電束密度場

物理学において、電束密度とも呼ばれる電束変位場（Dで表される）は、マクスウェル方程式に現れるベクトル場です。これは、分極と電場の電磁効果を考慮し、補助場として両者を組み合わせます。材料の静電容量、誘電体の電場に対する応答、圧電効果や屈曲電気効果による電場による形状変化、弾性ひずみによる電圧の発生や電荷移動といった現象の物理学において重要な役割を果たします。Dの変化率、∂D / ∂tは、変位電流密度です。

どのような物質でも、反転中心が存在する場合、例えば、${\displaystyle +x}$そして${\displaystyle -x}$は同じです。これは双極子がないことを意味します。絶縁体に電場を印加すると、（例えば）負電荷は電場の正の側にわずかに移動し、正電荷は反対方向に移動します。これにより、分極と呼ばれる誘導双極子が生じます。分子内の負の電子と正の原子核の動きがわずかに異なる場合や、イオン化合物内の原子の変位が異なる場合があります。反転中心を持たない材料は圧電性を示し、常に分極を持ちます。他の材料では、空間的に変化する歪みが反転対称性を破り、分極を引き起こすことがあり、これはフレキソ電気効果と呼ばれます。磁場などの他の刺激によって、一部の材料で分極が生じることがあり、これは磁気電気効果と呼ばれます。

電束密度場「D」は次のように定義される。$${\displaystyle \mathbf {D} \equiv \varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} ,}$$どこ$\displaystyle \varepsilon _{0}}$ここで、 は真空の誘電率（自由空間の誘電率とも呼ばれる）、Eは電場、Pは物質中の永久および誘導電気双極子モーメントの（巨視的な）密度であり、分極密度と呼ばれる。

誘電体中の 変位場はガウスの法則を満たす。$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {D} =\rho -\rho _{\text{b}}=\rho _{\text{f}}}$$

この方程式では、$\displaystyle \rho _{\text{f}}$は単位体積あたりの自由電荷の数です。これらの電荷は体積を非中性にするものであり、空間電荷と呼ばれることもあります。この式は、実質的に、 Dの磁束線は自由電荷上で始まり、自由電荷上で終わらなければならないことを示しています。対照的に$\displaystyle \rho _{\text{b}}$束縛電荷と呼ばれるものは、双極子を構成する電荷の実効密度です。金属コンデンサのプレート間に絶縁誘電体がある例では、自由電荷は金属プレート上にのみ存在し、誘電体には双極子のみが含まれています。金属/誘電体界面の正味の不均衡な束縛電荷は、金属プレート上の電荷と釣り合います。誘電体がドーピングされた半導体やイオン化ガスなどに置き換えられると、電子はイオンに対して相対的に移動し、システムが有限であれば、両方ともに寄与します。$\displaystyle \rho _{\text{f}}$端の部分。^{[ 1 ] [ 2 ]}

Dは自由電荷のみによって決定されるわけではない。静電的な状況ではEの回転がゼロであるため、 $${\displaystyle \nabla \times \mathbf {D} =\nabla \times \mathbf {P} }$$

この方程式の効果は、棒磁石の電気的類似物である棒エレクトレットのような「固定された」分極を持つ物体の場合に見ることができます。このような材料には自由電荷はありませんが、固有の分極によって電場が発生し、D電場が自由電荷だけで決まるわけではないことがわかります。電場は、上記の関係式と分極密度に関するその他の境界条件を使用して束縛電荷を導き、それによって電場が導き出されることによって決定されます。^{[ 1 ]}

電界の変化に瞬時に応答する線形、均質、等方性誘電体では、 Pは電界に線形的に依存する。 $${\displaystyle \mathbf {P} =\varepsilon _{0}\chi \mathbf {E} ,}$$ ここで比例定数は${\displaystyle \chi }$これは物質の 電気感受率と呼ばれる。したがって$${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon _{0}(1+\chi )\mathbf {E} =\varepsilon _{0}\varepsilon _{r}\mathbf {E} =\varepsilon \mathbf {E} }$$ ここで、ε _r = 1 + χは材料の比誘電率であり、 εは誘電率です。

