光行差（天文学）

太陽の座標系において、光速に等しい速度を持つ光線を考える。${\displaystyle c}$x方向およびy方向の速度成分を持つ$u_x$そして$u_y$そのため、角度が${\displaystyle \theta }$そのため$\displaystyle \tan(\theta )=u_{y}/u_{x}}$地球が一定の速度で動いている場合${\displaystyle v}$太陽に対するx方向において、速度加算により、地球の基準系におけるビームの速度のx成分は${\displaystyle u_{x}'=u_{x}+v}$y方向の速度は変化せず、${\displaystyle u_{y}'=u_{y}}$したがって、地球の座標系における光の角度を太陽の座標系における角度で表すと次のようになる。

${\displaystyle \tan(\phi )={\frac {u_{y}'}{u_{x}'}}={\frac {u_{y}}{u_{x}+v}}={\frac {\sin(\theta )}{v/c+\cos(\theta )}}}$

の場合$\displaystyle \theta =90^{\circ }}$この結果は、${\displaystyle \tan(\theta -\phi )=v/c}$極限では${\displaystyle v/c\ll 1}$近似値として${\displaystyle \theta -\phi =v/c}$。

相対論的な場合の推論は同じだが、異なる参照系間のローレンツ変換から導出できる相対論的な速度加算式を使用する必要がある。これらの式は次のとおりである。

${\displaystyle u_{x}'=(u_{x}+v)/(1+u_{x}v/c^{2})}$

${\displaystyle u_{y}'=u_{y}/\gamma (1+u_{x}v/c^{2})}$

どこ${\displaystyle \gamma =1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$地球の座標系における光線の成分を太陽の座標系における成分で表す。地球の座標系における光線の角度は、したがって^{[ 8 ]となる。}

${\displaystyle \tan(\phi )={\frac {u_{y}'}{u_{x}'}}={\frac {u_{y}}{\gamma (u_{x}+v)}}={\frac {\sin(\theta )}{\gamma (v/c+\cos(\theta ))}}}$

または

${\displaystyle \tan {\frac {\phi }{2}}={\sqrt {\frac {1-v/c}{1+v/c}}}\tan {\frac {\theta }{2}}}$

の場合${\displaystyle \theta =90^{\circ }}$この結果は、${\displaystyle \sin(\theta -\phi )=v/c}$、極限では${\displaystyle v/c\ll 1}$これは次のように近似できます。${\displaystyle \theta -\phi =v/c}$この相対論的導出では光速が維持される。${\displaystyle {\sqrt {u_{x}^{2}+u_{y}^{2}}}=c}$上記の古典的な導出とは異なり、すべての参照系において一定である。

収差は、観測対象が光が観測者に到達するまでの時間内に動くことによって生じる光時間補正と、移動する光源から放出される光の角度変化である相対論的ビームと、他の2つの現象に関連しています。収差は、異なる慣性系における、これらと同等のものと考えることができます。収差では、観測者は（簡略化のために^{[ 9 ]}）静止した光源に対して移動していると考えられますが、光時間補正と相対論的ビームでは、光源が静止した観測者に対して移動していると考えられます。

観測者と光源が互いに一定速度で相対運動し、光源から観測者へ光線が伝わる場合を考えてみましょう。光線が放出される瞬間、観測者の静止系における光線は、光源の静止系における光線に比べて傾いています。これは相対論的ビーム効果によって説明できます。光線が観測者に到達するまでの間、光源は観測者の系で移動し、光源の「真の位置」は、観測者が見る見かけの位置に対してずれます。これは光時間補正によって説明できます。最終的に、観測者の系における光線は、光源の系における光線に比べて傾いており、これは収差効果として理解できます。したがって、光源の系にいる人は、光線の見かけ上の傾きを収差として表現し、観測者の系にいる人は、これを光時間効果として表現します。

これらの現象間の関係は、観測者と光源の座標系が慣性系である場合にのみ有効です。実際には、地球は慣性静止系ではなく、太陽に向かって向心加速度を受けているため、地球上の年輪光行差などの多くの光行差効果は、光時間補正とはみなせません。しかし、光の放出から検出までの時間が地球の公転周期に比べて短い場合、地球を慣性系と近似することができ、光行差効果は光時間補正と等価になります。

