^{c-a-b}\,{}_{2}F_{1}(c-a,c-b;c;z)&&{\text{Euler transformation}}\\{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)&=(1-z)^{-a}\,{}_{2}F_{1}(a,c-b;c;{\tfrac {z}{z-1}})&&{\text{Pfaff transformation}}\\{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)&=(1-z)^{-b}\,{}_{2}F_{1}(c-a,b;c;{\tfrac {z}{z-1}})&&{\text{Pfaff transformation}}\end{aligned}}}$$

超幾何微分方程式はQ形式に変換することができる。

$${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{dz^{2}}}+Q(z)u(z)=0}$$

置換u = wvを行い、一次導関数の項を消去すると、次の式が得られる。

$${\displaystyle Q={\frac {z^{2}[1-(a-b)^{2}]+z[2c(a+b-1)-4ab]+c(2-c)}{4z^{2}(1-z)^{2}}}}$$

vは、次の解によって与えられる。

$${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\log v(z)=-{\frac {c-z(a+b+1)}{2z(1-z)}}=-{\frac {c}{2z}}-{\frac {1+a+b-c}{2(z-1)}}}$$

それは

$${\displaystyle v(z)=z^{-c/2}(1-z)^{(c-a-b-1)/2}.}$$

Q形式はシュワルツ微分との関係において重要である（Hille 1976 、pp. 307–401）。 

シュワルツ三角形マップ、またはシュワルツs関数は、解のペアの比率である。

$${\displaystyle s_{k}(z)={\frac {\phi _{k}^{(1)}(z)}{\phi _{k}^{(0)}(z)}}}$$

ここでkは 0、1、∞ のいずれかの点である。表記法

$${\displaystyle D_{k}(\lambda ,\mu ,\nu ;z)=s_{k}(z)}$$

も時折使用されます。接続係数は三角形マップ上のメビウス変換になることに注意してください。

各三角形マップはそれぞれz ∈ {0, 1, ∞}で正則であり、

$${\displaystyle {\begin{aligned}s_{0}(z)&=z^{\lambda }(1+{\mathcal {O}}(z))\\s_{1}(z)&=(1-z)^{\mu }(1+{\mathcal {O}}(1-z))\end{aligned}}}$$ そして $${\displaystyle s_{\infty }(z)=z^{\nu }(1+{\mathcal {O}}({\tfrac {1}{z}})).}$$

λ、μ、νが実数で、0 ≤ λ,μ,ν < 1を満たす特殊な場合、s-写像は上半平面 H から円弧で囲まれたリーマン球面上の三角形への等角写像となります。この写像は、円弧を持つ三角形へのシュワルツ・クリストッフェル写像の一般化です。特異点0、1、∞は三角形の頂点に写像されます。三角形の角度はそれぞれ πλ、πμ、πν です。    

さらに、整数p、q、rに対して λ=1/ p、μ=1/ q、ν=1/ rの場合、三角形は λ + μ + ν − 1 が正、ゼロ、負のいずれであるかに応じて、球面、複素平面、または上半平面をタイル状に敷き詰めます。また、s-マップは三角形群〈p、q、r〉= Δ( p、q、r )の保型関数の逆関数です。      

超幾何方程式のモノドロミーは、z平面上の経路に沿って解析的に延長し、同じ点に戻る場合に、基本解がどのように変化するかを表します。つまり、経路が2F1の_特異点の周りを巡る場合 、終点における解の値は始点における値とは異なります。

超幾何方程式の2つの基本解は線形変換によって互いに関連付けられており、したがってモノドロミーは写像（群準同型写像）である。

$${\displaystyle \pi _{1}(\mathbf {C} \setminus \{0,1\},z_{0})\to {\text{GL}}(2,\mathbf {C} )}$$

ここで π _1は基本群です。言い換えれば、モノドロミーは基本群の 2 次元線形表現です。この方程式のモノドロミー群はこの写像の像、つまりモノドロミー行列によって生成される群です。基本群のモノドロミー表現は、特異点の指数を用いて明示的に計算できます。^{[ 2 ]} (α, α')、(β, β')、(γ,γ') が 0、1、∞ の指数である場合、z ₀を0 に近づけると、0 と 1 の周りのループにはモノドロミー行列があります。

$${\displaystyle {\begin{aligned}g_{0}&={\begin{pmatrix}e^{2\pi i\alpha }&0\\0&e^{2\pi i\alpha ^{\prime }}\end{pmatrix}}\\g_{1}&={\begin{pmatrix}{\mu e^{2\pi i\beta }-e^{2\pi i\beta ^{\prime }} \over \mu -1}&{\mu (e^{2\pi i\beta }-e^{2\pi i\beta ^{\prime }}) \over (\mu -1)^{2}}\\e^{2\pi i\beta ^{\prime }}-e^{2\pi i\beta }&{\mu e^{2\pi i\beta ^{\prime }}-e^{2\pi i\beta } \over \mu -1}\end{pmatrix}},\end{aligned}}}$$

