オルソセンター

三角形の垂心（通常はHで表される）は、 3 つの（場合によっては延長された）垂線が交わる点です。^{[ 1 ] [ 2 ]} 垂心は、三角形が鋭角である場合に限り、三角形の内部にあります。直角三角形の場合、垂心は直角の頂点と一致します。 ^{[ 2 ]}正三角形の場合、すべての三角形の中心（垂心を含む）は、その重心で一致します。

A、B、Cを三角形の頂点と角とし、${\displaystyle a=\left|{\overline {BC}}\right|,}$${\displaystyle b=\left|{\overline {CA}}\right|,}$${\displaystyle c=\left|{\overline {AB}}\right|}$辺の長さを とします。垂心は三線形座標を持ちます^{[ 3 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}&\sec A:\sec B:\sec C\\&=\cos A-\sin B\sin C:\cos B-\sin C\sin A:\cos C-\sin A\sin B,\end{aligned}}}$$ および重心座標$${\displaystyle {\begin{aligned}&(a^{2}+b^{2}-c^{2})(a^{2}-b^{2}+c^{2}):(a^{2}+b^{2}-c^{2})(-a^{2}+b^{2}+c^{2}):(a^{2}-b^{2}+c^{2})(-a^{2}+b^{2}+c^{2})\\&=\tan A:\tan B:\tan C.\end{aligned}}}$$

三角形の内部にある点の重心座標はすべて正ですが、外部にある点の重心座標は少なくとも1つが負であり、頂点の重心座標のうち2つがゼロであるため、垂心について与えられた重心座標は、垂心が鋭角三角形の内部、直角三角形の直角の頂点、鈍角三角形の外部にあることを示しています。

複素平面において、点 A、B、Cをそれぞれz _A、z _B、z _Cで表し、三角形△ ABCの外心は平面の原点にあると仮定します。すると、複素数は $${\displaystyle z_{H}=z_{A}+z_{B}+z_{C}}$$ は点Hによって表され、すなわち三角形△ ABCの垂心である。^{[ 4 ]}このことから、自由ベクトルを用いて垂心Hの以下の特徴付けを容易に確立することができる。 $${\displaystyle {\vec {OH}}=\sum \limits _{\scriptstyle {\rm {cyclic}}}{\vec {OA}},\qquad 2\cdot {\vec {HO}}=\sum \limits _{\scriptstyle {\rm {cyclic}}}{\vec {HA}}。$$

前述のベクトル恒等式の最初のものは、ジェームズ・ジョセフ・シルベスターによって提案されたシルベスターの問題としても知られています。^{[ 5 ]}

A、B、Cからの高さのフィートをそれぞれD、E、Fとする。すると次のようになる。

• 垂心によって高度が分割されるセグメントの長さの積は、3 つの高度すべてで同じです。^{[ 6 ] [ 7 ]}$${\displaystyle {\overline {AH}}\cdot {\overline {HD}}={\overline {BH}}\cdot {\overline {HE}}={\overline {CH}}\cdot {\overline {HF}}.}$$Hを中心とし、半径がこの定数の平方根である円は、三角形の極円である。^{[ 8 ]}
• 垂心から基線までの距離と垂線の長さの比の合計は 1 です。^{[ 9 ]}（この性質と次の性質は、任意の内点とそれを通る 3 つのチェビアンに関するより一般的な性質の応用です。）$${\displaystyle {\frac {\overline {HD}}{\overline {AD}}}+{\frac {\overline {HE}}{\overline {BE}}}+{\frac {\overline {HF}}{\overline {CF}}}=1.}$$
• 垂心から頂点までの距離と垂線の長さの比の合計は 2 です。^{[ 9 ]}$${\displaystyle {\frac {\overline {AH}}{\overline {AD}}}+{\frac {\overline {BH}}{\overline {BE}}}+{\frac {\overline {CH}}{\overline {CF}}}=2.}$$
• 垂心の等角共役は三角形の外心である。 ^{[ 10 ]}
• 直交中心の同位共役は、反相補三角形の対称中点である。^{[ 11 ]}
• 平面上の4点のうち、1点が他の3点によって形成される三角形の垂心であるような点を、垂心系または垂心四角形と呼ぶ。

三角形の外接半径をRとします。すると^{[ 13 ] [ 14 ]}$${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+{\overline {AH}}^{2}+{\overline {BH}}^{2}+{\overline {CH}}^{2}=12R^{2}.}$$

さらに、三角形の内接円の半径をr、外接円の半径をr _a、r _b、r _c、外接円の半径をRとすると、垂心と頂点との距離に関して次の関係が成り立つ。^{[ 15 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}&r_{a}+r_{b}+r_{c}+r={\overline {AH}}+{\overline {BH}}+{\overline {CH}}+2R,\\&r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}+r^{2}={\overline {AH}}^{2}+{\overline {BH}}^{2}+{\overline {CH}}^{2}+(2R)^{2}.\end{aligned}}}$$

例えば、任意の垂線ADを延長して外接円と点Pで交わるようにすると、AD は外接円の弦となり、足D は線分HPを二等分します。^{[ 7 ]}$${\displaystyle {\overline {HD}}={\overline {DP}}.}$$

三角形の一辺に外接し、他の辺の延長線に接するすべての放物線の準線は垂心を通る。 ^{[ 16 ]}

三角形の垂心を通る外接円錐曲線は直角双曲線である。^{[ 17 ]}

9点円の垂心H、重心G、外心O、中心Nはすべて、オイラー線と呼ばれる単一の直線上にあります。^{[ 18 ]} 9点円の中心は、垂心と外心の間のオイラー線の中点にあり、重心と外心の間の距離は、重心と垂心の間の距離の半分です。^{[ 19 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\overline {OH}}=2{\overline {NH}},\\&2{\overline {OG}}={\overline {GH}}.\end{aligned}}}$$