年周光度変化は、地球上の観測者が惑星の太陽の周りを公転する際に運動することによって生じる。軌道離心率により、軌道速度が変化する。${\displaystyle v}$地球（太陽の静止系）の は、惑星が楕円軌道を移動するにつれて年間を通じて周期的に変化し、その結果、光行差も周期的に変化するため、通常は星が小さな楕円を描いて動いているように見えます。

地球の軌道を円形と近似すると、年周光行差による恒星の最大変位は光行差定数として知られ、慣習的に次のように表される。${\displaystyle \kappa }$関係式を用いて計算することができます。${\displaystyle \kappa =\theta -\phi \approx v/c}$太陽の座標系における地球の平均速度を代入すると${\displaystyle v}$そして光の速度${\displaystyle c}$。その許容値は20.49552秒角（秒）または0.000099365ラジアン（ラジアン）（J2000）である。^{[ 11 ]}  

円軌道を仮定すると、年輪光行差により、黄道面（地球の軌道面）上の恒星は直線に沿って前後に動いているように見え、その動きは${\displaystyle \kappa }$太陽のフレーム内での位置の両側で。黄道極（黄道面から90°）に正確に位置する星は、半径の円を描いて動いているように見える。${\displaystyle \kappa }$その真の位置について、そして黄道上の中間緯度の星は小さな楕円に沿って動いているように見えるでしょう。

例として、北極圏の地点にいる観測者から見た、北黄道極にある星を考えてみましょう。そのような観測者は、毎日（厳密には恒星日）に一度、星が天頂を通過するのを目にします。春分の日には、地球の軌道は観測者を南向きに運ぶため、星の見かけの赤緯は南に 1 度ずれます。${\displaystyle \kappa }$9月の春分点では、星の位置は北へ等しく反対方向にずれる。夏至と冬至では、赤緯のずれは0である。逆に、赤経のずれは春分と冬至では0であり、夏至と冬至では最大となる。

実際には、地球の軌道は円形ではなくわずかに楕円形であり、軌道上の速度も多少変化するため、上記の記述はあくまで近似値に過ぎません。光行差は、太陽系の重心に対する地球の瞬間速度を用いてより正確に計算されます。 ^{[ 11 ]}

光行差による変位は、視差による変位とは直交することに注意してください。視差が検出可能であれば、南方向への最大変位は12月に、北方向への最大変位は6月に発生します。初期の天文学者たちを大いに困惑させたのは、まさにこの一見異常な動きでした。

日周光行差は、回転する地球の表面における観測者の速度によって引き起こされます。そのため、観測時刻だけでなく、観測者の緯度と経度にも依存します。その影響は年周光行差よりもはるかに小さく、回転速度が最大となる赤道上 の観測者の場合、わずか0.32秒角です。 ^{[ 12 ]}

太陽系の宇宙空間での運動によって引き起こされる永年収差成分は、さらにいくつかの成分に細分化されています。すなわち、太陽系の重心が銀河の中心の周りを運動することによって生じる収差、銀河が局所銀河群に対して運動することによって生じる収差、および局所銀河群が宇宙マイクロ波背景放射に対して運動することによって生じる収差です。^{[ 13 ] : 6}永年収差は、恒星や銀河外天体の見かけの位置に影響を与えます。永年収差の大きな一定の部分は直接観測できないため、「この大きなほぼ一定の効果を報告された恒星の位置に吸収するのが標準的な慣行となっています」^{[ 14 ] : 1 [ 15 ]}

約 2 億年かけて、太陽は銀河中心を一周します。銀河中心の測定された位置は、赤経 (α = 266.4°) と赤緯 (δ = −29.0°) 付近です。^{[ 14 ] : 2}太陽系の銀河中心の周りの運動による一定で観測不可能な効果は、150 ^{[ 16 ] : 743}秒角または 165 ^{[ 14 ] : 1}秒角と様々に計算されています。もう 1 つの観測可能な部分は、銀河中心に向かって約 2.5  ×  10 ⁻¹⁰  m/s ²の加速であり、これにより、約 5  μas/yr の視差の変化が生じます。^{[ 17 ]}数年にわたる非常に精密な測定により、この永年視差の変化を、しばしば永年視差ドリフトまたは太陽系の加速と呼ばれる小さな見かけの固有運動として観測することができます。^{[ 18 ] : 1 [ 14 ] : 1}

