算術平均－幾何平均

数学において、 2 つの正の実数xとyの算術幾何平均(AGM または agM ^{[ 1 ]} ) は、算術平均の列と幾何平均の列の相互極限です。算術幾何平均は、指数関数、三角関数、その他の特殊関数、およびいくつかの数学定数、特にπの計算のための高速アルゴリズムで使用されます。

AGMは相互依存シーケンスの限界として定義される${\displaystyle a_{i}}$そして${\displaystyle g_{i}}$と仮定すると${\displaystyle x\geq y\geq 0}$私たちは次のように書きます。$${\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}&=x,\\g_{0}&=y\\a_{n+1}&={\tfrac {1}{2}}(a_{n}+g_{n}),\\g_{n+1}&={\sqrt {a_{n}g_{n}}}\,.\end{aligned}}}$$これら 2 つの数列は同じ数、つまりxとyの算術幾何平均に収束します。これはM ( x , y )、またはagm( x , y )またはAGM( x , y )と表記されます。

算術平均と幾何平均は複素数に拡張でき、平方根の枝を矛盾なく取ることができる場合、それは多価関数になります。^{[ 1 ]}

a ₀ = 24、g ₀ = 6の算術平均と幾何平均を求めるには、次のように繰り返します。$${\displaystyle {\begin{array}{rcccl}a_{1}&=&{\tfrac {1}{2}}(24+6)&=&15\\g_{1}&=&{\sqrt {24\cdot 6}}&=&12\\a_{2}&=&{\tfrac {1}{2}}(15+12)&=&13.5\\g_{2}&=&{\sqrt {15\cdot 12}}&=&13.416\ 407\ 8649\dots \\&&\vdots &&\end{array}}}$$最初の5回の反復計算では、以下の値が得られます。

a _nとg _{n が}一致する桁数（下線部）は、反復ごとにほぼ倍増します。24 と 6 の算術幾何平均は、これら 2 つの数列の共通極限であり、これは約13.458 171 481 725 615 420 766 813 156 974 399 243 053 838 8544 . ^{[ 2 ]}

この数列ペアに基づく最初のアルゴリズムは、ジョセフ＝ルイ・ラグランジュの著作に登場した。その特性はカール・フリードリヒ・ガウスによってさらに分析された。^{[ 1 ]}

2 つの正の数xとyの幾何平均と算術平均は、どちらもその 2 つの数の間にあります。( x ≠ yの場合は厳密にその 2 つの数の間にあります。) 2 つの正の数の幾何平均は、算術平均より大きくなることはありません。^{[ 3 ]}したがって、幾何平均は増加数列g ₀ ≤ g ₁ ≤ g ₂ ≤ ...であり、算術平均は減少数列a ₀ ≥ a ₁ ≥ a ₂ ≥ ...であり、任意のnに対してg _n ≤ M ( x , y ) ≤ a _nです。これらは、x ≠ yの場合に厳密な不等式です。

M ( x , y )はxとyの間の数値であり、 xとyの幾何平均と算術平均の間にある。

r ≥ 0 の場合、 M ( rx , ry ) = r M ( x , y )となります。

M ( x , y )の積分形式の表現がある: ^{[ 4 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}M(x,y)&={\frac {\pi }{2}}\left(\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\sqrt {x^{2}\cos ^{2}\theta +y^{2}\sin ^{2}\theta }}}\right)^{-1}\\&=\pi \left(\int _{0}^{\infty }{\frac {dt}{\sqrt {t(t+x^{2})(t+y^{2})}}}\right)^{-1}\\&={\frac {\pi }{4}}\cdot {\frac {x+y}{K\left({\frac {xy}{x+y}}\right)}}\end{aligned}}}$$ここで、K ( k )は第一種完全楕円積分である。$${\displaystyle K(k)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}}$$算術幾何プロセスは非常に速く収束するため、例えば楕円フィルタ設計で使用される楕円積分を計算する効率的な方法を提供する。^{[ 5 ]}

