地図投影

地図作成において、地図投影とは、地球の曲面である2次元表面を平面上に表すために用いられる幅広い変換手法のことです。^{[1] [2] [3]}地図投影では、地球の表面からの位置の座標（緯度と経度で表すことが多い）が平面上の座標に変換されます。^{[4] [5]} 投影は2次元地図を作成する上で必要なステップであり、地図作成の重要な要素の1つです。

球面を平面に投影すると、必ず何らかの形で表面が歪む。^[6]地図の目的に応じて、許容される歪みと許容されない歪みがある。そのため、球状の物体のいくつかの特性を他の特性を犠牲にして保存するために、さまざまな地図投影が存在している。地図投影の研究は、主にその歪みの特性評価に関するものである。考えられる地図投影の数に制限はない。^{[7] : 1}より一般的には、投影は微分幾何学、射影幾何学、多様体 など、純粋数学のいくつかの分野で考慮されている。ただし、「地図投影」という用語は、特に地図投影を指す。

名前の文字通りの意味にもかかわらず、投影は、スクリーンに影を落とすことによって生じる透視投影や、ピンホールカメラによって平らなフィルムプレートに生成される直線画像などの透視投影に限定されません。むしろ、曲面から平面に座標を明確かつ滑らかに変換する数学関数はすべて投影です。実際に使用されている投影のほとんどは透視投影ではありません。^{[引用が必要]}

この記事の大部分は、地図化する表面が球面であることを前提としています。地球やその他の大きな天体は、一般的に扁平な回転楕円体としてモデル化するのに適していますが、小惑星などの小さな物体は不規則な形をしていることがよくあります。惑星の表面は、球や楕円体ではうまくモデル化できないほど不規則であっても、地図化することができます。^[8]したがって、より一般的には、地図投影とは、連続した曲面を平面に平坦化する方法です。^[要出典]

最もよく知られている地図投影法はメルカトル図法である。^{[7] : 45}この地図投影法は正角であるという特性がある。しかし、20世紀を通じて、赤道から離れた地域を拡大しているとして批判されてきた。^{[7] : 156–157}対照的に、正弦曲線図法やゴール・ピータース図法などの等面積図法は、国々の相対的な大きさは正確であるが、角度が歪んでいる。ナショナル ジオグラフィック協会やほとんどの地図帳は、ロビンソン図法やヴィンケル三重図法など、面積と角度の歪みの間で妥協した地図投影法を好んでいる。^{[7] [9]}

地球の表面では、地理とは関係なく多くの特性を測定できます。

• エリア
• 形
• 方向
• ベアリング
• 距離

地図投影は、他の特性を犠牲にして、これらの特性の一部を保持するように作成できます。地球の曲面は平面に対して等角ではないため、形状を保持するには必然的に可変縮尺が必要になり、その結果、面積が比例せずに表示されます。同様に、面積を保持する投影は等角投影にはできないため、地図のほとんどの場所で形状と方位が歪んでしまいます。投影法ごとに、基本的なメートル法の特性をさまざまな方法で保持、妥協、または近似します。地図の目的によって、どの投影法を地図のベースにするかが決まります。地図にはさまざまな目的があるため、それらの目的に合わせてさまざまな投影法が作成されています。

投影法の構成におけるもう 1 つの考慮事項は、地図上で使用されるデータ セットとの互換性です。データ セットは地理情報であり、そのコレクションは地球の選択されたデータ(モデル) に依存します。異なるデータでは、同じ場所にわずかに異なる座標が割り当てられるため、国営地図作成システムなどの大規模な地図では、データと投影法を一致させることが重要です。異なるデータ間での座標割り当てのわずかな違いは、世界地図や大規模な地域の地図では問題にはなりません。そのような違いは、ほとんど気付かない程度に抑えられます。

カール・フリードリヒ・ガウスのエグレギウム定理は 、球面を平面上に歪みなく表現することはできないことを証明した。同じことは、扁平回転楕円体、楕円体、ジオイドなど、地球のモデルとして使用される他の基準面にも当てはまる。あらゆる地図投影は、これらの表面の1つを平面上に表現したものであるため、すべての地図投影は歪む。^[5]