最近、超長基線干渉法とガイア宇宙望遠鏡の両方を使用した銀河系外天体の高精度位置測定により、この小さな効果の測定に成功しました。^{[ 18 ]} 20年間にわたる555個の銀河系外天体の見かけの動きの最初のVLBI測定では、赤道座標α = 263°、δ = −20°で銀河中心に向かっており、永年収差ドリフトは6.4 ±1.5 μas/yrであることが示されました。^{[ 18 ] : 1}その後、ほぼ40年にわたる一連のVLBI測定を使用して決定された永年収差ドリフトは、 α = 270.2 ± 2.3°、δ = −20.2° ± 3.6°の方向に5.83 ± 0.23 μas/yrであることが決定されました。^{[ 13 ] : 7} 160万個の銀河系外天体のガイア衛星データ33か月分のみを使用した光学観測では、太陽系の加速が2.32 ± 0.16 × 10 ⁻¹⁰ m/s ²であり、それに伴う永年収差ドリフトはα = 269.1° ± 5.4°、δ = −31.6° ± 4.1°の方向で5.05 ± 0.35 μas/yrであることが示されました。約66か月と120か月分のデータを取り込んだ後のガイアデータリリースでは、これらの結果のランダム誤差が0.35倍と0.15倍に減少すると予想されます。^{[ 19 ] [ 20 ] : 1,14}国際天体基準座標系（ICRF3）の最新版では、推奨銀河中心光行差定数として5.8 μas/yr ^{[ 14 ] : 5,7 を}採用し、基準元期2015.0以外の時刻における位置精度を最大化するために、永年光行差補正を推奨した。^{[ 13 ] : 17–19}                    

惑星光行差とは、太陽系の静止系で計算された、光行差（地球の速度によるもの）と光時間補正（天体の運動と距離によるもの）を組み合わせたものです。どちらも、移動する天体からの光が地球上の移動する観測者に到達する瞬間に決定されます。惑星光行差は、通常、運動と距離が正確に分かっている太陽系の惑星やその他の天体に適用されるため、このように呼ばれています。

太陽系のコペルニクスの地動説は、ガリレオとティコ・ブラーエの観測、そしてヨハネス・ケプラーとアイザック・ニュートンの数学的研究によって確認された。^{[ 21 ]} 1573年にはすでにトーマス・ディッグスが、星の視差による移動は地動説に従って起こるはずであり、したがって恒星視差が観測できればこの理論の確認に役立つだろうと示唆していた。多くの観測者がそのような視差を決定したと主張したが、ティコ・ブラーエとジョヴァンニ・バッティスタ・リッチョーリは、それらは観測者の心の中にのみ存在し、機器と個人の誤差によるものだと結論付けた。しかし、1680年にジャン・ピカールは、ウラニブールの航海記の中で、 10年間の観測の結果、北極星ポラリスの位置が年間40秒角変化すると述べた。一部の天文学者はこれを視差で説明しようと試みたが、その動きが視差によって生じる動きと異なっていたため、これらの試みは失敗に終わった。ジョン・フラムスティードは、1689年とその後の数年間に壁掛け四分儀で行った測定から、北極星の赤緯は9月よりも7月の方が40秒角小さいと結論付けた。ロバート・フックは1674年に、ロンドンの緯度でほぼ真上を通過する2等級^の星エルタニン（γドラコニス）の観測結果を発表し（そのため、その観測は大気屈折による複雑な補正の影響をほとんど受けない）、この星は10月よりも7月の方が23秒角北寄りであると結論付けた。^{[ 21 ]}

そのため、1725年にブラッドリーとサミュエル・モリニューがこの研究分野に参入した時点では、恒星視差が観測されたかどうかについてまだかなりの不確実性があり、彼らはこの問題に明確に答えるつもりで、キューにあるモリニューの家に大型望遠鏡を設置した。^{[ 6 ]}彼らは、著名な機器製作者であるジョージ・グラハム（1675-1751）が製作した望遠鏡でγドラコニスの運動を再調査することにした。これは、接眼レンズがわずかに振動するように垂直の煙突に固定され、その振動量（つまり垂直からのずれ）は、ネジと下げ振りを導入することによって調整および測定された。^{[ 21 ]}

