ベクトルポテンシャル

ベクトル解析では、ベクトルポテンシャルは回転が与えられたベクトル場であるベクトル場です。これは、勾配が与えられたベクトル場で あるスカラー場であるスカラーポテンシャルに類似しています。

正式には、ベクトル場が与えられたとき、ベクトルポテンシャルは次のようなベクトル場である。 ${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle C^{2}}$${\displaystyle \mathbf {A} }$$${\displaystyle \mathbf {v} =\nabla \times \mathbf {A} .}$$

ベクトル場がベクトルポテンシャルを許容する場合、等式 （回転の発散はゼロ）から、 が得られ、 これはソレノイドベクトル場である必要があることを意味します。 ${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {A} }$$${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0}$$$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} =\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0,}$$${\displaystyle \mathbf {v} }$

を2 回連続微分可能なソレノイド ベクトル場 とし ます。が に対して少なくとも と同じ速さで減少すると仮定します。 が変数 に関する回転を表すを定義します。 はに対してベクトル ポテンシャルです。つまり、 $${\displaystyle \mathbf {v} :\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}}$$${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {x} )}$${\displaystyle 1/\|\mathbf {x} \|}$${\displaystyle \|\mathbf {x} \|\to \infty }$$${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {x} )={\frac {1}{4\pi }}\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {\nabla _{ y}\times \mathbf {v} (\mathbf {y} )}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \right\|}}\,d^{3}\mathbf {y } }$$${\displaystyle \nabla _{y}\times }$${\displaystyle \mathbf {y} }$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {A} =\mathbf {v} .}$$

積分領域は任意の単連結領域に制限することができる。つまり、も のベクトルポテンシャルであり、ここで ${\displaystyle \mathbf {\Omega } }$${\displaystyle \mathbf {A'} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$$${\displaystyle \mathbf {A'} (\mathbf {x} )={\frac {1}{4\pi }}\int _{\Omega }{\frac {\nabla _{y}\times \mathbf {v} (\mathbf {y} )}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \right\|}}\,d^{3}\mathbf {y} .}$$

この定理の一般化はヘルムホルツ分解定理であり、任意のベクトル場はソレノイドベクトル場と非回転ベクトル場の和として分解できることを述べています。

ビオ・サバールの法則との類推により、は のベクトルポテンシャルとしても適格であり、ここで ${\displaystyle \mathbf {A''} (\mathbf {x} )}$${\displaystyle \mathbf {v} }$

${\displaystyle \mathbf {A''} (\mathbf {x} )=\int _{\Omega }{\frac {\mathbf {v} (\mathbf {y} )\times (\mathbf {x} - \mathbf {y} )}{4\pi |\mathbf {x} -\mathbf {y} |^{3}}}d^{3}\mathbf {y} }$。

(電流密度) を に、(磁場) を に代入すると、ビオ・サバールの法則が得られます。 ${\displaystyle \mathbf {j} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {H} }$${\displaystyle \mathbf {A} }$

を点 を中心とする星型領域とします。ここで です。微分形式に対するポアンカレの補題をベクトル場に適用すると、ものベクトルポテンシャルとなります。ここで ${\displaystyle \mathbf {\Omega } }$${\displaystyle \mathbf {p} }$${\displaystyle \mathbf {p} \in \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbf {A'''} (\mathbf {x} )}$${\displaystyle \mathbf {v} }$

${\displaystyle \mathbf {A'''} (\mathbf {x} )=\int _{0}^{1}s((\mathbf {x} -\mathbf {p} )\times (\mathbf {v} (s\mathbf {x} +(1-s)\mathbf {p} ))\ ds}$

ソレノイド場によって許容されるベクトル ポテンシャルは一意ではありません。 が のベクトル ポテンシャルである場合、 も であり、ここ で は任意の連続微分可能なスカラー関数です。これは、勾配の回転が 0 であるという事実からわかります。 ${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$$${\displaystyle \mathbf {A} +\nabla f,}$$${\displaystyle f}$

この非一意性により、電気力学の定式化における自由度、つまりゲージ自由度が生じ、ゲージの選択が必要になります。

• ベクトル解析の基本定理
• 磁気ベクトルポテンシャル
• ソレノイドベクトル場
• 閉じた正確な微分形式

• 『電磁気工学の基礎』、David K. Cheng 著、Addison-Wesley、1993 年。