線形、均質、等方性媒体では、εは定数です。しかし、線形異方性媒体ではテンソルであり、非均質媒体では媒体内の位置の関数です。また、電場（非線形材料）に依存し、時間依存応答を示す場合もあります。材料が物理的に移動したり、時間とともに変化したりする場合（例えば、移動する界面からの反射によってドップラーシフトが生じる場合）、明示的な時間依存性が生じる可能性があります。時間不変媒体では、電場の印加と材料の分極の間に時間遅延が生じる可能性があるため、異なる形式の時間依存性が生じる可能性があります。この場合、 Pはインパルス応答感受率χと電場Eの畳み込みです。このような畳み込みは周波数領域ではより単純な形式になります。関係をフーリエ変換し、畳み込み定理を適用すると、線形時間不変媒体に対して次の関係が得られます。 $${\displaystyle \mathbf {D} (\omega )=\varepsilon (\omega )\mathbf {E} (\omega ),}$$ どこ${\displaystyle \omega }$は印加された電場の周波数です。因果律の制約により、周波数依存性の形式に制限を設けるクラマース・クローニッヒの関係式が得られます。周波数依存誘電率の現象は、物質分散の一例です。実際、すべての物理材料は印加された電場に瞬時に応答できないため、何らかの物質分散を持ちますが、多くの問題（十分に狭い帯域幅に関する問題）では、εの周波数依存性は無視できます。

境界では、${\displaystyle (\mathbf {D_{1}} -\mathbf {D_{2}} )\cdot {\hat {\mathbf {n} }}=D_{1,\perp }-D_{2,\perp }=\sigma _{\text{f}}}$ここで、σ _fは自由電荷密度であり、単位法線ベクトルは${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$ 媒体2から媒体 1の方向を指し示す。^{[ 1 ]}

この用語の最も古い使用例は、1864年のジェームズ・クラーク・マクスウェルの論文「電磁場の動力学的理論」に見られる。マクスウェルは、現代の馴染みのある表記とは異なる形で、電気誘導の比容量であるDという用語を導入した。 ^{[ 3 ]}

複雑なマクスウェル方程式を現代的な形に再定式化したのは、オリバー・ヘヴィサイドでした。1884年になって初めて、ヘヴィサイドはウィラード・ギブス、ハインリヒ・ヘルツと同時期に、これらの方程式を一つの明確な集合としてまとめました。この4つの方程式のグループは、ヘルツ＝ヘヴィサイド方程式、マクスウェル＝ヘルツ方程式などと呼ばれ、現在でもマクスウェル＝ヘヴィサイド方程式と呼ばれることがあります。したがって、Dに現在のような意義を与えたのは、おそらくヘヴィサイドでしょう。

無限に広がる平行平板コンデンサを考えます。平板間の空間は空であるか、または中性の絶縁媒体で満たされています。どちらの場合も、自由電荷は金属コンデンサの平板上にのみ存在します。磁束線Dは自由電荷で終わり、両方の平板上に同じ数の符号が反対の均一に分布した電荷が存在するため、磁束線はすべてコンデンサを一方の側からもう一方の側へと単純に通過するはずです。SI単位系では、平板上の電荷密度は平板間の電場Dの値に比例します。これは、コンデンサの一方の平板をまたぐ小さな長方形の領域を積分することで、ガウスの法則から直接導かれます。

${\displaystyle \scriptstyle _{A}}$${\displaystyle \mathbf {D} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} =Q_{\text{free}}}$

箱の側面では、d Aは電界に垂直なので、この部分の積分はゼロになります。コンデンサの外側の面（Dがゼロ）での積分も同様にゼロになります。したがって、積分に寄与する唯一の面はコンデンサ内部の箱の表面であり、したがって $${\displaystyle |\mathbf {D} |A=|Q_{\text{free}}|,}$$ ここで、Aは箱の上面の表面積であり、${\displaystyle Q_{\text{free}}/A=\rho _{\text{f}}}$は正極板上の自由表面電荷密度です。コンデンサの極板間の空間が誘電率を持つ線形均質等方性誘電体で満たされている場合${\displaystyle \varepsilon =\varepsilon _{0}\varepsilon _{r}}$すると、媒質中に分極が生じ、${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} =\varepsilon \mathbf {E} }$したがって、プレート間の電圧差は $${\displaystyle V=|\mathbf {E} |d={\frac {|\mathbf {D} |d}{\varepsilon }}={\frac {|Q_{\text{free}}|d}{\varepsilon A}}}$$ ここで、 dは両者間の距離を表す。

誘電体を導入すると、εは係数で増加する。${\displaystyle \varepsilon _{r}}$そして、この係数だけ極板間の電圧差が小さくなるか、あるいは電荷量がより多くなければならない。誘電体中の電界が部分的に相殺されることで、極板が真空で隔てられている場合よりも、単位電位降下あたりにコンデンサの2枚の極板上に滞留できる自由電荷量が多くなる。

有限平行平板コンデンサの極板間の距離d がその横方向の寸法よりもはるかに小さい場合、無限の場合を使用して近似し、その静電容量を次のように 求めることができます。$${\displaystyle C={\frac {Q_{\text{free}}}{V}}\approx {\frac {Q_{\text{free}}}{|\mathbf {E} |d}}={\frac {A}{d}}\varepsilon ,}$$

• マクスウェル方程式の歴史 § マクスウェル方程式という用語
• 偏光密度
• 電気感受性
• 磁場
• 電気双極子モーメント