レンズ

レンズは、屈折によって光線を集束または分散させる透過型光学装置です。単純レンズは1 枚の透明材料から構成されますが、複合レンズは複数の単純レンズ (要素) から構成され、通常は共通軸に沿って配置されます。レンズはガラスやプラスチックなどの材料から作られ、必要な形状に研磨または成型されます。レンズは、光を集束させずに屈折させるプリズムとは異なり、光を集束させて像を形成できます。同様に可視光以外の波や放射線を集束または分散させる装置も「レンズ」と呼ばれ、マイクロ波レンズ、電子レンズ、音響レンズ、爆発レンズなどがあります。

レンズは、望遠鏡、双眼鏡、カメラなどのさまざまな画像機器に使用され、近視や遠視などの視力障害を矯正するための眼鏡の視覚補助としても使用されます。

レンズという語は、レンズ豆（レンズマメ科の植物の種子）のラテン語名lēnsに由来しており、両凸レンズがレンズ豆の形をしていることに由来する。レンズ豆は幾何学図形の名前にもなっている。^[a]

一部の学者は、考古学的証拠は、数千年にわたって古代にレンズが広く使用されていたことを示していると主張している。^[1]いわゆるニムルドレンズは、紀元前7世紀の水晶工芸品で、拡大鏡や燃焼ガラスとして使用された可能性がある。^{[2] [3] [4]}他の学者は、特定のエジプトの象形文字 が「単純なガラスのメニスカルレンズ」を描いていると示唆している。^{[5] [検証が必要]}

レンズの使用に関する最古の確実な言及は、アリストパネスの戯曲『雲』（紀元前424年）で燃えるガラスについて言及している。^[6] 大プリニウス（1世紀）は、燃えるガラスがローマ時代に知られていたことを確認している。^{[7]また、プリニウスは}矯正レンズ の使用に関する最古の言及も持っており、ネロがエメラルド（近視を矯正するために凹面だったと思われるが、言及は曖昧）を使って剣闘士の試合を観戦していたと言われていると述べた。 ^[8]プリニウスと小セネカ（紀元前3年-紀元後65年）はどちらも、水を満たしたガラス球の拡大効果について説明している。

プトレマイオス（2世紀）は光学に関する本を著したが、これは不完全で非常に貧弱なアラビア語訳のラテン語訳でしか現存していない。しかし、この本はイスラム世界の中世学者に受け入れられ、イブン・サール（10世紀）によって注釈が付けられ、さらにアルハゼン（光学書、11世紀）によって改良された。プトレマイオスの光学のアラビア語訳は、 12世紀（パレルモのエウゲニウス1154年）にラテン語訳で入手可能になった。11世紀から13世紀の間に「リーディングストーン」が発明された。これは、当初はガラス球を半分に切って作られた原始的な平凸レンズであった。中世（11世紀または12世紀）の水晶ヴィスビーレンズは、燃焼グラスとしての使用を意図していたかどうかは不明である。^[9]

眼鏡は、13世紀後半の北イタリアで中世盛期の「読書石」の改良として発明されました。^[10]これが、13世紀後半にヴェネツィアとフィレンツェで最初に眼鏡レンズを研磨する光学産業の始まりであり、^[11]後にオランダとドイツの眼鏡製造センターでも行われました。^[12] 眼鏡職人は、レンズの効果を観察することで得られた経験的知識に基づいて、視力矯正用のレンズの改良型を作成しました（おそらく当時の基本的な光学理論の知識はありませんでした）。^{[13] [14]}レンズの実用的な開発と実験により、1595年頃に複合光学顕微鏡が、 1608年には屈折望遠鏡が発明され、どちらもオランダの眼鏡製造センターで登場しました。^{[15] [16]}

望遠鏡と顕微鏡の発明により、17世紀から18世紀初頭にかけて、レンズの色収差を修正しようとする人々によってレンズの形状に関する多くの実験が行われました。眼鏡技師は、レンズ表面の球面形状の欠陥から誤差が生じると誤って想定し、さまざまな曲率のレンズを作ろうとしました。^[17]屈折に関する光学理論と実験では、単一要素のレンズですべての色を焦点に合わせることはできないことが示されていました。これが、 1733年にイギ​​リスのチェスター・ムーア・ホールによる複合色消しレンズの発明につながり、同じイギリス人のジョン・ドロンドも1758年の特許でこの発明を主張しました。

大西洋横断貿易の発展は、18 世紀に近代的な灯台を建設するきっかけとなった。灯台は、高い位置からの視線、光源、レンズを組み合わせて海外での航行支援を行うものであった。灯台に必要な視認距離を最大限にするには、従来の凸レンズでは相当な大きさが必要となり、コスト、設計、実装の面で灯台の発展に悪影響を及ぼした。フレネルレンズは、同心円状の環状断面によって材料を少なくすることでこれらの制約を考慮した形で開発された。このレンズが初めて灯台に完全に実装されたのは 1823 年であった。^[18]