投影に固有の歪みを示す古典的な方法は、ティソの指示楕円を使用することです。ニコラ・ティソは、与えられた点について、子午線に沿ったスケール係数h 、緯線に沿ったスケール係数k 、およびそれらの間の角度θ ′ を使用して、歪みの成分の量と方向を示す楕円を作成する方法を説明しました。^{[7] : 147–149  [10] : 24}子午線と緯線に沿って楕円を一定の間隔で配置することにより、指示楕円のネットワークは、地図全体で歪みがどのように変化するかを示します。

投影の歪みを示す他の多くの方法が説明されています。^{[11] [12]}ティソの指示複素数と同様に、ゴールドバーグ・ゴットの指示複素数は無限小に基づいており、屈曲と歪曲（曲がりと偏り）の歪みを表します。^[13]

ティソの示角円盤のような元の（拡大された）微小円ではなく、地図の一部に広がる有限の形状を投影する視覚的手法もある。たとえば、固定半径の小さな円（たとえば、角半径15 度）などである。^[14]球面三角形が使用されることもある。 ^[要出典] 20 世紀前半には、人間の頭をさまざまな投影法に投影して、ある投影法と別の投影法を比較して歪みがどのように変化するかを示すのが一般的だった。^[15] 動的メディアでは、見慣れた海岸線や境界線の形状をインタラクティブ マップ上でドラッグして、投影法が地図上の位置に応じてサイズや形状をどのように歪めるかを示すことができる。^[16]

局所的な歪みを視覚化する別の方法は、グレースケールまたは色のグラデーションを使用して、角度の変形または面積の膨張の大きさを表すことです。2つの色を混ぜて2変量マップを作成し、両方を同時に表示することもできます。^[17]

歪みを一点ではなくエリア全体で測定するには、妥協点を見つけるために優先順位を決める必要があります。いくつかの手法では、角度の歪みと面積の膨張の組み合わせの代理として距離の歪みを使用します。このような方法では、単一の結果を得るために、測定するパスと重み付けを任意に選択します。多くの手法が説明されています。^{[13] [18] [19] [20] [21]}

地図投影の作成には、次の 2 つの手順が含まれます。

1. 地球または惑星の形状のモデルの選択 (通常は球体または楕円体から選択します)。地球の実際の形状は不規則なので、このステップでは情報が失われます。
2. 地理座標 (経度と緯度)を直交座標( x、y ) または極座標( r、θ )に変換します。大縮尺の地図では、直交座標は通常、投影図に重ね合わせたグリッドとして定義される東距離と北距離と単純な関係にあります。小縮尺の地図では、東距離と北距離は意味をなさず、グリッドは重ね合わせられません。

最も単純な地図投影法の中には、文字通りの投影法があり、これは、地球に対して特定の点に光源を配置し、その特徴を特定の表面に投影することによって得られます。ほとんどの投影法はこのように定義されていませんが、光源と地球のモデルを図示すると、地図投影法の基本的な概念を理解するのに役立ちます。

伸ばしたり、裂けたり、縮んだりすることなく平面またはシート状に展開または巻くことができる表面は、展開可能な表面と呼ばれます。円柱、円錐、平面はすべて展開可能な表面です。球体と楕円体には展開可能な表面がないため、これらを平面に投影すると、必ず画像が歪んでしまいます。(比較すると、オレンジの皮を平らにすると、破れたり歪んだりします。)

投影を説明する方法の 1 つは、まず地球の表面から円筒や円錐などの展開可能な表面に投影し、次にその表面を平面に展開することです。最初のステップでは地球の一部の特性が必然的に歪んでしまいますが、その後は展開可能な表面をそれ以上歪むことなく展開することができます。

円筒、円錐、または平面のどれに投影するかを選択したら、その形状のアスペクトを指定する必要があります。アスペクトは、展開可能な表面が地球に対してどのように配置されるかを表します。垂直(表面の対称軸が地球の軸と一致する)、横方向(地球の軸に対して直角)、または斜方向(その間の任意の角度) のいずれかになります。

展開可能な面は、球体または楕円体に接しているか、または正接している可能性があります。接線とは、面が地球に接しているが地球を横切っていないことを意味し、正接とは、面が地球を横切っていることを意味します。展開可能な面を地球との接触から遠ざけると、測定特性が維持または最適化されることはないため、その可能性についてはここではこれ以上説明しません。

接線と割線（標準線）は歪みなく表される。これらの線が円錐投影のように緯線である場合、それは標準緯線と呼ばれる。中心子午線は、投影前に地球が回転される子午線である。中心子午線（通常λ ₀と表記される）と原点緯線（通常φ ₀と表記される）は、地図投影の原点を定義するためによく使用される。^{[22] [23]}

