ガウス合成法則

数学のうち数論において、ガウス合成法則はカール・フリードリヒ・ガウスによって発明された、整二進二次形式(IBQF)に対して二項演算を実行するための規則である。ガウスは、1801年に出版された数論の教科書『算術論』[1]の第234 - 244条でこの規則を提示した。^ガウス合成法則はIBQF理論における最も深い結果の1つであり、ガウスによるこの法則の定式化とガウスによって与えられたその特性の証明は、一般に非常に複雑で非常に難しいと考えられている。^[2]その後の数学者は、この合成法則の定式化を簡略化し、数値計算に適した形式で提示した。この概念は、いくつかの方向で一般化されている。

形式（ただし、はすべて整数）の式は、整二項二次形式（IBQF）と呼ばれます。が互いに素である場合、形式は原始IBQFと呼ばれます。 量はIBQFの判別式と呼ばれます。 整数が何らかのIBQFの判別式である場合、かつ の場合に限ります。は、次のいずれかが成り立つ 場合、かつ の場合に限り、基本判別式 と呼ばれます。${\displaystyle Q(x,y)=\alpha x^{2}+\beta xy+\gamma y^{2}}$${\displaystyle \alpha,\beta,\gamma,x,y}$${\displaystyle Q(x,y)}$${\displaystyle \alpha,\beta,\gamma}$${\displaystyle \Delta =\beta ^{2}-4\alpha \gamma }$${\displaystyle Q(x,y)}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \Delta \equiv 0,1(\mathrm {mod} \,\,4)}$${\displaystyle \Delta }$

• ${\displaystyle \Delta \equiv 1\,\,(\mathrm {mod} \,\,4)}$ そして、正方形ではない、
• ${\displaystyle \Delta =4m}$ここで 、およびは平方自由度です。${\displaystyle m=2{\text{ または }}3\,\,(\mathrm {mod} \,\,4)}$${\displaystyle m}$

およびの場合は正定値であると言われ、および の場合は負定値であると言われ、の場合は不定値であると言われます。 ${\displaystyle \Delta <0}$${\displaystyle \alpha >0}$${\displaystyle Q(x,y)}$${\displaystyle \Delta <0}$${\displaystyle \alpha <0}$${\displaystyle Q(x,y)}$${\displaystyle \Delta >0}$${\displaystyle Q(x,y)}$

2つのIBQFとが同値（または、正確には同値）であるとは、次の整数α、β、γ、δが存在する場合を言う。 ${\displaystyle g(x,y)}$${\displaystyle h(x,y)}$

${\displaystyle \alpha \delta -\beta \gamma =1}$そして ${\displaystyle g(\alpha x+\beta y,\gamma x+\delta y)=h(x,y).}$

表記法は、2 つの形式が同等であることを示すために使用されます。関係 " " は、すべての IBQF の集合における同値関係です。IBQF が属する同値クラスは で示されます。 ${\displaystyle g(x,y)\sim h(x,y)}$${\displaystyle \sim}$${\displaystyle g(x,y)}$${\displaystyle [g(x,y)]}$

2つのIBQFは、次の場合には不適切に等価であると言われる。 ${\displaystyle g(x,y)}$${\displaystyle h(x,y)}$

${\displaystyle \alpha \delta -\beta \gamma =-1}$そして ${\displaystyle g(\alpha x+\beta y,\gamma x+\delta y)=h(x,y).}$

IBQF の集合における不適切に同値である関係も同値関係です。

同等の IBQF (適切または不適切) は同じ判別式を持つことが容易にわかります。

ブラフマグプタ恒等式と呼ばれる次の恒等式は、インドの数学者ブラフマグプタ(598–668)に知られており、彼はこの恒等式を使用して、正の整数の平方根のより優れた分数近似値を連続的に計算しました。

${\displaystyle (x^{2}+Dy^{2})(u^{2}+Dv^{2})=(xu+Dyv)^{2}+D(xv-yu)^{2} }$

このアイデンティティの 書き方は、${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+Dy^{2}}$