この装置は1725年11月に設置され、エルタニンの観測は12月から開始された。この星は9月から3月にかけて南に40秒角移動し、その後3月から9月にかけて逆方向に移動することが観測された。^{[ 21 ]}同時に、エルタニンとほぼ正反対の赤経を持つ星である35 Camelopardalisは、3月初めには9月よりも19秒角北に位置していた。^{[ 22 ]}互いに鏡像関係にあると予想されていたこれらの結果の非対称性は、全く予想外で、既存の理論では説明できなかった。

ブラッドリーとモリニューは、解決策を見つけることを期待していくつかの仮説について議論した。見かけの動きは明らかに視差や観測誤差によって引き起こされたものではないため、ブラッドリーはまず、天球に対する地球の自転軸の向きの振動、つまり章動 と呼ばれる現象が原因ではないかと仮説を立てた。35 キリン座は章動と一致する可能性のある見かけの動きを持っていることが観察されたが、その赤緯はエルタニンの赤緯の半分しか変化しなかったため、章動では答えが得られないことは明らかだった^{[ 23 ]}（しかし、ブラッドリーは後に地球が実際に章動をしていることを発見した）。^{[ 24 ]}彼はまた、地球の大気の不規則な分布が原因で、屈折率の異常な変化が関係している可能性についても調査したが、これもまた否定的な結果となった。^{[ 23 ]}

1727年8月19日、ブラッドリーはワンステッドの教区牧師館に設置した自身の望遠鏡を用いて、さらなる観測を開始した。この望遠鏡は視野が広いという利点があり、彼は約20年かけて多数の星の正確な位置を把握することができた。ワンステッドでの最初の2年間で、彼は光行差現象の存在を疑いの余地なく証明し、また、特定の日付における任意の星の光行差の影響を計算できる一連の法則を確立することにも成功した。

ブラッドリーは最終的に1728年9月頃に軌道異常の説明を考案し、この理論は翌年1月中旬に王立協会に発表された。彼はテムズ川の船の風向計の方向が、風そのものの変化ではなく、風向きに対する船の進路の変化によって引き起こされるのを見て、この理論に触発されたと言われている。 ^{[ 24 ]} しかし、ブラッドリー自身の発見の記録にはこの出来事の記録はなく、したがってこれは偽りのものである可能性がある。

以下の表は、γドラコニスの真の赤緯からの偏差の大きさ、極値が観測された4か月それぞれについて、至点カラーと黄道本初子午線の平面上での地球の軌道速度の接線の方向、およびブラッドリーが赤経からの偏差を測定していた場合の真の黄経からの予想される偏差を示しています。

ブラッドリーは、光行差は赤緯だけでなく赤経にも影響するため、黄道極にある星は直径約40秒角の小さな楕円を描くことになるが、簡略化のために円であると仮定した。彼は赤緯のずれのみを観測し、赤経のずれは観測していないため、黄道極にある星の最大ずれの計算は赤緯のみに基づいており、これはその星が描く小さな円の直径と一致する。8つの異なる星について、彼の計算は以下のとおりである。

これらの計算に基づいて、ブラッドリーは光行差定数を20.2インチ（0.00009793ラジアンに相当）と推定することができ、これによって光速を毎秒183,300マイル（295,000 km）と推定することができました。 ^{[ 25 ]}黄道の極にある星の小さな円を投影することで、光速と地球の軌道上の年間運動速度の関係の計算を次のように簡略化することができました。 

${\displaystyle \cos \left({\frac {1}{2}}\pi -0.00009793\right)=\sin(0.00009793)={\frac {v}{c}}}$

したがって、光速と地球の軌道上の年間運動速度の比は 10,210 対 1 であり、そこから、光は太陽から地球まで 8 分 12 秒で移動する、または伝播するということがわかる。^{[ 26 ]}

恒星視差の探索の本来の目的は、地球が太陽の周りを公転するというコペルニクスの地動説を検証することであった。年間を通して変化する光行差は、地球と恒星の相対運動を示している。

