基礎ドメイン

位相空間とそれに作用する群 が与えられた場合、群作用による単一点の像は作用の軌道を形成します。基本領域または基本領域は、これらの軌道のそれぞれから正確に 1 つの点を含む空間のサブセットです。これは、軌道の代表の抽象セットの幾何学的実現として機能します。

基本領域を選択する方法は多数あります。通常、基本領域は、滑らかまたは多面体など、境界に何らかの制約がある連結されたサブセットである必要があります。次に、グループ作用の下で選択された基本領域の像が空間をタイル状に並べます。基本領域の一般的な構築方法の 1 つは、ボロノイ セルを使用することです。

同相写像による位相空間Xへの群Gの作用が与えられた場合、この作用の基本領域は軌道の代表の集合Dである。これは通常、いくつかの厳密に定義された方法のうちの 1 つで位相的に適度に良い集合であることが要求される。1 つの典型的な条件は、 D がほぼ開集合であることであり、これは、 D がX上の特定の (準) 不変測度に対する測度 0の集合を持つXの開集合の対称差であるという意味である。基本領域には常に、自由正則集合Uが含まれる。これは、Gによって互いに素なコピーに移動された開集合であり、軌道を表すという点ではDとほぼ同じである。多くの場合、 D は、いくつかの繰り返しを含む剰余類代表の完全な集合であることが要求されるが、繰り返し部分は測度 0 である。これは、エルゴード理論における典型的な状況である。基本領域を使用してX / G上の積分を計算する場合、測度 0 の集合は問題にならない。

たとえば、X がn次元のユークリッド空間 R ⁿであり、G がそれに平行移動によって作用する格子Z ⁿである場合、商X / G はn次元トーラスです。ここで、基本領域D は[0,1) ⁿとすることができ、これは測度ゼロの集合によって開集合 (0,1) ⁿと異なります。 または、境界がDに複数の代表を持つ軌道を持つ点から構成される閉じた単位立方体 [0,1] ^{n です}。

3次元ユークリッド空間R ³における例。

• n回転の場合: 軌道は軸の周りのn点の集合、または軸上の 1 点のいずれかであり、基本領域はセクターである。
• 平面上の反射の場合：軌道は、平面の両側に1つずつある2点の集合、または平面内の1点のいずれかです。基本領域はその平面で囲まれた半空間です。
• 点の反射の場合：軌道は中心の両側に1つずつある2点の集合であるが、中心のみからなる軌道は1つだけである。基本領域は中心を通る任意の平面で囲まれた半空間である。
• 直線の周りを180°回転する場合：軌道は軸に対して互いに反対側にある2点の集合、または軸上の1点のいずれかです。基本領域は直線を通る任意の平面で囲まれた半空間です。
• 離散的な一方向の並進対称性の場合：軌道は並進ベクトルの方向への1次元格子の並進であり、基本領域は無限のスラブである。
• 2方向の離散並進対称性の場合：軌道は平面内の2次元格子の並進ベクトルを通る並進であり、基本領域は平行四辺形の断面を持つ無限の棒である。
• 3 方向の離散的な並進対称性の場合: 軌道は格子の並進であり、基本領域は、たとえば平行六面体、またはウィグナー ザイツ セル(ボロノイ セル/図とも呼ばれる) などのプリミティブ セルです。

並進対称性が他の対称性と組み合わされている場合、基本ドメインはプリミティブセルの一部になります。たとえば、壁紙グループの場合、基本ドメインはプリミティブセルより 1、2、3、4、6、8、または 12 倍小さくなります。

右の図は、モジュラー群Γの上半平面 Hへの作用の基本領域の構築の一部を示しています。

この有名な図は、モジュラー関数に関するすべての古典的な本に登場します。（これは、2次形式の簡約理論の形で基本領域を扱ったCFガウスにはよく知られていたでしょう。）ここで、各三角形領域（青い線で囲まれている）は、Hに対するΓの作用の自由正則集合です。境界（青い線）は自由正則集合の一部ではありません。H /Γの基本領域を構築するには、境界上の点をどのように割り当てるかについても考慮する必要がありますが、そのような点を二重に数えないように注意する必要があります。したがって、この例の自由正則集合は

${\displaystyle U=\left\{z\in H:\left|z\right|>1,\,\left|\,{\mbox{Re}}(z)\,\right|<{\frac {1}{2}}\right\}.}$

基本領域は、左側の境界と、中央の点を含む下部の円弧の半分を追加することによって構築されます。

${\displaystyle D=U\cup \left\{z\in H:\left|z\right|\geq 1,\,{\mbox{Re}}(z)={\frac {-1}{2}}\right\}\cup \left\{z\in H:\left|z\right|=1,\,{\frac {-1}{2}'',{\mbox{Re}}(z)\leq 0\right\}.}$

境界のどの点を基本領域の一部として含めるかの選択は任意であり、著者によって異なります。

基本領域を定義する際の中心的な難しさは、集合の定義自体にあるのではなく、領域の境界上に極と零点を持つ関数を積分するときに、基本領域上の積分をどのように扱うかにあります。

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