地球儀は、地図全体にわたってあらゆる方向で一定の縮尺で地球を表す唯一の方法です。地図では、どんなに小さな領域でもその特性を実現することはできません。ただし、特定の線に沿って一定の縮尺を実現することは可能です。

考えられるプロパティは次のとおりです。

• 縮尺は位置に依存しますが、方向には依存しません。これは、等角地図の定義特性である角度の保存に相当します。
• 縮尺は、どの緯線に沿っても、その緯線の方向では一定です。これは、通常のアスペクト比の円筒図法または擬似円筒図法に適用されます。
• 上記の組み合わせ: スケールは経度や方向ではなく、緯度のみに依存します。これは、通常のアスペクトのメルカトル図法に適用されます。
• 特定の地理的位置から放射状に伸びる直線に沿って縮尺は一定である。これは方位正距図法などの正距図法の特徴である。また、 2点間の真の距離が維持される図法（マウラーの2点正距図法、Close）もある。^{[7] : 234}

投影の構築は、地球または惑星の形状を近似する方法によっても影響を受けます。投影カテゴリに関する次のセクションでは、説明を簡略化するために、地球を球体として扱います。ただし、地球の実際の形状は、扁平楕円体に近いです。球体であろうと楕円体であろうと、説明されている原則は一般性を失うことなく適用されます。

地球の形状のモデルを選択するには、球体と楕円体の利点と欠点を比較検討する必要があります。球体モデルは、世界地図帳や地球儀などの小規模の地図に適しています。そのスケールでの誤差は、通常、目立たず、複雑な楕円体を使用するほど重要ではないためです。楕円体モデルは、地形図の作成や、地表を正確に描写する必要があるその他の大規模および中規模の地図の作成によく使用されます。楕円体の投影には、補助緯度がよく使用されます。

3 つ目のモデルはジオイドで、これは地球の形状をより複雑かつ正確に表現したもので、風、潮汐、陸地がない場合の平均海面と一致する。最もよく適合する楕円体と比較すると、ジオイド モデルは距離、等角性、等価性などの重要な特性の特性を変える。したがって、このような特性を保持するジオイド投影では、マッピングされた経緯線はマッピングされた楕円体の経緯線から外れる。ただし、通常、ジオイドは投影用の地球モデルとしては使用されない。地球の形状は非常に規則的で、ジオイドの起伏は地球の半径630 万メートルのうち楕円体モデルから 100 メートル未満であるためである。ただし、小惑星などの不規則な惑星体の場合は、ジオイドに類似したモデルを使用して地図を投影することがある。^{[24] [25] [26] [27] [28]}

他の正多面体は、より小さな天体のジオイド等価物の一般化として使用されることがあります。たとえば、イオは、小さな離心率を持つ三軸楕円体または長球体でモデル化するのに適しています。ハウメアの形状はヤコビ楕円体で、長軸は短軸の 2 倍の長さで、中軸は短軸の 1.5 倍の長さです。詳細については、 三軸楕円体の地図投影を参照してください。

地図投影法を分類する方法の 1 つは、地球が投影される表面の種類に基づいています。このスキームでは、投影プロセスは、目的の研究領域のサイズの仮想投影面を地球の一部に接触させて配置し、地球の表面の特徴を投影面に転送し、投影面を解いてスケーリングして平面地図にするものとして説明されています。最も一般的な投影面は、円筒図法 (例:メルカトル図法)、円錐図法 (例:アルベルス図法)、および平面図法 (例:ステレオ図法) です。ただし、多くの数学的投影法は、これら 3 つの投影法のいずれにもうまく当てはまりません。そのため、文献では、擬似円錐図法、擬似円筒図法、擬似方位角図法、逆方位角図法、多円錐図法などの他の同等のカテゴリが説明されています。

投影を分類する別の方法は、投影が保持するモデルの特性に基づいて分類することです。一般的なカテゴリには次のようなものがあります。

• 方向（方位角または天頂角）の保存、これは1点または2点から他のすべての点までのみ可能な特性である^{[10] ：192}
• 局所的に形状を保存する（共形または正相）
• 面積の保存（等面積または等面積または相当または正積）
• 距離を保つ（等距離）。これは、1点または2点と他のすべての点の間でのみ可能な特性です。
• 最短経路の保存、これはグノモニック投影によってのみ保存される特性である