垂心は重心よりも内心Iに近く、垂心は内心よりも重心から遠い。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {HI}}&<{\overline {HG}},\\{\overline {HG}}&>{\overline {IG}}.\end{aligned}}}$$

辺a、b、c、内接半径r、外接半径Rに関して、^{[ 20 ] [ 21 ]： p.449}$${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {OH}}^{2}&=R^{2}-8R^{2}\cos A\cos B\cos C\\&=9R^{2}-(a^{2}+b^{2}+c^{2}),\\{\overline {HI}}^{2}&=2r^{2}-4R^{2}\cos A\cos B\cos C.\end{aligned}}}$$

三角形△ ABCが斜三角形(直角を含まない) の場合、元の三角形の垂心の足三角形は、垂三角形または高さ三角形と呼ばれます。つまり、斜三角形の高さの足が垂三角形△ DEFを形成します。また、垂三角形△ DEFの内心 (内接円の中心) は、元の三角形△ ABCの垂心です。^{[ 22 ]}

直交三角形の頂点の 三線座標は次のように表される。$${\displaystyle {\begin{array}{rccccc}D=&0&:&\sec B&:&\sec C\\E=&\sec A&:&0&:&\sec C\\F=&\sec A&:&\sec B&:&0\end{array}}}$$

直交三角形の延長された辺は、その基準三角形の反対側の延長された辺と3つの同一直線上の点で交わる。^{[ 23 ] [ 24 ] [ 22 ]}

鋭角三角形では、周長が最小の内接三角形が直交三角形である。^{[ 25 ]}これは、1775 年に提起されたファニャーノの問題の解である。 ^{[ 26 ]}直交三角形の辺は、元の三角形の頂点における外接円の接線に平行である。^{[ 27 ]}

鋭角三角形の直交三角形は、三角形の光路を与える。^{[ 28 ]}

△ ABCの辺の中点における9点円の接線は、直交三角形の辺と平行であり、直交三角形と相似な三角形を形成する。^{[ 29 ]}

直交三角形は接線三角形と密接に関連しており、次のように構成されます。三角形△ ABCの頂点Aにおける外接線をLA_とし、同様にLB 、_LCを定義します。${\displaystyle A''=L_{B}\cap L_{C},}$${\displaystyle B''=L_{C}\cap L_{A},}$${\displaystyle C''=L_{C}\cap L_{A}.}$ 接三角形は △ A"B"C"で、その辺は三角形△ ABCの外接円の頂点における接線であり、直交三角形と相似である。接三角形の外心、および直交三角形と接三角形の相似中心は、オイラー線上にある。^{[ 21 ]： p.447}

接線三角形の頂点の三線座標は次のように表される。 $${\displaystyle {\begin{array}{rrcrcr}A''=&-a&:&b&:&c\\B''=&a&:&-b&:&c\\C''=&a&:&b&:&-c\end{array}}}$$ 基準三角形とその直交三角形は直交三角形である。

正三角形に関する詳細については、こちらをご覧ください。

三角形の 3 つの高さが (垂心で) 一致するという定理は、現存するギリシャの数学文献には直接記載されていませんが、アルキメデス(紀元前 3 世紀)に帰せられる『補題の書』（命題 5）で、現存しない著作「直角三角形に関する論文の注釈」を引用して使用されています。また、パップス( 『数学コレクション』、VII、62、紀元前340 年頃) も言及しています。^{[ 30 ]}この定理は、アル・ナサウィ(11 世紀) の『補題の書』の注釈で明示的に述べられ、証明されており、アル・クヒ( 10 世紀に活躍)に帰せられています。^{[ 31 ]}

このアラビア語の証明は、(17世紀初頭の) 『補題の書』のラテン語版の一部として翻訳されたが、ヨーロッパでは広く知られていなかったため、この定理は17世紀から19世紀にかけてさらに何度か証明された。サミュエル・マロワは『幾何学』 （1619年）でこれを証明し、アイザック・ニュートンは未完の論文『曲線の幾何学』（ 1680年頃）でこれを証明した。^{[ 30 ]}その後、ウィリアム・チャップルが1749年にこれを証明した。^{[ 32 ]}

特に優雅な証明は、フランソワ＝ジョゼフ・セルヴォワ（1804年）とカール・フリードリヒ・ガウス（1810年）によって独立になされました。三角形の各辺に平行な線を対角点を通って引き、これら3本の線の交点から新しい三角形を形成します。すると、元の三角形は新しい三角形の中点三角形となり、元の三角形の高さは新しい三角形の垂直二等分線となるため、（新しい三角形の外心で）一致します。^{[ 33 ]}

• 三角形の中心

• アルトシラー＝コート、ネイサン（2007）[1952]、『大学幾何学』、ドーバー出版
• ベレル、アラン、ゴールドマン、ジェリー（2001）、『幾何学：定理と作図』、プレンティス・ホール、ISBN 0-13-087121-4
• ジョンソン、ロジャー A. (2007) [1960]、『高度なユークリッド幾何学』、ドーバー出版、ISBN 978-0-486-46237-0
• Smart, James R. (1998), Modern Geometries (5th  ed.), Brooks/Cole, ISBN 0-534-35188-3

• ワイスタイン、エリック・W. 「Altitude」。マスワールド。
• 三角形の垂心（インタラクティブアニメーション付き）
• コンパスと定規を用いた直交中心作図のアニメーションデモンストレーション。
• ジェイ・ワレンドルフによるファニャーノの問題、 Wolfram Demonstrations Project。