算術平均と幾何平均はヤコビのシータ関数と関連している。$\displaystyle \theta _{3}}$[ ^{6 ]​}$${\displaystyle M(1,x)=\theta _{3}^{-2}\left(\exp \left(-\pi {\frac {M(1,x)}{M\left(1,{\sqrt {1-x^{2}}}\right)}}\right)\right)=\left(\sum _{n\in \mathbb {Z} }\exp \left(-n^{2}\pi {\frac {M(1,x)}{M\left(1,{\sqrt {1-x^{2}}}\right)}}\right)\right)^{-2},}$$設定すると${\displaystyle x=1/{\sqrt {2}}}$与える$${\displaystyle M(1,1/{\sqrt {2}})=\left(\sum _{n\in \mathbb {Z} }e^{-n^{2}\pi }\right)^{-2}.}$$

1と2の平方根の算術平均と幾何平均の逆数はガウス定数である。$$\displaystyle {\frac {1}{M(1,{\sqrt {2}})}}=G=0.8346268\dots }$$1799年、ガウスは^{[注1 ]}を証明した。$${\displaystyle M(1,{\sqrt {2}})={\frac {\pi }{\varpi }}}$$どこ${\displaystyle \varpi }$はレムニスケート定数です。

1941年、${\displaystyle M(1,{\sqrt {2}})}$（したがって）${\displaystyle G}$）はテオドール・シュナイダーによって超越的であることが証明された。^{[注2 ] [ 7 ] [ 8 ]}この集合は${\displaystyle \{\pi ,M(1,1/{\sqrt {2}})\}}$代数的に独立している${\displaystyle \mathbb {Q} }$[ ^{9 ] [ 10 ]}しかしセット^は${\displaystyle \{\pi ,M(1,1/{\sqrt {2}}),M'(1,1/{\sqrt {2}})\}}$（プライム記号は第2変数に関する導関数を表す）は代数的に独立ではない${\displaystyle \mathbb {Q} }$実際には、^{[ 11 ]}$${\displaystyle \pi =2{\sqrt {2}}{\frac {M^{3}(1,1/{\sqrt {2}})}{M'(1,1/{\sqrt {2}})}}.}$$幾何平均と調和平均GH は、幾何平均と調和平均の類似した数列を使用して計算でき、実際にはGH( x , y ) = 1/ M (1/ x , 1/ y ) = xy / M ( x , y )となります。^{[ 12 ]} 算術平均と調和平均は幾何平均と同等です。

算術平均と幾何平均は、とりわけ対数、 第一種および第二種の完全および不完全楕円積分^{[ 13 ]}、ヤコビ楕円関数^{[ 14 ]}の計算に使用できます。

算術平均と幾何平均の不等式は、$${\displaystyle g_{n}\leq a_{n}}$$そしてこうして$${\displaystyle g_{n+1}={\sqrt {g_{n}\cdot a_{n}}}\geq {\sqrt {g_{n}\cdot g_{n}}}=g_{n}}$$すなわち、数列g _{n は}非減少であり、 xとyの大きい方によって上から抑えられる。単調収束定理により、数列は収束するので、次の条件を満たすgが存在する。$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }g_{n}=g}$$しかし、以下のこともわかります。$${\displaystyle a_{n}={\frac {g_{n+1}^{2}}{g_{n}}}}$$ など： $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }{\frac {g_{n+1}^{2}}{g_{n}}}={\frac {g^{2}}{g}}=g}$$

証明終了

この証明はガウスによって与えられた 。^{[ 1 ]}

$${\displaystyle I(x,y)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {d\theta }{\sqrt {x^{2}\cos ^{2}\theta +y^{2}\sin ^{2}\theta }}},}$$

