等角地図

数学において、等角写像とは、局所的に角度を保存する関数ですが、長さは必ずしも保存されるわけではありません。

より正式には、とを の開集合とします。関数がを通る有向曲線間の角度を保存し、向きも保存する場合、その関数は点で共形(または角度を保存する)と呼ばれます。共形写像は、角度と無限小図形の形状の両方を保存しますが、必ずしもそのサイズや曲率 を保存するとは限りません。 ${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle f:U\to V}$${\displaystyle u_{0}\in U}$${\displaystyle u_{0}}$

共形性は、座標変換のヤコビアン微分行列によって記述できる。各点のヤコビアンが正のスカラー×回転行列（行列式 1 と直交）である場合、変換は共形である。共形性には、ヤコビアンが任意のスカラー×任意の直交行列として表される向き反転マッピングが含まれると定義する著者もいる。^[1]

2 次元のマッピングの場合、(方向を保持する) 等角マッピングは、まさに局所的に可逆な複素解析関数です。3 次元以上では、リウヴィルの定理により、等角マッピングはいくつかのタイプに厳しく制限されます。

共形性の概念は、リーマン多様体または半リーマン多様体間の写像に自然に一般化されます。

が複素平面の開部分集合である場合、関数が共形であるための必要十分条件は、それが正則であり、その導関数が上のどこでもゼロ以外である場合です。 が反正則（正則関数と 共役）である場合、角度は保存されますが、その方向は反転されます。${\displaystyle U}$${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f:U\to \mathbb {C} }$${\displaystyle U}$${\displaystyle f}$

文献では、共形には別の定義があります。それは、平面上の開集合上で 1 対 1 かつ正則な写像です。開写像定理は、逆関数 ( の像上で定義される) が正則になることを強制します。したがって、この定義では、写像が共形になるのは、双正則である場合のみです。共形写像の 2 つの定義は同等ではありません。1 対 1 かつ正則であることは、導関数がゼロでないことを意味します。実際、逆関数定理という次の関係があります。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle (f^{-1}(z_{0}))'={\frac {1}{f'(z_{0})}}}$

ここで、指数関数は非ゼロ導関数を持つ正則関数であるが、周期関数であるため1対1ではない。^[2]${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} }$

リーマン写像定理は、複素解析の重要な結果の 1 つであり、 の任意の空でない開単連結な真部分集合は、内の開単位円への全単射の等角写像を許容することを述べています。非公式には、これは任意の塊が何らかの等角写像によって完全な円に変換できることを意味します。 ${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

リーマン球面からそれ自身 への写像は、それがメビウス変換である場合にのみ共形となる。

メビウス変換の複素共役は角度を保存しますが、方向を反転します。たとえば、円の反転です。

平面幾何学では、等角写像で保存される角度が3種類あります。^[3]それぞれは、独自の実数代数、通常の複素数、分割複素数、および双対数によってホストされます。 等角写像は、それぞれの場合において線形分数変換によって記述されます。 ^[4]

リーマン幾何学では、滑らかな多様体上の2 つのリーマン計量 とが、上のある正の関数 に対して である場合に、共形同値であるといいます。この関数は共形因子と呼ばれます。 ${\displaystyle g}$${\displaystyle h}$${\displaystyle M}$${\displaystyle g=uh}$${\displaystyle u}$${\displaystyle M}$${\displaystyle u}$

2 つのリーマン多様体間の微分同相写像は、引き戻された計量が元の計量と共形的に等しい場合、共形写像と呼ばれます。たとえば、無限遠点が追加された平面への球面の立体投影は、共形写像です。

滑らかな多様体上の共形構造を、共形的に同値なリーマン計量のクラスとして定義することもできます。

ジョセフ・リウヴィルの古典的な定理は、高次元では 2 次元よりも等角写像がはるかに少ないことを示しています。ユークリッド空間の開部分集合から 3 次元以上の同じユークリッド空間への任意の等角写像は、相似、等長変換、および特殊等角変換の 3 種類の変換から構成できます。線型変換の場合、等角写像は相似と等長変換のみで構成され、等角線型変換と呼ばれます。

等角写像の応用分野は、航空宇宙工学^[5] 、 生物医学^[6] （脳マッピング^[7] や遺伝子マッピング^{[8] [9] [10]}を含む）、応用数学（測地線^[11] や幾何学^[12]）、地球科学（地球物理学^[13] 、地理学^[14] 、地図作成を含む）^[15] 、工学^{[16] [17] 、電子工学[18]} などがある。

地図学では、メルカトル図法や立体図法など、いくつかの名前の付いた地図投影法が正角です。コンパスの方向が保存されるため、海洋航行に役立ちます。

等角写像は、複素変数の関数として表現できるものの、形状が不便な工学および物理学の問題を解決するのに非常に役立ちます。適切な写像を選択することにより、解析者は不便な形状をはるかに便利な形状に変換できます。たとえば、ある角度 ( 2 次元空間における点の複素座標) で隔てられた 2 つの導電面の角近くにある点電荷から生じる電場 を計算したいとします。この問題自体は、閉じた形式で解くのが非常に困難です。ただし、非常に単純な等角写像を使用することにより、不便な角度は正確にラジアンのいずれかに写像され、2 つの平面の角が直線に変換されます。この新しい領域では、問題 (導電壁近くにある点電荷によって印加される電場を計算する問題) は非常に簡単に解くことができます。解はこの領域 で得られ、その後 が の関数（つまり、との合成）として得られたことに留意して元の領域にマッピングし直すと、 はとみなすことができ、これは元の座標基底 の関数です。この応用は、等角写像が角度を保存するという事実と矛盾するものではなく、角度は領域の内部の点に対してのみ保存され、境界では保存されないことに注意してください。別の例としては、タンク内の液体のスロッシングの境界値問題を解くための等角写像技術の応用があります。^[19]${\displaystyle E(z)}$${\displaystyle z}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle E(w)}$${\displaystyle w}$${\displaystyle E}$${\displaystyle w}$${\displaystyle z}$${\displaystyle E(w)}$${\displaystyle E(w(z))}$${\displaystyle z}$