球面は展開可能な面ではないため、等面積かつ正角な地図投影を作成することは不可能です。

展開可能な 3 つの面 (平面、円筒、円錐) は、地図投影を理解し、説明し、展開するための便利なモデルを提供します。ただし、これらのモデルには 2 つの基本的な制限があります。1 つは、現在使用されている世界の投影のほとんどが、これらのカテゴリのいずれにも該当しないことです。もう 1 つは、これらのカテゴリに該当する投影のほとんどでさえ、物理的な投影では自然に実現できないことです。LP Lee は次のように指摘しています。

上記の定義では、円筒、円錐、平面については触れられていない。投影は、円筒または円錐上に展開されているとみなすことができるため、円筒状または円錐状と呼ばれるが、円筒や円錐は多くの誤解を招いてきたため、描写は省略した方がよい。特に、2本の標準緯線を持つ円錐投影についてはそうである。円錐上に展開されているとみなすことができるが、球と単純な関係を持たない円錐である。実際には、円筒と円錐は、便利な説明用語を提供するだけで、それ以外はほとんど何も提供しない。^[29]

Lee の反論は、地図投影の分野で円筒、円錐、平面(方位角)という用語が抽象化されている方法に言及しています。地図が、地球儀を通して輝く光のように展開可能な表面に投影される場合、緯線の間隔は非常に限られた可能性のセットに従うことになります。そのような円筒投影 (たとえば) は次のようになります。

1. 長方形です。
2. 等間隔に配置されたまっすぐな垂直子午線を持つ。
3. 赤道の周りに対称的に配置された直線の緯線を持つ。
4. 緯線は、光が地球儀を通過して円筒に当たったときに当たる場所に制約され、光源は、本初子午線と赤道の交点と球の中心によって形成される線に沿ったどこかにあります。

(投影する前に地球を回転させると、緯線と経線は必ずしも直線のままになるわけではありません。通常、分類の目的では回転は無視されます。)

この最後の制約で説明される線に沿って光源が発する場所が、さまざまな「自然な」円筒図法の違いを生み出します。しかし、地図投影の分野で使われる円筒形という用語は、最後の制約を完全に緩和します。代わりに、緯線は、設計者が地図のニーズに合うと判断した任意のアルゴリズムに従って配置できます。有名なメルカトル図法は、緯線の配置が投影によって決まるのではなく、一定の方位のコースが常に直線としてプロットされるという特性を満たすために必要な方法で緯線が配置される図法です。

通常の円筒図法は、経線が等間隔の垂直線にマッピングされ、緯線(緯線) が水平線にマッピングされる 投影法です。

経線を垂直線にマッピングすることは、地球の自転軸と一致する軸を持つ円筒を想像することで視覚化できます。この円筒は地球に巻き付けられ、地球に投影され、その後広げられます。

円筒図法は、その構造上、東西方向に距離を伸ばします。どの緯度でも、どの円筒図法でも伸びる量は同じで、赤道のスケールの倍数として緯度のセカントで表されます。さまざまな円筒図法は、南北方向の伸び方 (緯度は φ で表されます) によってのみ区別されます。

• 南北の伸縮は東西の伸縮に等しい ( sec φ ) : 東西のスケールは南北のスケールと一致します。つまり、正角円筒図法またはメルカトル図法です。これにより、高緯度の領域が過度に歪みます。
• 南北方向の伸縮は、東西方向の伸縮よりも緯度とともに速く増大します (sec ² φ )。円筒透視図法 (または中心円筒図法)。メルカトル図法よりも歪みがひどいため不適切です。
• 南北方向の伸びは緯度とともに大きくなりますが、東西方向の伸びほど速くはありません。例えば、ミラー円筒図法（秒⁠4/5⁠ φ）。
• 南北距離は引き伸ばされず、圧縮もされない（1）：正距円筒図法または「プレート・カレ」。
• 南北の圧縮は緯度の余弦（東西の伸縮の逆数）に等しくなります。つまり、正積円筒図法です。この図法には、スケーリング定数のみが異なる、名前の付いた特殊図法が多数あります。たとえば、ゴール・ピータース図法またはゴール正射図法（45° 緯線で歪みなし）、ベールマン図法（30° 緯線で歪みなし）、ランベルト正積円筒図法（赤道で歪みなし）などです。この図法では、南北の距離を東西の伸縮の逆数でスケーリングするため、形状は犠牲にして面積が維持されます。