どこ

$${\displaystyle \mu ={\sin \pi (\alpha +\beta ^{\prime }+\gamma ^{\prime })\sin \pi (\alpha ^{\prime }+\beta +\gamma ^{\prime }) \over \sin \pi (\alpha ^{\prime }+\beta ^{\prime }+\gamma ^{\prime })\sin \pi (\alpha +\beta +\gamma ^{\prime })}.}$$

1 − a、c − a − b、a − bが分母がk、l、mである非整数有理数である場合、モノドロミー群が有限であるのは、${\displaystyle 1/k+1/l+1/m>1}$シュワルツのリストまたはコヴァチッチのアルゴリズムを参照してください。

Bがベータ関数である場合、

$${\displaystyle \mathrm {B} (b,c-b){_{2}F_{1}}(a,b;c;z)=\int _{0}^{1}x^{b-1}(1-x)^{c-b-1}(1-zx)^{-a}\,dx\qquad \Re (c)>\Re (b)>0,}$$

ただし、z が1 以上となる実数でない場合に限ります。これは、二項定理を用いて(1  − zx ) ^{− a}を展開し、 zの絶対値が 1 より小さい項をそれぞれ積分し、それ以外の項は解析接続することで証明できます。zが1 以上となる実数の場合、積分範囲のある点で (1 − zx ) がゼロになるため、積分の値が不確定となる可能性があるため、解析接続を使用する必要があります。これは 1748 年にオイラーによって示され、オイラーとプファフの超幾何変換を意味します。   

他の分岐に対応する他の表現は、同じ被積分関数を用いながら、積分経路を様々な次数で特異点を囲む閉じたポッホハマーサイクルとすることで得られる。このような経路はモノドロミー作用に対応する。

バーンズは留数理論を用いてバーンズ積分 を評価した。

$${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {\Gamma (a+s)\Gamma (b+s)\Gamma (-s)}{\Gamma (c+s)}}(-z)^{s}\,ds}$$

として

$${\displaystyle {\frac {\Gamma (a)\Gamma (b)}{\Gamma (c)}}\,_{2}F_{1}(a,b;c;z),}$$

ここで、等高線は極 0, 1, 2... と極 − a , − a  −  1,  ..., − b , − b  −  1,  ...を分離するように描かれています 。これは、z が非負の実数でない限り有効です。

ガウス超幾何関数は、ジョン変換として記述することができる（Gelfand、Gindikin & Graev 2003、2.1.2 ）。

ガウスは、連続関係を利用して、2つの超幾何関数の商を連分数で表すいくつかの方法を示した。例えば、次のようになる。

$${\displaystyle {\frac {{}_{2}F_{1}(a+1,b;c+1;z)}{{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {{\frac {(a-c)b}{c(c+1)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {(b-c-1)(a+1)}{(c+1)(c+2)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {(a-c-1)(b+1)}{(c+2)(c+3)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {(b-c-2)(a+2)}{(c+3)(c+4)}}z}{1+{}\ddots }}}}}}}}}}}$$

オイラー変換は $${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=(1-z)^{c-a-b}{}_{2}F_{1}(c-a,c-b;c;z).}$$ これは、2つのパフ変換を組み合わせることによって導かれる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)&=(1-z)^{-b}{}_{2}F_{1}\left(b,c-a;c;{\tfrac {z}{z-1}}\right)\\{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)&=(1-z)^{-a}{}_{2}F_{1}\left(a,c-b;c;{\tfrac {z}{z-1}}\right)\\\end{aligned}}}$$ これはオイラーの積分表現から導かれる。オイラーの第1および第2変換の拡張については、Rathie & Paris (2007)およびRakha & Rathie (2011)を参照のこと。線形結合としても記述できる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)={}&{\frac {\Gamma (c)\Gamma (c-a-b)}{\Gamma (c-a)\Gamma (c-b)}}{}_{2}F_{1}(a,b;a+b+1-c;1-z)\\[6pt]&{}+{\frac {\Gamma (c)\Gamma (a+b-c)}{\Gamma (a)\Gamma (b)}}(1-z)^{c-a-b}{}_{2}F_{1}(c-a,c-b;1+c-a-b;1-z).\end{aligned}}}$$

1  − c、c − 1、a − b、b − a、a + b − c、c − a − bのうち2つが等しいか、または1つが1/2である場合、超幾何関数の二次変換が存在し、二次方程式で関連付けられた異なるzの値と結び付けられます。最初の例はKummer（1836）によって示され、完全なリストはGoursat（1881）によって示されました。典型的な例は               

$${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;2b;z)=(1-z)^{-{\frac {a}{2}}}{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}}a,b-{\tfrac {1}{2}}a;b+{\tfrac {1}{2}};{\frac {z^{2}}{4z-4}}\right)}$$