${\displaystyle f(x,y)f(u,v)=f(X,Y)}$どこ。${\displaystyle X=xu+Dyv,Y=xv-yu}$

IBQF のガウスの合成法則は、この恒等式を の形式の恒等式に一般化します。ここで、はすべて IBQF であり、 は積 の線形結合です。 ${\displaystyle g(x,y)h(u,v)=F(X,Y)}$${\displaystyle g(x,y),h(x,y),F(X,Y)}$${\displaystyle X,Y}$${\displaystyle xu,xv,yu,yv}$

次の IBQF を検討してください。

${\displaystyle g(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2}}$

${\displaystyle h(x,y)=dx^{2}+exy+fy^{2}}$

${\displaystyle F(x,y)=Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}}$

次の6つの数を満たす 整数とを見つけることができれば${\displaystyle p,q,r,s}$${\displaystyle p^{\prime},q^{\prime},r^{\prime},s^{\prime}}$

${\displaystyle pq^{\prime }-qp^{\prime },pr^{\prime }-rp^{\prime },ps^{\prime }-sp^{\prime },qr^{\prime }-rq^{\prime },qs^{\prime }-sq^{\prime },rs^{\prime }-sr^{\prime }}$

±1以外の公約数は存在せず、

${\displaystyle X=pxu+qxv+ Ryu+syv}$

${\displaystyle Y=p^{\prime }xu+q^{\prime }xv+r^{\prime }yu+s^{\prime }yv}$

次の関係は同様に満たされる

${\displaystyle g(x,y)h(u,v)=F(X,Y)}$、

形式は形式との合成形式であると言われます。2 つの IBQF の合成形式が存在する場合、その合成形式は一意ではないことに注意してください。 ${\displaystyle F(x,y)}$${\displaystyle g(x,y)}$${\displaystyle h(x,y)}$

次の2進二次形式を考えてみましょう。

${\displaystyle g(x,y)=2x^{2}+3xy-10y^{2}}$

${\displaystyle h(x,y)=5x^{2}+3xy-4y^{2}}$

${\displaystyle F(x,y)=10x^{2}+3xy-2y^{2}}$

させて

${\displaystyle [p,q,r,s]=[1,0,0,2],\quad [p^{\prime },q^{\prime },r^{\prime },s^{\prime }]=[0,2,5,3]}$

我々は持っています

${\displaystyle pq^{\prime }-qp^{\prime }=2,pr^{\prime }-rp^{\prime }=5,ps^{\prime }-sp^{\prime }=3,qr^{\prime }-rq^{\prime }=0,qs^{\prime }-sq^{\prime }=4,rs^{\prime }-sr^{\prime }=10}$。

これら6つの数は±1以外の公約数を持たない。

${\displaystyle X=pxu+qxv+ Ryu+syv=xu+2yv}$、

${\displaystyle Y=p^{\prime }xu+q^{\prime }xv+r^{\prime }yu+s^{\prime }yv=2xv+5yu+3yv}$。

すると、

${\displaystyle g(x,y)h(u,v)=F(X,Y)}$。

したがって、は との合成物です。 ${\displaystyle F(x,y)}$${\displaystyle g(x,y)}$${\displaystyle h(x,y)}$

次のアルゴリズムは2つのIBQFの合成を計算するために使用できます。^[3]

同じ判別式を持つ次の IBQF があるとします。 ${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle f_{1}(x,y)=a_{1}x^{2}+b_{1}xy+c_{1}y^{2}}$

${\displaystyle f_{2}(x,y)=a_{2}x^{2}+b_{2}xy+c_{2}y^{2}}$

${\displaystyle \Delta =b_{1}^{2}-4a_{1}c_{1}=b_{2}^{2}-4a_{2}c_{2}}$

1. 計算${\displaystyle \beta ={\frac {b_{1}+b_{2}}{2}}}$
2. 計算${\displaystyle n=\gcd(a_{1},a_{2},\beta )}$
3. 次のように計算する${\displaystyle t,u,v}$${\displaystyle a_{1}t+a_{2}u+\beta v=n}$
4. 計算${\displaystyle A={\frac {a_{1}a_{2}}{n^{2}}}}$
5. 計算${\displaystyle B={\frac {a_{1}b_{2}t+a_{2}b_{1}u+v(b_{1}b_{2}+\Delta )/2}{n}}}$
6. 計算${\displaystyle C={\frac {B^{2}-\Delta }{4A}}}$
7. 計算${\displaystyle F(x,y)=Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}}$
8. 計算