ほとんどのレンズは球面レンズです。つまり、その 2 つの表面は球の表面の一部です。各表面は凸面 (レンズから外側に膨らんでいる)、凹面 (レンズにへこんでいる)、または平面(平ら) になります。レンズ表面を構成する球の中心を結ぶ線は、レンズの軸と呼ばれます。通常、レンズ軸はレンズの製造方法により、レンズの物理的な中心を通ります。レンズは製造後に切断または研磨されて、異なる形状やサイズにされる場合があります。その場合、レンズ軸はレンズの物理的な中心を通らない場合があります。

トーリックレンズまたは球面円筒レンズには、2 つの直交平面に 2 つの異なる曲率半径を持つ表面があります。異なる子午線では焦点力が異なります。これが乱視レンズです。例としては、人の目の 乱視を矯正するために使用される眼鏡レンズがあります。

レンズは、2 つの光学面の曲率によって分類されます。レンズは、両方の面が凸面の場合、両凸(または二重凸、あるいは単に凸) です。両方の面の曲率半径が同じ場合、レンズは等凸です。2 つの凹面を持つレンズは、両凹(または単に凹) です。片方の面が平らな場合、レンズはもう一方の面の曲率によって平凸または平凹になります。片側が凸面で片側が凹面であるレンズは、凸凹またはメニスカスです。凸凹レンズは、その形状によっていくつかの収差が最小限に抑えられるため、 矯正レンズで最も一般的に使用されます。

低屈折率媒体内の両凸レンズまたは平凸レンズの場合、レンズを通過する平行光線はレンズの後ろのスポット（焦点）に収束します。この場合、レンズは正レンズまたは収束レンズと呼ばれます。空気中の薄いレンズの場合、レンズからスポットまでの距離がレンズの焦点距離であり、図や方程式では通常fで表されます 。拡張半球面レンズは特殊なタイプの平凸レンズで、レンズの曲面は完全な半球で、レンズは曲率半径よりもはるかに厚くなります。

厚い凸レンズのもう一つの極端な例は、完全に円形のボールレンズです。斬新な写真に使用される場合、これはしばしば「レンズボール」と呼ばれます。ボール型レンズは全方向であるという利点がありますが、ほとんどの光学ガラスの種類では、その焦点はボールの表面近くにあります。レンズのサイズと比較してボールの曲率が極端に大きいため、色収差を除いて、光学収差は薄いレンズよりもはるかに悪くなります。

低屈折率媒体内の両凹レンズまたは平凹レンズの場合、レンズを通過する平行光線は発散（拡散）されるため、このレンズは負レンズまたは発散レンズと呼ばれます。光線はレンズを通過した後、レンズの前の軸上の特定の点から発散しているように見えます。空気中の薄いレンズの場合、この点からレンズまでの距離が焦点距離ですが、収束レンズの焦点距離に対しては負になります。

レンズをレンズの材質よりも屈折率の高い媒体に置くと、動作は逆になります。この場合、両凸レンズまたは平凸レンズは光を発散させ、両凹レンズまたは平凹レンズは光を収束させます。

凸凹（メニスカス）レンズは、2 つの表面の相対的な曲率に応じて、正または負のいずれかになります。負のメニスカスレンズは、凹面が急勾配（凸面より半径が短い）で、中心が周辺より薄くなっています。逆に、正のメニスカスレンズは、凸面が急勾配（凹面より半径が短い）で、中心が周辺より厚くなっています。

2 つの面の曲率が等しい (符号も等しい)理想的な薄いレンズは、光学パワーがゼロになります(レンズメーカーの式に示されているように、焦点距離が無限大になるため)。つまり、光は収束も発散もしません。ただし、実際のレンズはすべて厚さがゼロではないため、曲面が同一の実際のレンズはわずかに正になります。光学パワーを正確にゼロにするには、レンズの厚さの影響を考慮して、メニスカス レンズの曲率がわずかに不均等である必要があります。

円形境界での単一屈折の場合、近軸近似における物体とその像の関係は^{[19] [20]}で与えられる。

$${\displaystyle {\frac {n_{1}}{u}}+{\frac {n_{2}}{v}}={\frac {n_{2}-n_{1}}{R}}}$$

ここで、Rは球面の半径、n ₂は表面の材料の屈折率、n ₁は媒質（球面材料以外の媒質）の屈折率、は軸に垂直な線から表面上の屈折点（高さh）に向かう軸上（光軸上）物体距離、は線からの軸上像距離です。hの線が左側で光軸と交わる球面の頂点に近い近軸近似により、およびも頂点に対する距離と見なされます。 ${\textstyle u}$${\textstyle v}$${\textstyle u}$${\textstyle v}$