ブラッドリーは、光が粒子でできているという光の粒子理論に基づいて説明を考案した。 ^{[ 1 ]}彼の古典的な説明は、有限の速度で移動する光線（粒子）に対する地球の運動に訴え、上記の古典的な導出とは異なり、太陽の基準系で展開されている。

遠方の恒星が太陽に対して静止しており、かつ極めて遠方にあるため視差を無視できる場合を考えてみましょう。太陽の静止系では、これは恒星からの光が地球の観測者まで平行な経路をたどり、地球が軌道上のどこにあっても同じ角度で到達することを意味します。地球上で、細い筒として理想化された望遠鏡を使って恒星を観測するとします。恒星からの光は、ある角度で筒に入射します。${\displaystyle \theta }$そして高速で移動する${\displaystyle c}$時間をかけて${\displaystyle h/c}$チューブの底に到達し、そこで検出される。地球から観測が行われ、地球は速度で移動していると仮定する。${\displaystyle v}$光が通過する間に、チューブは一定の距離だけ移動する。${\displaystyle vh/c}$したがって、光の粒子が管の底に到達するためには、管は一定の角度で傾いていなければならない。${\displaystyle \phi }$と異なる${\displaystyle \theta }$その結果、星の見かけ上の位置は角度${\displaystyle \phi }$地球が軌道上を進むにつれて方向が変わるので、${\displaystyle \phi }$観測時期によって変化する。見かけの角度と真の角度は、三角法を用いて次のように関係付けられる。

${\displaystyle \tan(\phi )={\frac {h\sin(\theta )}{hv/c+h\cos(\theta )}}={\frac {\sin(\theta )}{v/c+\cos(\theta )}}}$。

の場合${\displaystyle \theta =90^{\circ }}$これにより${\displaystyle \tan(\theta -\phi )=v/c}$これは、上述のより正確な相対論的結果とは異なりますが、角度が小さく速度が遅い極限では、ブラッドレーの時代の測定誤差の範囲内で、ほぼ一致します。これらの結果により、ブラッドレーは光速の最も初期の測定の1つを行うことができました。^{[ 26 ] [ 27 ]}

19世紀初頭、光の波動説が再発見されつつあり、1804年にトーマス・ヤングは、ブラッドリーの粒子光の説明を、光を伝えるエーテルと呼ばれる媒体を通過する波動光に適用した。彼の推論はブラッドリーと同じであったが、この媒体は太陽の基準系で不動であり、地球を影響を受けずに通過しなければならないという条件が必要であった。そうでなければ、媒体（したがって光）は地球とともに移動し、光行差は観測されないことになる。 ^{[ 28 ]}彼は次のように書いている。

星の光度変化という現象を考察すると、私は、光を運ぶエーテルが、木立を吹き抜ける風のように、ほとんど抵抗なく、あるいは全く抵抗なく、あらゆる物質の実体全体に浸透していると考えるようになる。

しかし、ヤングの理論では、真空以外の屈折率を持つ物質が存在する場合の収差を説明できないことがすぐに明らかになった。重要な例として、水で満たされた望遠鏡が挙げられる。このような望遠鏡における光の速度は真空中よりも遅くなり、次式で表される。${\displaystyle c/n}$それよりも${\displaystyle c}$どこ${\displaystyle n}$は水の屈折率である。したがって、ブラッドリーとヤングの推論によれば、収差角は次のように与えられる。

${\displaystyle \tan(\phi )={\frac {\sin(\theta )}{v/(c/n)+\cos(\theta )}}}$。

これは、媒質に依存する収差角を予測するものである。望遠鏡の対物レンズでの屈折を考慮に入れると、この結果は真空の結果からさらに大きく乖離する。1810年、フランソワ・アラゴは同様の実験を行い、収差は望遠鏡内の媒質の影響を受けないことを発見し、ヤングの理論に反する確固たる証拠を提供した。この実験はその後数十年にわたり、他の多くの人々によって検証され、最も正確には1871年のエアリーによって同じ結果が得られた。^{[ 28 ]}