積分変数を変更する${\displaystyle \theta '}$、 どこ

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta &={\frac {2x\sin \theta '}{(x+y)+(xy)\sin ^{2}\theta '}}\\\Rightarrow d(\sin \theta )&=d\left({\frac {2x\sin \theta '}{(x+y)+(xy)\sin ^{2}\theta '}}\right)\\\Rightarrow \cos \theta \ d\theta &=2x{\frac {(x+y)-(xy)\sin ^{2}\theta '}{((x+y)+(xy)\sin ^{2}\theta ')^{2}}}\ \cos \theta 'd\theta '\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\cos \theta &={\frac {\sqrt {(x+y)^{2}-2(x^{2}+y^{2})\sin ^{2}\theta '+(x-y)^{2}\sin ^{4}\theta '}}{(x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta '}}\\&={\frac {\cos \theta '{\sqrt {(x-y)^{2}\cos ^{2}\theta '+4xy}}}{(x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta '}}\\&={\frac {\cos \theta '{\sqrt {(x+y)^{2}\cos ^{2}\theta '+4xy\sin ^{2}\theta '}}}{(x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta '}},\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle \Rightarrow \cos \theta \ d\theta ={\frac {\cos \theta '{\sqrt {(x+y)^{2}\cos ^{2}\theta '+4xy\sin ^{2}\theta '}}}{(x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta '}}\ d\theta =2x{\frac {(x+y)-(x-y)\sin ^{2}\theta '}{((x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta ')^{2}}}\ \cos \theta 'd\theta ',}$$

$${\displaystyle \Rightarrow d\theta ={\frac {x((x+y)-(x-y)\sin ^{2}\theta ')}{((x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta ')}}{\frac {2d\theta '}{\sqrt {(x+y)^{2}\cos ^{2}\theta '+4xy\sin ^{2}\theta '}}}\ ,}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {x^{2}\cos ^{2}\theta +y^{2}\sin ^{2}\theta }}&={\frac {\sqrt {x^{2}((x+y)^{2}-2(x^{2}+y^{2})\sin ^{2}\theta '+(x-y)^{2}\sin ^{4}\theta ')+4x^{2}y^{2}\sin ^{2}\theta '}}{((x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta ')}}\\&={\frac {x((x+y)-(x-y)\sin ^{2}\theta ')}{((x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta ')}}\end{aligned}}}$$

これにより、 $${\displaystyle {\frac {d\theta }{\sqrt {x^{2}\cos ^{2}\theta +y^{2}\sin ^{2}\theta }}}={\frac {2d\theta '}{\sqrt {(x+y)^{2}\cos ^{2}\theta '+4xy\sin ^{2}\theta '}}}={\frac {d\theta '}{\sqrt {(({\frac {x+y}{2}})^{2}\cos ^{2}\theta '+({\sqrt {xy}})^{2}\sin ^{2}\theta '}}},}$$

与える

$${\displaystyle {\begin{aligned}I(x,y)&=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {d\theta '}{\sqrt {(({\frac {x+y}{2}})^{2}\cos ^{2}\theta '+({\sqrt {xy}})^{2}\sin ^{2}\theta '}}}\\&=I{\bigl (}{\tfrac {x+y}{2}},{\sqrt {xy}}{\bigr )}.\end{aligned}}}$$

したがって、

$${\displaystyle {\begin{aligned}I(x,y)&=I(a_{1},g_{1})=I(a_{2},g_{2})=\cdots \\&=I{\bigl (}M(x,y),M(x,y){\bigr )}=\pi /{\bigr (}2M(x,y){\bigl )}.\end{aligned}}}$$ 最後の等式は、次のことを観察することによって得られる。${\displaystyle I(z,z)=\pi /(2z)}$。

最終的に、望ましい結果が得られる。

$${\displaystyle M(x,y)=\pi /{\bigl (}2I(x,y){\bigr )}.}$$

• ガウス・ルジャンドルアルゴリズム
• 一般化平均
• ランデンの変貌