1− c、a − b、 a + b − cの符号が異なる場合、または 2 つの値が 1/3 または −1/3 である場合、超幾何関数の三次変換があり、三次方程式で関連付けられたzの異なる値に結び付けられます。最初の例はGoursat (1881)によって示されました。典型的な例は次のとおりです。

$${\displaystyle {}_{2}F_{1}\left({\tfrac {3}{2}}a,{\tfrac {1}{2}}(3a-1);a+{\tfrac {1}{2}};-{\tfrac {z^{2}}{3}}\right)=(1+z)^{1-3a}\,{}_{2}F_{1}\left(a-{\tfrac {1}{3}},a;2a;2z(3+z^{2})(1+z)^{-3}\right)}$$

4次および6次の変換もいくつか存在する。他の次の変換は、a、b、cが特定の有理数である場合にのみ存在する（Vidunas 2005 ）。例えば、 $${\displaystyle {}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {3}{8}};{\tfrac {7}{8}};z\right)(z^{4}-60z^{3}+134z^{2}-60z+1)^{1/16}={}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{48}},{\tfrac {17}{48}};{\tfrac {7}{8}};{\tfrac {-432z(z-1)^{2}(z+1)^{8}}{(z^{4}-60z^{3}+134z^{2}-60z+1)^{3}}}\right).}$$

カール・フリードリヒ・ガウスにちなんで名付けられたガウスの総和定理は、次の恒等式である。

$${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;1)={\frac {\Gamma (c)\Gamma (c-a-b)}{\Gamma (c-a)\Gamma (c-b)}},\qquad \Re (c)>\Re (a+b)}$$

これは、オイラーの積分公式にz  =  1を代入することで得られる。ヴァンデルモンドの恒等式も特殊な場合として含まれる。

特別な場合${\displaystyle a=-m}$、 $${\displaystyle {}_{2}F_{1}(-m,b;c;1)={\frac {(c-b)_{m}}{(c)_{m}}}}$$

ドゥーガルの公式は、これをz = 1における両側超幾何級数に一般化したものである。  

超幾何関数は、 z  = −1 をz = 1に 変換する二次変換を用いてz = −1 における値を評価できる場合が多く、その後ガウスの定理を用いて結果を評価します。典型的な例として、エルンスト・クンマーにちなんで名付けられたクンマーの定理があります。    

$${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;1+a-b;-1)={\frac {\Gamma (1+a-b)\Gamma (1+{\tfrac {1}{2}}a)}{\Gamma (1+a)\Gamma (1+{\tfrac {1}{2}}a-b)}}}$$

これはクンマーの二次変換から導かれる

$${\displaystyle {\begin{aligned}_{2}F_{1}(a,b;1+a-b;z)&=(1-z)^{-a}\;_{2}F_{1}\left({\frac {a}{2}},{\frac {1+a}{2}}-b;1+a-b;-{\frac {4z}{(1-z)^{2}}}\right)\\&=(1+z)^{-a}\,_{2}F_{1}\left({\frac {a}{2}},{\frac {a+1}{2}};1+a-b;{\frac {4z}{(1+z)^{2}}}\right)\end{aligned}}}$$

そして、最初の恒等式にz  = −1を代入することでガウスの定理が得られます。クンマーの総和の一般化については、 Lavoie、Grondin & Rathie (1996)を参照してください。 

ガウスの第2の総和定理は

$${\displaystyle _{2}F_{1}\left(a,b;{\tfrac {1}{2}}\left(1+a+b\right);{\tfrac {1}{2}}\right)={\frac {\Gamma ({\tfrac {1}{2}})\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+a+b\right))}{\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+a)\right)\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+b\right))}}.}$$

ベイリーの定理は

$${\displaystyle _{2}F_{1}\left(a,1-a;c;{\tfrac {1}{2}}\right)={\frac {\Gamma ({\tfrac {1}{2}}c)\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+c\right))}{\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(c+a\right))\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+c-a\right))}}.}$$

ガウスの第2総和定理とベイリーの総和定理の一般化については、Lavoie、Grondin & Rathie (1996)を参照してください。

パラメータの特定の有理値において、超幾何関数を代数的数として表す公式は他にも多数あり、その一部はGessel & Stanton (1982)およびKoepf (1995)に記載されている。典型的な例をいくつか挙げると次のようになる。

$${\displaystyle {}_{2}F_{1}\left(a,-a;{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {x^{2}}{4(x-1)}}\right)={\frac {(1-x)^{a}+(1-x)^{-a}}{2}},}$$

これは次のように言い換えることができる。

$${\displaystyle T_{a}(\cos x)={}_{2}F_{1}\left(a,-a;{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {1}{2}}(1-\cos x)\right)=\cos(ax)}$$

−π < x < πのとき、Tは（一般化された）チェビシェフ多項式である。