双曲三角形

1つの頂点が理想点であり、1つの角が直角である三角形において、3つ目の角は、直角と3つ目の角の間の辺の長さに対する平行角である。

2つの頂点が理想点であり、残りの角が直角である三角形は、フェルディナント・カール・シュヴァイカートによって記述された最初の双曲三角形の1つである（1818年）。

すべての頂点が理想点である三角形、すなわち理想三角形は、角度の和がゼロであるため、双曲幾何学において可能な最大の三角形である。

双曲三角形は、3本の双曲線によって形成されます。これらは双曲幾何学の観測者にとって直線であり、計量が与えられれば、線上の点のペア間の最短距離経路となります。これらの線は、双曲平面の半平面およびポアンカレ円盤平面モデル^{[ 4 ] [ 5 ]}を使用して容易に視覚化できます。双曲平面の観測者にとって、どの位置も同じに見え、特定の方向はありません。図形は、観測者の視点から見て形を変えることなく、場所から場所へ移動できます。

半平面モデルでは、複素平面上の正の虚部を持つ点が双曲平面を構成します。実軸は無限遠の境界の一部です。双曲線は、上半複素平面上の円または直線の一部で、${\displaystyle {\mathfrak {Im}}z>0}$実軸と直角に交わる。 メビウス変換は、拡張円を拡張円に変換し、交差する円間の角度を保存する。拡張円とは、円と拡張線である。拡張線には無限遠点が含まれる。複素共役を伴わない、双曲線を双曲線に変換する適切なメビウス変換は、部分群を形成する。${\displaystyle {\text{Möb}}^{+}(\mathbb {H} )}$そして、その形式を持つ $${\displaystyle M(z)={\frac {a\,z+b}{c\,z+d}}}$$

a 、b、c、dは実数で、${\displaystyle a\,d-b\,c=1}$。 ${\displaystyle {\text{Möb}}^{+}(\mathbb {H} )}$双曲距離を保持する。複素共役の負は、${\displaystyle M(z)=-{\bar {z}}}$実軸をそれ自身に写像し、複素平面の上半分をそれ自身に写像し、双曲線を双曲線に変換します。${\displaystyle {\text{Möb}}^{+}(\mathbb {H} )}$この変換によりグループが拡張され、${\displaystyle {\text{Möb}}(\mathbb {H} )}$結果。複素共役は、拡張円の交角の符号を変えるが、その大きさは変えない。

ポアンカレ円盤モデルでは、無限遠の境界は単位円である。${\displaystyle |z|=1}$複素平面において、内部の点が双曲平面を構成する。双曲線は、単位円と直角に交わる拡張円の内部部分である。双曲線を双曲線に変換するメビウス変換は群を形成し、双曲距離を保存する。部分群における適切なメビウス変換${\displaystyle {\text{Möb}}^{+}(\mathbb {D} )}$フォーム $${\displaystyle M(z)={\frac {\alpha \,z+\beta }{{\overline {\beta }}\,z+{\overline {\alpha }}}}}$$ と${\displaystyle |\alpha |^{2}-|\beta |^{2}=1}$。 ここ${\displaystyle {\overline {\alpha }}}$は、の複素共役を表します。${\displaystyle \alpha }$同様に、${\displaystyle {\overline {\beta }}}$は、の複素共役を表します。${\displaystyle \beta }$複雑な共役${\displaystyle M(z)={\overline {z}}}$単位円をそれ自身に写像し、単位円の内部をそれ自身に写像し、双曲線を双曲線に写像します。交点の角度は符号が変わりますが、大きさは保存されます。適切な部分群と組み合わせると${\displaystyle {\text{Möb}}^{+}(\mathbb {D} )}$これらはサブグループを形成する${\displaystyle {\text{Möb}}(\mathbb {D} )}$。

単位円の内部を変換するメビウス変換が存在する。${\displaystyle |z|<1}$複素平面から上側の複素平面へ${\displaystyle {\mathfrak {Im}}(z)>0}$それらの逆変換は逆の操作を行います。ポアンカレ円盤モデルにおける結果は上半平面モデルに、またその逆も適用できます。そのような変換の1つは次のとおりです。

${\displaystyle \xi (z)={\frac {{\tfrac {i}{\sqrt {2}}}\,z\,+{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}}{-{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\,z\,-{\tfrac {i}{\sqrt {2}}}}}}$

