数論 において 、 2 次ガウス和は 、1の根の有限の和である。2 次ガウス和は、 2 次特性によって係数が与えられる複素 指数関数の値の線形結合として解釈できる。一般特性については、より一般的な ガウス和が得られる。これらの対象は、これらを広範に研究し、 2 次 、 3 次 、および 4 次 相互法則
に適用した カール・フリードリヒ・ガウス にちなんで名付けられた。
意味 奇数の 素数 p と整数 a に対して、 2次ガウス和 g ( a ; p ) は次のように定義されます。
グ （ 1つの ; p ） =
∑
ん = 0
p − 1
ζ
p
1つの
ん
2
、
{\displaystyle g(a;p)=\sum _{n=0}^{p-1}\zeta _{p}^{an^{2}},}
ここで は の 原始 p 乗根です (例 ) 。同様に、
ζ
p
{\displaystyle \zeta_{p}}
ζ
p
= 経験 （ 2 π 私
/
p ）
{\displaystyle \zeta _{p}=\exp(2\pi i/p)}
グ （ 1つの ; p ） =
∑
ん = 0
p − 1
（
1 +
（
ん p
）
）
ζ
p
1つの ん
。
{\displaystyle g(a;p)=\sum _{n=0}^{p-1}{\big (}1+\left({\tfrac {n}{p}}\right){\big )}\,\zeta _{p}^{an}.}
が p で割り切れる 場合 、そしてとなる ので
ζ
p
1つの
ん
2
= 1
{\displaystyle \zeta _{p}^{an^{2}}=1}
グ （ 1つの ; p ） = p 。
{\displaystyle g(a;p)=p.}
p で割り切れない a について は となり 、
∑
ん = 0
p − 1
ζ
p
1つの ん
= 0
{\displaystyle \sum _{n=0}^{p-1}\zeta _{p}^{an}=0}
グ （ 1つの ; p ） =
∑
ん = 0
p − 1
（
ん p
）
ζ
p
1つの ん
= グ （ 1つの 、
（
⋅ p
）
） 、
{\displaystyle g(a;p)=\sum _{n=0}^{p-1}\left({\tfrac {n}{p}}\right)\,\zeta _{p}^{an}=G(a,\left({\tfrac {\cdot }{p}}\right)),}
どこ
グ （ 1つの 、 χ ） =
∑
ん = 0
p − 1
χ （ ん ）
ζ
p
1つの ん
{\displaystyle G(a,\chi )=\sum _{n=0}^{p-1}\chi (n)\,\zeta _{p}^{an}}
は、 p を法とする任意の文字 χ に対して定義される ガウス和 です 。
プロパティ ガウス和の値は、 p 番目の 円分体 における 代数的整数 です。
質問
（
ζ
p
）
{\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{p})}
素数 p > 2で割り切れない整数 a のガウス和の評価は、 a = 1の 場合に簡略化できます 。
グ （ 1つの ; p ） =
（
1つの p
）
グ （ 1 ; p ） 。
{\displaystyle g(a;p)=\left({\tfrac {a}{p}}\right)g(1;p).}
a = 1の ときのガウス和の正確な値は 次の式で与えられる: [1]
グ （ 1 ; p ） =
∑
ん = 0
p − 1
e
2 π 私
ん
2
p
=
{
（ 1 + 私 ）
p
もし
p ≡ 0
（ モッド 4 ）
、
p
もし
p ≡ 1
（ モッド 4 ）
、
0
もし
p ≡ 2
（ モッド 4 ）
、
私
p
もし
p ≡ 3
（ モッド 4 ）
。
{\displaystyle g(1;p)=\sum _{n=0}^{p-1}e^{\frac {2\pi in^{2}}{p}}={\begin{cases}(1+i){\sqrt {p}}&{\text{if}}\ p\equiv 0{\pmod {4}},\\{\sqrt {p}}&{\text{if}}\ p\equiv 1{\pmod {4}},\\0&{\text{if}}\ p\equiv 2{\pmod {4}},\\i{\sqrt {p}}&{\text{if}}\ p\equiv 3{\pmod {4}}.\end{cases}}}