${\displaystyle X=nx_{1}x_{2}+{\frac {(b_{2}-B)n}{2a_{2}}}x_{1}y_{2}+{\frac {(b_{1}-B)n}{2a_{1}}}y_{1}x_{1}+{\frac {[b_{1}b_{2}+\Delta -B(b_{1}+b_{2})]n}{4a_{1}a_{2}}}y_{1}y_{2}}$

${\displaystyle Y={\frac {a_{1}}{n}}x_{1}y_{2}+{\frac {a_{2}}{n}}y_{1}x_{1}+{\frac {b_{1}+b_{2}}{2n}}y_{1}y_{2}}$

すると、はとの合成数になります。 ${\displaystyle F(X,Y)=f_{1}(x_{1},y_{1})f_{2}(x_{2},y_{2})}$${\displaystyle F(x,y)}$${\displaystyle f_{1}(x,y)}$${\displaystyle f_{2}(x,y)}$

2 つの IBQF の合成は、それらの判別式が同じである場合にのみ存在します。

を IBQF とし、次の同値が存在するものとします。 ${\displaystyle g(x,y),h(x,y),g^{\prime }(x,y),h^{\prime }(x,y)}$

${\displaystyle g(x,y)\sim g^{\prime }(x,y)}$

${\displaystyle h(x,y)\sim h^{\prime }(x,y)}$

がとの合成であり、がとの合成である場合、 ${\displaystyle F(x,y)}$${\displaystyle g(x,y)}$${\displaystyle h(x,y)}$${\displaystyle F^{\prime }(x,y)}$${\displaystyle g^{\prime }(x,y)}$${\displaystyle h^{\prime }(x,y)}$

${\displaystyle F(x,y)\sim F^{\prime }(x,y).}$

を固定整数とし、判別式 のすべての可能な原始 IBQF の集合を考えます。を同値関係 " " の下でのこの集合の同値類の集合とします。とを の 2 つの要素とします。を のIBQF と の合成とします。すると、次の式が成り立ち ます。${\displaystyle D}$${\displaystyle S_{D}}$${\displaystyle D}$${\displaystyle G_{D}}$${\displaystyle \sim }$${\displaystyle [g(x,y)]}$${\displaystyle [h(x,y)]}$${\displaystyle G_{D}}$${\displaystyle F(x,y)}$${\displaystyle g(x,y)}$${\displaystyle h(x,y)}$${\displaystyle S_{D}}$

${\displaystyle [g(x,y)]\circ [h(x,y)]=[F(x,y)]}$

は、 で明確に定義された二項演算 " " を定義します。 ${\displaystyle \circ }$${\displaystyle G_{D}}$

• 集合は二項演算の下で有限アーベル群である。${\displaystyle G_{D}}$${\displaystyle \circ }$

• グループの単位元=${\displaystyle G_{D}}$${\displaystyle {\begin{cases}[x^{2}-(D/4)y^{2}]&{\text{ if }}D\equiv 0\,(\mathrm {mod} \,\,4)\\[1mm][x^{2}+xy+((1-D)/4)y^{2}]&{\text{ if }}D\equiv 1\,(\mathrm {mod} \,\,4)\end{cases}}}$

• の逆はです。${\displaystyle [ax^{2}+bxy+cy^{2}]}$${\displaystyle G_{D}}$${\displaystyle [ax^{2}-bxy+cy^{2}]}$

IBQFの構成法則に対する現代的なアプローチの以下の概略は、ダンカン・A・ビューエルのモノグラフに基づいています。^[4]本書では、さらに詳しい内容や、以下で述べるすべての主張の証明について参照することができます。

を整数の集合とします。この節では、以下で定義する 代数的整数と区別するために、の元を有理整数と呼びます。${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

複素数は、次の式を満たす場合、 二次代数的数と呼ばれる。${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$どこ。${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \alpha }$は、次の式を満たすとき、 二次代数的整数と呼ばれる。