単位円${\displaystyle |z|=1}$実軸に取り込まれる${\displaystyle {\mathfrak {Im}}(z)=0}$そして単位円の内部${\displaystyle |z|<1}$上半平面に取り込まれる${\displaystyle {\mathfrak {Im}}(z)>0}$これは簡単にわかります。3つの点が拡張円を決定するので、${\displaystyle \xi (-i)=\infty {\text{,}}\;\;\xi (i)=0\;\;{\text{,}}\;\;\xi (1)=-1}$また、メビウス変換は拡張円を拡張円に写像するため、単位円は拡張実軸に取り込まれる。拡張線は無限遠点を含む。そして、${\displaystyle \xi (0)=i}$連続性から、単位円の内部は複素平面の上半平面に写像されることが導かれる。計量も正しく写像されることが示される。

Cが直角である場合：

• 角Aの正弦は、その角の対辺の双曲線正弦を斜辺の双曲線正弦で割った値です。

${\displaystyle \sin A={\frac {\textrm {sinh(opposite)}}{\textrm {sinh(hypotenuse)}}}={\frac {\sinh a}{\,\sinh c\,}}.\,}$

• 角Aのコサインは、隣辺の双曲線正接を斜辺の双曲線正接で割った値である。

${\displaystyle \cos A={\frac {\textrm {tanh(adjacent)}}{\textrm {tanh(hypotenuse)}}}={\frac {\tanh b}{\,\tanh c\,}}.\,}$

• 角Aの正接は、反対側の辺の双曲線正接を、隣の辺の双曲線正弦で割った値である。

${\displaystyle \tan A={\frac {\textrm {tanh(opposite)}}{\textrm {sinh(adjacent)}}}={\frac {\tanh a}{\,\sinh b\,}}}$。

• 角Aに隣接する辺の双曲線余弦は、角Bの余弦を角Aの正弦で割った値である。

${\displaystyle {\textrm {cosh(adjacent)}}={\frac {\cos B}{\sin A}}}$。

• 斜辺の双曲線余弦は、 2辺の双曲線余弦の積である。

${\displaystyle {\textrm {cosh(hypotenuse)}}={\textrm {cosh(adjacent)}}{\textrm {cosh(opposite)}}}$。

• 斜辺の双曲線コサインは、角度のコサインの積をそれらのサインの積で割った値でもある。^{[ 6 ]}

${\displaystyle {\textrm {cosh(hypotenuse)}}={\frac {\cos A\cos B}{\sin A\sin B}}=\cot A\cot B}$

Cが直角であるか否かにかかわらず、以下の関係が成り立ちます。双曲線余弦定理は以下のとおりです。

${\displaystyle \cosh c=\cosh a\cosh b-\sinh a\sinh b\cos C,}$

その双対定理は

${\displaystyle \cos C=-\cos A\cos B+\sin A\sin B\cosh c,}$

正弦法則も存在する。

${\displaystyle {\frac {\sin A}{\sinh a}}={\frac {\sin B}{\sinh b}}={\frac {\sin C}{\sinh c}},}$

そして、4つの要素からなる公式：

${\displaystyle \cos C\cosh a=\sinh a\coth b-\sin C\cot B}$

これは、球面三角法における類似の公式と同じ方法で導出される。

球面三角法の2つの余弦定理と正弦定理は、辺の長さが一定であれば双曲線三角法のそれらと同じであることが容易にわかる。${\displaystyle a{\text{,}}\,b{\text{,}}\,c}$に置き換えられる${\displaystyle i\,a{\text{,}}\,i\,b{\text{,}}\,i\,c}$球面幾何学の公式において。${\displaystyle i}$は -1 の平方根です。これは証明ではありませんが、これらの式から導出された球面三角法の式を、これらの置換を行うことで双曲三角法の式に変換できることを意味します。これは、円三角関数が解析関数であり、三角恒等式が複素引数に対して有効であるためです。特に。${\displaystyle \cos(i\,a)=\cosh(a)}$、${\displaystyle \sin(i\,a)=i\,\sinh(a)}$、${\displaystyle \tan(i\,a)=i\,\tanh(a)}$、 そして${\displaystyle \cot(i\,a)=-i\,\coth(a)}$双曲三角形において、ab AB は既知であるが c C は未知である場合、余弦定理と正弦定理の 2 つの法則を用いて直接解くことはできませんが、ネイピアの類推法を用いることで解くことができます。球面三角形を解くための方法を双曲三角形にも適用することができます。