述べる 実際、アイデンティティ
グ （ 1 ; p
）
2
=
（
− 1
p
）
p
{\displaystyle g(1;p)^{2}=\left({\tfrac {-1}{p}}\right)p}
証明するのは簡単で、ガウスの 二次相互法則の証明の1つにつながりました。しかし、ガウス和の 符号 の決定は かなり困難であることが判明しました。ガウスは数年の研究を経てようやくそれを確立することができました。その後、 ディリクレ 、 クロネッカー 、 シューア などの数学者が別の証明を見つけました。
一般化された二次ガウス和 a 、 b 、 cを 自然数 とする 。 一般 化された2次ガウス和 G ( a 、 b 、 c ) は次のように定義される。
グ （ 1つの 、 b 、 c ） =
∑
ん = 0
c − 1
e
2 π 私
1つの
ん
2
+ b ん
c
{\displaystyle G(a,b,c)=\sum _{n=0}^{c-1}e^{2\pi i{\frac {an^{2}+bn}{c}}}}
。 古典的な二次ガウス和は、和 g ( a , p ) = G ( a , 0, p ) です。
プロパティ ガウス和 G ( a , b , c )は、 c を法とする a と b の 剰余類 のみに依存します 。 ガウス和は 乗法的 である。すなわち、自然数 a 、 b 、 c 、 dが与えられ、 gcd ( c 、 d )=1 の場合 、
グ （ 1つの 、 b 、 c d ） = グ （ 1つの c 、 b 、 d ） グ （ 1つの d 、 b 、 c ） 。
{\displaystyle G(a,b,cd)=G(ac,b,d)G(ad,b,c).}
これは中国剰余定理 の直接的な帰結です 。 gcd( a , c )>1 の場合には G ( a , b , c )=0 となる が、 gcd( a , c )が bを 割り切る 場合には
G
(
a
,
b
,
c
)
=
gcd
(
a
,
c
)
⋅
G
(
a
gcd
(
a
,
c
)
,
b
gcd
(
a
,
c
)
,
c
gcd
(
a
,
c
)
)
{\displaystyle G(a,b,c)=\gcd(a,c)\cdot G\left({\frac {a}{\gcd(a,c)}},{\frac {b}{\gcd(a,c)}},{\frac {c}{\gcd(a,c)}}\right)}
。 したがって、2次ガウス和の評価では、常に gcd( a , c )=1 と仮定することができます。 a 、 b 、 c を ac ≠ 0 かつ ac + b が 偶数となる整数と する。 ガウス和に対する 二次の相互 法則の類似法則は、次のようになる [2]。
∑
n
=
0
|
c
|
−
1
e
π
i
a
n
2
+
b
n
c
=
|
c
a
|
1
2
e
π
i
|
a
c
|
−
b
2
4
a
c
∑
n
=
0
|
a
|
−
1
e
−
π
i
c
n
2
+
b
n
a
{\displaystyle \sum _{n=0}^{|c|-1}e^{\pi i{\frac {an^{2}+bn}{c}}}=\left|{\frac {c}{a}}\right|^{\frac {1}{2}}e^{\pi i{\frac {|ac|-b^{2}}{4ac}}}\sum _{n=0}^{|a|-1}e^{-\pi i{\frac {cn^{2}+bn}{a}}}}
。
ε
m
=
{
1
if
m
≡
1
(
mod
4
)
i
if
m
≡
3
(
mod
4
)
{\displaystyle \varepsilon _{m}={\begin{cases}1&{\text{if}}\ m\equiv 1{\pmod {4}}\\i&{\text{if}}\ m\equiv 3{\pmod {4}}\end{cases}}}
任意の奇数 mに対して、 b = 0 かつ gcd( a , c ) = 1 のときのガウス和の値は 、次のように明示的に与えられる。
G
(
a
,
c
)
=
G
(
a
,
0
,
c
)
=
{
0
if
c
≡
2
(
mod
4
)
ε
c
c
(
a
c
)
if
c
≡
1
(
mod
2
)
(
1
+
i
)
ε
a
−
1
c
(
c
a
)
if
c
≡
0
(
mod
4
)
.
