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ガウス記法（ガウスコードまたは ガウスワード[1]とも呼ばれる）は、数学的な結び目を表す記法である。[2] [3]これは、結び目を平面に埋め込む際の交差を列挙し分類することによって作成される。[2] [4] [5]ドイツの数学者カール・フリードリヒ・ガウス（1777–1855） にちなんで名付けられた。
ガウスコードは、整数の列で結び目を表します。ただし、すべての交差が2つの異なる数字で表されるのではなく、交差は1つの数字でのみラベル付けされます。交差がオーバークロッシングの場合、正の数字がリストされます。アンダークロッシングの場合、負の数字がリストされます。[6]
例えば、ガウスコードにおける三葉結び目は、1,−2,3,−1,2,−3と表される。[7]
ガウス コードは、結び目を識別する能力がいくつかの問題によって制限されています。結び目上の交差点のトレースを開始する開始点は任意であり、どの方向にトレースするかを決定する方法はありません。また、ガウス コードは、結び目とその鏡像を識別するために必要な、各交差点の利き手を示すことができません。たとえば、三つ葉結び目のガウス コードは、それが右利きの三つ葉結び目か左利きの三つ葉結び目かを指定しません。[8]
この最後の問題は、拡張ガウスコードを使用することで解決されることが多い。この修正では、各数値の2番目のインスタンスの正負の符号は、その交差の利き手を表すために選択され、数値の最初のインスタンスで明確にされる交差の上下の符号ではない。右利きの交差には正の数が与えられ、左利きの交差には負の数が与えられる。[6]
参考文献
- ^ アンドリュー、ギブソン (2011 年 4 月 1 日)。 「ガウス語のホモトピー不変量」。数学アンナレン。349 (4): 871–887。arXiv : 0902.0062。土井：10.1007/s00208-010-0536-0。ISSN 1432-1807。S2CID 14328996。
- ^ ab Nash, John F. ; Rassias, Michael Th. 編 (2016年7月5日). Open Problems in Mathematics . スイス: Springer. p. 340. ISBN 978-3-319-32162-2. OCLC 953456173.
- ^ 「結び目表：ガウス表記」knotinfo.math.indiana.edu . 2020年6月30日閲覧。
- ^ 「ガウスコード」www.math.toronto.edu . 2020年6月30日閲覧。
- ^ Lisitsa, Alexei; Potapov, Igor; Saleh, Rafiq (2009). 「ガウス語上のオートマトン」(PDF)。Dediu, Adrian Horia; Ionescu, Armand Mihai; Martín-Vide, Carlos (編)。言語とオートマトン理論と応用。コンピュータサイエンスの講義ノート。第 5457 巻。ベルリン、ハイデルベルク: Springer。pp. 505–517。doi : 10.1007 /978-3-642-00982-2_43。ISBN 978-3-642-00982-2。
- ^ ab 「交差数が 5 の結び目の交差数を数えるにはどうすればいいですか?」。Mathematics Stack Exchange。2023年9 月 10 日閲覧。
- ^ 「ガウスコード」。ノットアトラス。 2023年9月10日閲覧。
- ^ Gouesbet, G.; Meunier-Guttin-Cluzel, S.; Letellier, C. (1999). 「ガウスコードを使用したHomfly多項式のコンピュータ評価、skein-templateアルゴリズム」.応用数学と計算. 105 (2–3): 271–289. doi :10.1016/S0096-3003(98)10106-6. MR 1710214.274ページ参照