最初のケース (メルカトル図法) では、東西スケールは常に南北スケールに等しくなります。2 番目のケース (中央円筒図法) では、赤道から離れたすべての場所で南北スケールが東西スケールを超えます。残りの各ケースには、東西スケールが南北スケールに一致する、反対の符号 (または赤道) を持つ 1 組の同一緯度、つまり 1 組の割線 があります。

通常の円筒図法では、最初の 2 つのケースを除き、地球全体を有限の長方形としてマッピングします。最初の 2 つのケースでは、長方形の幅は一定のまま、高さは無限に広がります。

横円筒図法は、接線の場合に子午線に沿った大円を円筒の接触線として使用する円筒図法です。

参照:横メルカトル図法。

斜円筒図法は大円と一致しますが、赤道や子午線とは一致しません。

擬円筒図法では、中心 子午線が直線セグメントとして表されます。他の子午線は中心子午線よりも長く、中心子午線から離れるにつれて外側に湾曲します。擬円筒図法では、緯線が直線としてマップされます。緯線に沿って、地表の各ポイントは、中心子午線からの経度の差に比例する中心子午線からの距離でマップされます。したがって、経線は特定の緯線に沿って等間隔に配置されます。擬円筒図法の地図では、赤道から他のポイントよりも遠いポイントは、他のポイントよりも緯度が高くなり、南北関係が維持されます。この特性は、気候など、緯度に依存する現象を示すときに役立ちます。擬円筒図法の例には、次のものがあります。

• 正弦曲線図法は最初に開発された擬円筒図法である。地図上では、現実と同じように、各緯線の長さは緯度の余弦に比例する。^[30]どの地域の面積も正確である。
• コリニョン図法は、最も一般的な形式では、各子午線を各極から赤道までの 2 つの直線セグメントとして表します。

HEALPix投影は、赤道地域の等面積円筒投影と極地域の コリニョン投影を組み合わせたものです。

「円錐図法」という用語は、経線が頂点から放射状に等間隔に伸びる線にマッピングされ、緯線（緯線）が頂点を中心とした円弧にマッピングされる投影法を指します。^[31]

円錐地図を作成する場合、地図作成者は任意に 2 本の標準緯線を選択します。これらの標準緯線は、円錐が地球と交差する部分の割線として視覚化されるか、地図作成者が同じ緯線を 2 回選択した場合は、円錐が地球に接する部分の接線として視覚化されます。結果として得られる円錐地図は、これらの標準緯線付近の縮尺、形状、面積の歪みが少なくなります。両方の標準緯線の北または南にある緯線に沿った距離は引き伸ばされ、標準緯線間の緯線に沿った距離は圧縮されます。1 本の標準緯線を使用すると、他のすべての緯線に沿った距離は引き伸ばされます。

よく使用される円錐投影は次のとおりです。

• 等距離円錐図法では、子午線に沿って緯線を等間隔に保ち、各子午線に沿って一定の距離スケール（通常は標準緯線と同じか類似のスケール）を維持します。
• アルベルス円錐図法は、非標準緯線間の南北距離を調整して、東西方向の伸縮を補正し、等面積の地図を作成します。
• ランベルト正角円錐図法は、非標準緯線間の南北距離を東西の伸びと等しくなるように調整し、正角地図を作成します。

• ボンヌ図法は、ほとんどの子午線と緯線が曲線として表示される等面積図法です。歪みのない標準緯線を設定可能です。
• ヴェルナー・コルディフォームは、1 つの極からの距離だけでなく、すべての緯線に沿った距離も正確です。
• アメリカ多円錐図法および多円錐図法クラスのその他の図法。

方位図法では、中心点からの方向が保持されるという特性があり、そのため中心点を通る大円は地図上で直線で表されます。また、これらの投影法では、スケールが放射状対称であり、したがって歪みも放射状対称です。中心点からの地図上の距離は、角度とは無関係に、実際の距離dの関数r ( d ) によって計算されます。同様に、中心点を中心とする円は、地図上で中心点を中心とする円にマッピングされます。

放射状の線のマッピングは、中心点を接点として地球に接する平面を想像することで視覚化できます。

放射状のスケールはr′ ( d )、横方向のスケールはr ( d )/( R  sin  ⁠d/R⁠）ここで、Rは地球の半径です。

いくつかの方位図法は真の透視図法です。つまり、透視図法は機械的に構築でき、地球の表面を、接点と接点の反対側を通る無限の直線に沿って透視点から平面に線を延長することによって投影します。