{\displaystyle G(a,c)=G(a,0,c)={\begin{cases}0&{\text{if}}\ c\equiv 2{\pmod {4}}\\\varepsilon _{c}{\sqrt {c}}\left({\dfrac {a}{c}}\right)&{\text{if}}\ c\equiv 1{\pmod {2}}\\(1+i)\varepsilon _{a}^{-1}{\sqrt {c}}\left({\dfrac {c}{a}}\right)&{\text{if}}\ c\equiv 0{\pmod {4}}.\end{cases}}}
ここ （ 1つの / c ）は ヤコビ記号 です 。これはカール・フリードリヒ・ガウス の有名な公式です 。 b > 0 の場合、 ほとんどの場合、 平方完成 法でガウス和を簡単に計算できます。ただし、これは失敗する場合もあります (たとえば、 c が 偶数で b が 奇数の場合)。これは他の方法で比較的簡単に計算できます。たとえば、 c が 奇数で gcd( a , c ) = 1 の場合、
G
(
a
,
b
,
c
)
=
ε
c
c
⋅
(
a
c
)
e
−
2
π
i
ψ
(
a
)
b
2
c
,
{\displaystyle G(a,b,c)=\varepsilon _{c}{\sqrt {c}}\cdot \left({\frac {a}{c}}\right)e^{-2\pi i{\frac {\psi (a)b^{2}}{c}}},}
ここで ψ ( a )は 4 ψ ( a ) a ≡ 1 (mod c ) となる数です 。別の例として、 4 で c が割り切れ、 b が奇数で、常に gcd( a , c ) = 1 となる場合、 G ( a , b , c ) = 0となります。これは、たとえば次のように証明できます。ガウス和の乗法特性により、 n > 1 かつ a 、 b が奇数で gcd( a , c ) = 1 となる場合、 G ( a , b , 2 m ) = 0 と なることを示せばよいだけです 。 b が 奇数の場合、 0 ≤ n < c − 1のすべての場合で an 2 + bn は偶数です 。すべての q について、方程式 an 2 + bn + q = 0には /2 n に最大で 2 つの解があります 。実際、 と が 同じ偶奇の 2 つの解である場合、 何らかの整数 に対してとなります が、 は奇数なので となります 。 [ 説明が必要 ] 計数議論により、 2 + bn は c を 法とするすべての偶数剰余類を 正確に 2 回実行します。すると、 幾何和の公式は G ( a , b , 2 m ) = 0 であることを示します 。
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
n
1
{\displaystyle n_{1}}
n
2
{\displaystyle n_{2}}
(
n
1
−
n
2
)
(
a
(
n
1
+
n
2
)
+
b
)
=
α
2
m
{\displaystyle (n_{1}-n_{2})(a(n_{1}+n_{2})+b)=\alpha 2^{m}}
α
{\displaystyle \alpha }
(
a
(
j
1
+
j
2
)
+
b
)
{\displaystyle (a(j_{1}+j_{2})+b)}
j
1
≡
j
2
(
mod
2
m
)
{\displaystyle j_{1}\equiv j_{2}{\pmod {2^{m}}}}
c が奇数の 平方自由整数 で gcd( a , c )=1 ならば 、
G
(
a
,
0
,
c
)
=
∑
n
=
0
c
−
1
(
n
c
)
e
2
π
i
a
n
c
.
{\displaystyle G(a,0,c)=\sum _{n=0}^{c-1}\left({\frac {n}{c}}\right)e^{\frac {2\pi ian}{c}}.}
c が平方でない場合 、右辺はゼロになりますが、左辺はゼロになりません。右辺の和は、2 次ガウス和とも呼ばれることがよくあります。
G
(
n
,
p
k
)
=
p
⋅
G
(
n
,
p
k
−
2
)
{\displaystyle G\left(n,p^{k}\right)=p\cdot G\left(n,p^{k-2}\right)}
k ≥ 2 かつ奇数の素数 p の場合 、および k ≥ 4 かつ p = 2 の 場合に成立します。
参照
参考文献
^ M. Murty、S. Pathak、The Mathematics Student Vol. 86、Nos. 1-2、January-June (2017)、xx-yy ISSN: 0025-5742 https://mast.queensu.ca/~murty/quadratic2.pdf ^ BC Berndt、RJ Evans、KS Williams、 『Gauss and Jacobi Sums 』、John Wiley and Sons、(1998) の定理 1.2.2 。
アイルランド、ローゼン（1990）。 現代数論への古典的入門 。シュプリンガー・フェアラーク 。ISBN 0-387-97329-X 。 Berndt, Bruce C.; Evans, Ronald J.; Williams, Kenneth S. (1998). Gauss and Jacobi Sums . Wiley and Sons. ISBN 0-471-12807-4 。 イワニエツ、ヘンリク、 コワルスキー、エマニュエル (2004)。 解析的数論 。アメリカ数学会。ISBN 0-8218-3633-1 。 