${\displaystyle x^{2}+bx+c=0}$どこ${\displaystyle b,c\in \mathbb {Z} }$

二次代数数とは、次のような形式の数である。

${\displaystyle \alpha ={\frac {-b+e{\sqrt {d}}}{2a}}}$ここで、 およびには 以外の平方因子はありません。${\displaystyle a,b,d,e\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle d}$${\displaystyle 1}$

整数は代数的整数の被除数と呼ばれる。2次代数的数のノルムは次のように定義される。 ${\displaystyle d}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle N(\alpha )=(b^{2}+e^{2}d)/4a^{2}}$。

を有理数体とする。 と二次代数的数を含む最小の体はとを含む二次体であり、 と表記される。この体は次のように示される。 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha )}$

${\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha )=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})=\{t+u{\sqrt {d}}\,|\,t,u\in \mathbb {Q} \}}$

体の判別式 は次のように定義される。 ${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$

${\displaystyle \Delta ={\begin{cases}4d&{\text{ if }}d\equiv 2{\text{ or }}3\,\,(\mathrm {mod} \,\,4)\\[1mm]d&{\text{ if }}d\equiv 1\,\,(\mathrm {mod} \,\,4)\end{cases}}}$

を平方因数を持たない有理数整数（1を除く）とする 。被除数の2次代数的整数の集合は と表記される。この集合は次のように与えられる。 ${\displaystyle d\neq 1}$${\displaystyle d}$${\displaystyle O({\sqrt {d}})}$

${\displaystyle O({\sqrt {d}})={\begin{cases}\{a+b{\sqrt {d}}\,|\,a,b\in \mathbb {Z} \}&{\text{ if }}d\equiv 2{\text{ or }}3\,\,(\mathrm {mod} \,\,4)\\[1mm]\{(a+b{\sqrt {d}})/2\,|\,a,b\in \mathbb {Z} ,a\equiv b\,\,\mathrm {mod} \,\,2)\}&{\text{ if }}d\equiv 1\,\,(\mathrm {mod} \,\,4)\}\end{cases}}}$

${\displaystyle O({\sqrt {d}})}$は、通常の加算と乗算の下では環である。

${\displaystyle \delta ={\begin{cases}-{\sqrt {d}}&{\text{ if }}\delta {\text{ is even}}\\[1mm](1-{\sqrt {d}})/2&{\text{ if }}\delta {\text{ is odd}}\end{cases}}}$

それから

${\displaystyle O({\sqrt {d}})=\{a+b\delta \,|\,a,b\in \mathbb {Z} \}}$。

を整数環のイデアルとします。つまり、を の空でない部分集合とし、任意のおよび任意の に対して とします。 (ここで定義されるイデアルは、以下で定義される分数イデアルと区別するために、整イデアルと呼ばれることもあります。)が のイデアルである場合、 の任意の元がの形式で一意に表現できるようなものを求めることができます。 のこのような元のペアは、イデアルの基底と呼ばれます。これは、 と書くことで示されます。のノルムは次のように定義されます。 ${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle O({\sqrt {d}})}$${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle O({\sqrt {d}})}$${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbf {a} }$${\displaystyle \lambda ,\mu \in O({\sqrt {d}})}$${\displaystyle \lambda \alpha +\mu \beta \in \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle O({\sqrt {d}})}$${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2}\in O({\sqrt {d}})}$${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \alpha _{1}x+\alpha _{2}y}$${\displaystyle x,y\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle O({\sqrt {d}})}$${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {a} =\langle \alpha _{1},\alpha _{2}\rangle }$${\displaystyle \mathbf {a} =\langle \alpha _{1},\alpha _{2}\rangle }$

${\displaystyle N(\mathbf {a} )=|\alpha _{1}{\overline {\alpha _{2}}}-{\overline {\alpha _{1}}}\alpha _{2}|/{\sqrt {\Delta }}}$。

ノルムは基底の選択とは無関係です。

• 2 つのイデアルとの積( と表記)は、の -線形結合によって生成されるイデアルです。${\displaystyle \mathbf {a} =\langle \alpha _{1},\alpha _{2}\rangle }$${\displaystyle \mathbf {b} =\langle \beta _{1},\beta _{2}\rangle }$${\displaystyle \mathbf {a} \mathbf {b} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \alpha _{1}\beta _{1},\alpha _{1}\beta _{2},\alpha _{2}\beta _{1},\alpha _{2}\beta _{2}}$