• グノモニック投影法では、大円が直線として表示されます。地球の中心を視点として作図できます。r ( d ) = c  tan  ⁠d/R⁠ ; そのため、半球だけでもその大きさは無限大です。^{[32] [33]}
• 正投影は、地球上の各点を平面上の最も近い点にマッピングします。接点から無限遠の視点から構築できます。r ( d ) = c  sin  ⁠d/R⁠ . ^[34]有限円上に半球まで表示できます。月など十分離れた場所から地球を撮影した写真は、この視点に近似しています。
• 近辺透視投影法は有限距離の宇宙からの眺めをシミュレートし、完全な半球よりも小さい範囲を表示します。たとえば、2012年の「ブルー・マーブル」で使用されています。^[35]
• 一般透視図法は、地球外の視点を使用して作成できます。地球の写真 (国際宇宙ステーションからの写真など) はこの透視図法を示しています。これは、傾斜を許容する近辺透視図法の一般化です。
• 等角投影である立体投影は、接点の反対側を遠近法の点として使用して構築できます。r ( d ) = c  tan  ⁠d/2R​⁠ ; スケールはc /(2 R  cos ²  ⁠d/2R​⁠）。^[36]有限円上に球面のほぼ全体を表示できます。球面全体を表示するには無限のマップが必要です。

その他の方位図法は真の透視図法ではありません。

• 方位角等距離：r ( d ) = cd 。アマチュア無線家がアンテナをある点に向ける方向を知り、その点までの距離を確認するために使用します。地図上の接点からの距離は、地球上の表面距離に比例します（ ^[37]接点が北極の場合については、国連の旗を参照してください）。
• ランベルト方位等面積図。地図上の接点からの距離は、地球を通る直線距離に比例します: r ( d ) = c  sin  ⁠d/2R​⁠ ^[38]
• 対数方位図は、地図の中心からの各点の距離が、地球上の接点からの距離の対数になるように構築されます。r ( d ) = c  ln  ⁠d/₀秒⁠ ); 定数d ₀に等しい距離よりも近い位置は表示されません。^[39]

多面体地図投影法では、多面体を使用して地球を面に分割し、各面を地球に投影します。最もよく知られている多面体地図投影法は、バックミンスター・フラーのダイマキシオン マップです。

正角投影法、または正射投影法では、角度が局所的に保持されます。つまり、地球上の任意の場所にある一定の大きさの無限小円を、地図上のさまざまな大きさの無限小円にマッピングします。対照的に、正角でないマッピングでは、このような小さな円のほとんどが歪んだ楕円になります。正角であることの重要な結果は、地図の各ポイントでの相対角度が正しく、任意の 1 つのポイントの周りのすべての方向のローカル スケール (地図全体では異なりますが) が一定であることです。次に、いくつかの正角投影法を示します。

• メルカトル図法:等角線は直線で表現される
• 横メルカトル図法
• 立体投影:球面上の任意の円は、大小を問わず、円または直線にマッピングされます。
• ルシルエ
• ランベルト正角円錐
• ピアースの五角形図法
• アダムス半球図法
• グヨウ半球図法

正積地図は面積の測定値を保存しますが、通常はそのために形状を歪めます。正積地図は等面積地図または正積地図とも呼ばれます。面積を保存する投影法をいくつか示します。

平面上に投影された 2 つの点を結ぶ線分の長さが、地球上の投影されていない 2 つの点間の測地線 (最短面) 距離に比例する場合、その 2 つの点間の距離は保持されていると言えます。等距離投影では、1 つまたは 2 つの特別な点から他のすべての点までの距離が保持されます。投影時に、特別な点が直線または曲線セグメントに引き伸ばされる場合があります。その場合、測定対象の点に最も近い直線または曲線セグメント上の点を使用して距離を測定する必要があります。

• プレート カレ: 2 つの極からの距離が赤道面で保存されます。
• 方位角等距離: 中心と端からの距離が保持されます。
• 等距離円錐図法: 2 つの極からの距離が赤道面で維持されます。
• ウェルナーコルディフォーム北極からの距離は、赤道面で保存されます。
• 2 点等距離: 2 つの「コントロール ポイント」がマップ作成者によって任意に選択され、各コントロール ポイントからの距離が保持されます。