関数が平面領域（2 次元）上で調和関数（つまり、ラプラス方程式を満たす関数）であり、等角写像によって別の平面領域に変換される場合、その変換も調和変換です。このため、 ポテンシャルによって定義される関数はどれも、等角写像によって変換でき、それでもポテンシャルによって制御されたままになります。物理学におけるポテンシャルによって定義される方程式の例には、電磁場、重力場、および流体力学におけるポテンシャル流があります。ポテンシャル流 は、一定の密度、ゼロ粘性、および非回転流を仮定した流体の流れの近似です。等角写像の流体力学への応用の一例は、ジュウコフスキー変換です。これを使用して、ジュウコフスキー翼の周りの流れ場を調べることができます。 ${\displaystyle \nabla ^{2}f=0}$

等角写像は、特定の形状における非線形偏微分方程式を解く際にも有用である。このような解析解は、支配方程式の数値シミュレーションの精度をチェックするのに有用である。例えば、半無限壁の周りの非常に粘性の強い自由表面流の場合、領域を半平面に写像することができ、その解は1次元で計算が簡単である。^[20]

離散系の場合、ヌーリーとヤンは、幾何学でよく知られている等角写像（反転写像とも呼ばれる）を通じて、離散系の根軌跡を連続根軌跡に変換する方法を提示した。^[21]

マクスウェル方程式は、円回転と双曲回転を含むグループを形成するローレンツ変換によって保存されます。後者は、円回転と区別するためにローレンツブーストと呼ばれることもあります。双曲回転は双曲角（ラピディティと呼ばれる）を保存し、他の回転は円角 を保存するため、これらすべての変換は共形です。ポアンカレ群に平行移動を導入すると、角度が再び保存されます。

マクスウェル方程式の解を関連付ける等角写像のより大きなグループは、エベネザー・カニンガム（1908年）とハリー・ベイトマン（1910年）によって特定された。彼らはケンブリッジ大学での訓練により、像電荷法と球面および反転に関する像法に精通していた。アンドリュー・ワーウィック（2003年）のマスターズ・オブ・セオリーで次のように述べられている。 ^[22]

それぞれの 4 次元解は、擬似半径の 4 次元超球面内で反転され、新しい解が生成されます。${\displaystyle K}$

ウォーリックは、この「新しい相対性理論」が、アインシュタインに対するケンブリッジの回答であり、ジェームズ・ホップウッド・ジーンズの教科書『電気と磁気の数学的理論』に見られるような反転法を使った演習に基づいていると強調している。

一般相対性理論では、共形写像は最も単純で、したがって最も一般的なタイプの因果変換です。物理的には、これらは、同じイベントと相互作用がすべて（因果的に）まだ可能であるが、これに影響を与えるために新しい追加の力が必要である（つまり、同じ軌道をすべて複製するには、計量テンソルが異なるため、測地線の動きから逸脱する必要がある）。これは、たとえばビッグバン以前の宇宙の記述を可能にするなど、曲率特異点を超えて拡張しやすいモデルを作成するためによく使用されます。

• 双正則写像
• カラテオドリの定理– 等角写像は境界まで連続的に広がる
• ペンローズ図
• シュワルツ・クリストッフェル写像– 上半平面を単純な多角形の内部に等角変換する
• 特殊線型群– 体積（角度ではなく）と方向を保存する変換

• アルフォース、ラース V. (1973)、共形不変量: 幾何関数理論のトピック、ニューヨーク: McGraw–Hill Book Co.、MR  0357743
• コンスタンティン・カラテオドリ(1932)等角表現、ケンブリッジ数学物理学論文集
• Chanson, H. (2009)、応用流体力学：理想流体と実流体の入門、CRC Press、Taylor & Francis Group、ライデン、オランダ、478ページ、ISBN 978-0-415-49271-3
• チャーチル、ルエル・V.（1974）、複素変数とその応用、ニューヨーク：マグロウヒルブック社、ISBN 978-0-07-010855-4
• EP Dolzhenko (2001) [1994]、「等角写像」、数学百科事典、EMS Press
• ルディン、ウォルター（1987）、実解析と複素解析（第3版）、ニューヨーク：マグロウヒルブック社、ISBN 978-0-07-054234-1、MR  0924157
• Weisstein、Eric W.「等角写像」。MathWorld。

ウィキメディア・コモンズには、等角写像に関連するメディアがあります。

• 多くの等角地図のインタラクティブな視覚化
• Michael Trott による等角マップ、Wolfram Demonstrations Project。
• Gerhard Brunthaler による、磁場がある場合とない場合のさまざまな形状における電流の流れの等角マッピング画像。
• 等角変換: 円から正方形へ。
• オンライン等角地図グラファー。
• Joukowski Transform インタラクティブ Web アプリ