• 分数イデアルは、次 の 2 つの性質が成り立つ二次体の部分集合です。${\displaystyle I}$${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {\Delta }})}$

1. 任意のおよび任意のに対して、。${\displaystyle \alpha ,\beta \in I}$${\displaystyle \lambda ,\mu \in O({\sqrt {d}})}$${\displaystyle \lambda \alpha +\mu \beta \in I}$
2. 任意のに対してとなる固定された代数的整数が存在する。${\displaystyle \nu }$${\displaystyle \alpha \in I}$${\displaystyle \nu \alpha \in O({\sqrt {d}})}$

• となる代数的整数が存在する場合、そのイデアルは主イデアルと呼ばれます。この主イデアルは と表記されます。${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \mathbf {a} =\{\lambda \alpha \,|\,\lambda \in O({\sqrt {d}})\}}$${\displaystyle (\alpha )}$

次のような重要な結果があります。「任意のイデアル (整数または分数) が与えられた場合、積イデアルが主イデアルと なるような整数イデアルが存在する。」${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {b} }$${\displaystyle \mathbf {ab} }$

2 つの (整数または分数の) イデアル と は、となる主イデアルが存在する場合、によって同値、 によってくぼんでいると言われます。のノルムが正である場合、これらのイデアルは狭義に同値です 。 イデアルの集合において、ここで定義されている同値または狭義に同値である の関係は、まさに同値関係です。 ${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {b} }$${\displaystyle \mathbf {a} \sim \mathbf {b} }$${\displaystyle (\alpha )}$${\displaystyle \mathbf {a} =(\alpha )\mathbf {b} }$${\displaystyle \alpha }$

2 次代数的整数環の分数イデアルの同値類 (それぞれ、狭同値類) は、 イデアルの乗法に関してアーベル群を形成します。群の恒等式は、すべての主イデアルの類 (それぞれ、を持つすべての主イデアルの類) です。イデアルの類の群とイデアルの狭クラス群の群は、 の類群と狭クラス群と呼ばれます。 ${\displaystyle O({\sqrt {d}})}$${\displaystyle (\alpha )}$${\displaystyle N(\alpha )>0}$${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$

IBQF とイデアルのクラスを結び付ける主な結果は、次のように述べることができます。

「判別式の二項二次形式のクラスの群は、二次数体の狭域クラス群と同型である。」${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {\Delta }})}$

カナダ系アメリカ人でフィールズ賞を受賞した数学者マンジュル・バーガヴァは、2元二次形式やその他の形式の構成法則を研究するために、バーガヴァ立方体と呼ばれる8つの整数（図を参照）の構成を導入しました。この立方体の反対面に関連付けられた行列を以下のように定義します。 ${\displaystyle a,b,c,d,e,f}$

${\displaystyle M_{1}={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}},N_{1}={\begin{bmatrix}e&f\\g&h\end{bmatrix}},M_{2}={\begin{bmatrix}a&c\\e&g\end{bmatrix}},N_{2}={\begin{bmatrix}b&d\\f&h\end{bmatrix}},M_{3}={\begin{bmatrix}a&e\\b&f\end{bmatrix}},N_{3}={\begin{bmatrix}c&g\\d&h\end{bmatrix}}}$、

Bhargava は次のように 3 つの IBQF を構築しました。

${\displaystyle Q_{1}=-\det(M_{1}x+N_{1}y),\,\,Q_{2}=-\det(M_{2}x+N_{2}y)\,\,Q_{3}=-\det(M_{3}x+N_{3}y)}$

バーガヴァはバーガヴァ立方体とガウス合成法則を結び付けて次のような結果を確立した。^[5]

「立方体 A が 3 つの原始 2 次二次形式Q ₁、Q ₂、Q ₃を生成する場合、Q ₁、Q ₂、Q _{3 は}同じ判別式を持ち、これら 3 つの形式の積はガウス合成によって定義される群の単位元になります。逆に、Q ₁、Q ₂、Q _{3が同じ判別式の任意の 3 つの原始 2 次二次形式で、その積がガウス合成の下で単位元になる場合、} Q ₁、Q ₂、Q _{3 を}生成する立方体 A が存在します。」