大円は直線として表示されます。

• グノモニック投影

固定された場所 B への方向 (最短ルートの開始場所 A での方位) は、地図上の A から B への方向に対応します。

• リトロウ図法—唯一の正角逆方位図法
• ハンマー逆方位角法- 中心点からの距離も保存します
• クレイグ逆方位角法 （メッカまたはキブラともいう）には垂直子午線もある

妥協投影法では、計量特性を完全に維持するという考え方を放棄し、代わりに歪みのバランスを取ったり、単に見た目を良くしたりすることを目指します。これらのタイプの投影法のほとんどは、赤道よりも極地の形状を歪めます。次に、妥協投影法をいくつか示します。

• ロビンソン
• ファン・デル・グリンテン
• ミラー円筒形
• ウィンケル トリペル
• バックミンスター・フラーのダイマキシオン
• BJS ケイヒルの蝶の地図
• カヴレイスキー VII 投影
• ワーグナーVI投影
• チェンバレン三尺度
• オロンス・フィネのcordiform
• AuthaGraph投影

投影の数学では、特定の地図投影法がすべてにおいて最適であるとは考えられません。^[39]常に何かが歪んでしまいます。そのため、地図のさまざまな用途や幅広い縮尺に対応するために、多くの投影法が存在します。

現代の国家地図作成システムでは、通常、大縮尺の地図には横メルカトル図法またはその近似変種を採用し、狭い地域での縮尺の等角性と変化の少なさを維持しています。大陸や世界全体にまたがる小縮尺の地図では、目的への適合性に応じて、ヴィンケル三重投影図法、ロビンソン図法、モルワイデ図法など、多くの投影法が一般的に使用されています。^[40] 世界の参考地図は、しばしば折衷投影図法で表示されます。世界地図には歪みがつきものなので、投影法の選択は主に美観に基づいて行われます。

主題図では通常、単位面積あたりの現象が正しい比率で表示されるように等面積投影が必要です。^[41] しかし、面積比を正しく表すと、等面積でない多くの地図よりも必然的に形状が歪んでしまいます。

航海の目的で開発されたメルカトル図法は、他の投影法の方が適切であると思われる世界地図でよく使われてきました。^{[42] [43] [44] [45]}この問題は専門家以外でも長い間認識されていました。例えば、1943年のニューヨークタイムズの社説にはこう書かれています。

大陸や方角をもっとわかりやすく表すものに替えて、[メルカトル図法]を捨て去る時が来た。その使用は減ったが、壁掛け地図としては依然として非常に人気がある。長方形の地図なので長方形の壁のスペースをより多くの地図で埋めることができるからであり、また明らかにその親しみやすさが人気を生むからである。^{[7] : 166}

1980年代にピーターズ地図をめぐる論争がきっかけとなり、アメリカ地図協会（現在の地図地理情報協会）は地図投影法と地図の歪みについて一般の人々を啓蒙するために一連の小冊子（「どの地図が最良か」^[46]を含む）を作成した。1989年と1990年に、内部討論の末、北米の7つの地理組織は、世界の地図の参照にいかなる長方形投影法（メルカトル図法やゴール・ピーターズ図法を含む）も使用しないよう勧告する決議を採択した。^{[47] [48]}

• 「地図投影アルバム」（PDF）。 (12.6 MB)、米国地質調査所専門論文 1453、John P. Snyder (USGS) および Philip M. Voxland (ミネソタ大学)、1989 年。
• 地図投影法の宝庫。さまざまな地図投影法の歪みを 1 つの画像で視覚化したものです。
• G.Projector は、多くの投影をレンダリングできるフリーソフトウェアです ( NASA GISS )。
• 地図投影と歪みのカラー画像 (Mapthematics.com)。
• マッピングの幾何学的側面: 地図投影 (KartoWeb.itc.nl)。
• Java 世界地図投影、Henry Bottomley (SE16.info)。
• 地図投影 (MathWorld)。
• MapRef: ヨーロッパの地図投影法と参照システムのインターネット コレクション
• PROJ.4 – 地図投影ライブラリ。
• すべての一般的な投影法の例と特性の投影参照表 (RadicalCartography.net)。
• 「地図投影の理解」(PDF)。 (1.70 MB)、メリタ ケネディ ( Esri )。
• 世界地図投影、Stephen Wolfram、 Yu-Sung Chang ( Wolfram Demonstrations Project )の成果に基づいています。
• 地図投影法を比較する
• 「本当の大きさ」のページでは、メルカトル図法による歪みのない国の大きさを表示します。