1880年代、電磁気学の理解が深まると、再び光行差の問題に関心が向けられた。この頃には、フレネルとストークスの理論の両方に欠陥があることが知られていた。フレネルの理論では、エーテルと物質の相対速度が異なる色の光に対して異なる必要があり、ストークスが理論で仮定した境界条件は、非回転流の仮定と矛盾することが示された。^{[ 1 ] [ 28 ] [ 29 ]}同時に、電磁エーテルの現代理論では、光行差を全く説明できなかった。マックスウェル、ヘヴィサイド、ヘルツなどの多くの科学者は、フレネルまたはストークスの理論をマックスウェルの新しい電磁法則に組み込むことでこれらの問題を解決しようと試みたが、成功しなかった。

ヘンドリック・ローレンツは、この方向でかなりの努力を費やした。この問題に10年間取り組んだ後、ストークスの理論の問題点から、彼はそれを放棄し、フレネルの（ほぼ）静止したエーテルの提案に従うことになった（1892年、1895年）。しかし、ローレンツのモデルでは、エーテルはコーシー、グリーン、マクスウェルの電磁エーテルのように完全に不動であり、フレネルのエーテルとは異なっていた。彼は、マクスウェルの電磁理論の修正、特に運動座標系（「ローカルタイム」）における時間座標の修正から、フレネルの抗力係数を得た。フレネルとローレンツの不動エーテル理論の両方に明らかに矛盾し、ストークスの完全なエーテル抗力を裏付けたマイケルソン・モーリー実験（1887年）を説明するために、ローレンツは（1892年）、物体は係数で「長さ収縮」を起こすと理論づけた。${\displaystyle {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$エーテル中を移動する方向に沿って。このようにして、収差（および関連するすべての光学現象）は、静止したエーテルの文脈で説明できます。ローレンツの理論は、次の10年間、そしてそれ以降の多くの研究の基礎となりました。収差に関するその予測は、相対論的理論の予測と同一です。^{[ 28 ] [ 30 ]}

ローレンツの理論は実験結果とよく一致したが、複雑で、電磁媒体の微視的な性質について多くの根拠のない物理的仮定を置いていた。アルバート・アインシュタインは1905年の特殊相対性理論において、エーテルの概念を排除した、はるかに単純で自然な概念的枠組みでローレンツの理論の結果を再解釈した。彼の導出は上に示されており、現在では受け入れられている説明となっている。ロバート・S・シャンクランドはアインシュタインとの会話をいくつか報告しており、その中でアインシュタインは収差の重要性を強調していた。^{[ 31 ]}

彼は続けて、自分に最も影響を与えた実験結果は、恒星の光行差の観測と、フィゾーによる水中での光速の測定結果だったと述べた。「それだけで十分だった」と彼は言った。

アインシュタインが相対性理論を発展させたその他の重要な動機としては、動く磁石と導体の問題、そして（間接的に）負のエーテルドリフト実験があり、これは彼が最初の相対性理論論文の序文ですでに言及している。アインシュタインは1952年のメモに次のように書いている。^{[ 7 ]}

私自身の考えは、有名なマイケルソン・モーリーの実験から間接的に影響を受けた。私は、特殊相対性理論が確立される以前から知っていた、ローレンツによる運動物体の電気力学に関する画期的な研究（1895年）を通して、この実験を知った。ローレンツのエーテルが静止しているという基本的な仮定は、私には直接的に納得できるものではなかった。なぜなら、それはマイケルソン・モーリーの実験を不自然に解釈することにつながったからである。特殊相対性理論への私の直接的な道筋は、磁場中を運動する導体に誘起される起電力は電場に他ならないという確信によって主に決定づけられた。しかし、フィゾーの実験結果と光行差現象もまた、私を導いた。

アインシュタインの結果は、ブラッドリーの元の方程式と、追加の係数を除いて同じである。${\displaystyle \gamma }$ブラッドリーの結果は、相対速度が低い場合でも誤った予測を与えるという意味で、単に相対論的ケースの古典的極限を与えるものではありません。ブラッドリーの説明では、水望遠鏡のような状況や、望遠鏡内で発生する可能性のある他の多くの光学効果（干渉など）を説明できません。これは、地球の座標系では、望遠鏡内の光線の伝播方向が光線の波面に垂直ではないと予測されるためであり、これはマクスウェルの電磁気理論と矛盾します。また、座標系間で光速cを保存しません。しかし、ブラッドリーは、この効果が相対速度によるものであると正しく推論しました。