右無限大に向かって移動すると、球面の最初の焦点距離、つまり物体焦点距離になります。同様に、左無限大に向かって移動すると、2番目の焦点距離、つまり像焦点距離になります。^[21]${\textstyle v}$${\textstyle f_{0}}$${\textstyle u}$${\displaystyle f_{i}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}f_{0}&={\frac {n_{1}}{n_{2}-n_{1}}}R,\\f_{i}&={\frac {n_{2}}{n_{2}-n_{1}}}R\end{aligned}}}$$

この式をレンズの 2 つの球面に適用し、レンズの厚さをゼロ（つまり薄いレンズ）に近似すると、レンズメーカーの式が得られます。

スネルの法則を球面に適用すると、${\displaystyle n_{1}\sin i=n_{2}\sin r\,.}$

また、図では、小角近似（近軸近似）を使用し、i、r、およびθ を除去すると、 $${\displaystyle {\begin{aligned}\tan(i-\theta )&={\frac {h}{u}}\\\tan(\theta -r)&={\frac {h}{v}}\\\sin \theta &={\frac {h}{R}}\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\frac {n_{2}}{v}}+{\frac {n_{1}}{u}}={\frac {n_{2}-n_{1}}{R}}\,.}$$

球面レンズの空気中または真空中の近軸光線に対する（有効）焦点距離は、レンズメーカーの式から計算できる：^{[22] [23]}${\displaystyle f}$

$${\displaystyle {\frac {1}{\ f\ }}=(n-1)\left[{\frac {1}{\ R_{1}\ }}-{\frac {1}{\ R_{2}\ }}+{\frac {\ (n-1)\ d\ }{n\ R_{1}R_{2}}}\right]\ ,}$$ どこ

• nはレンズ材料の屈折率です。
• R ₁は光源に近いレンズ表面の曲率半径（符号付き、下記参照）です
• R _{2 は}光源から遠いレンズ表面の曲率半径であり、
• dはレンズの厚さ（レンズ軸に沿った2つの表面頂点間の距離）です。

焦点距離fはレンズの主平面に対するものであり、主平面の位置とそれぞれのレンズ頂点に対する位置は次の式で与えられる。ここで、fはそれぞれの頂点に対して正しい場合は正の値となる。^[23]${\textstyle h_{1}}$${\textstyle h_{2}}$

$${\displaystyle h_{1}=-{\frac {f(n-1)d}{R_{2}n}}}$$$${\displaystyle h_{2}=-{\frac {f(n-1)d}{R_{1}n}}}$$

fは収束レンズの場合は正、発散レンズの場合は負です。焦点距離の逆数f ⁻¹はレンズの光学パワーです。焦点距離がメートル単位の場合、光学パワーはディオプター（メートルの逆数）で表されます。

レンズの焦点距離は、光が後ろから前へ進むときも、前から後ろへ進むときも同じです。レンズのその他の特性、例えば収差などは、両方向で同じではありません。

レンズの曲率半径の符号は、対応する面が凸面か凹面かを示します。これを表す符号の慣例はさまざまですが^[要出典]、この記事では、正の R は面の曲率中心が光線の移動方向（添付の図の右側）に沿って進んでいることを示し、負の R は面に到達する光線がすでに曲率中心を通過していることを意味します。したがって、上図のような外部レンズ面では、R ₁ > 0およびR ₂ < 0は凸面（正レンズで光を収束させるために使用される）を示し、 R ₁ < 0およびR ₂ > 0 は凹面を示します。曲率半径の逆数は曲率と呼ばれます。平面の曲率は 0 で、その曲率半径は無限大です。

この規則はこの記事では主に使用されているようですが、異なるレンズ方程式形式を必要とするデカルト符号規則などの別の規則もあります。

dがR ₁およびR ₂に比べて小さい場合、薄レンズ近似を行うことができます。空気中のレンズの場合、fは  次のように表されます^[25]

$${\displaystyle {\frac {1}{\ f\ }}\approx \left(n-1\right)\left[{\frac {1}{\ R_{1}\ }}-{\frac {1}{\ R_{2}\ }}\right]\,.}$$

近軸近似における球面薄レンズ方程式は、右図に関してここで導出される。^[25] 1番目の球面レンズ面（頂点として光軸と交わる）は、軸上の物体点Oを虚像I'に結像し、これは次の式で表すことができる。2番目のレンズ面による結像については、上記の符号規則を採用し、これら2つの式を足すと、 となる。薄レンズ近似では、RHS（右側）の第2項がなくなるため、 ${\textstyle V_{1}}$$${\displaystyle {\frac {n_{1}}{u}}+{\frac {n_{2}}{v'}}={\frac {n_{2}-n_{1}}{R_{1}}}.}$$${\textstyle u'=-v'+d}$$${\displaystyle {\frac {n_{2}}{-v'+d}}+{\frac {n_{1}}{v}}={\frac {n_{1}-n_{2}}{R_{2}}}.}$$$${\displaystyle {\frac {n_{1}}{u}}+{\frac {n_{1}}{v}}=(n_{2}-n_{1})({\frac {1}{R_{1}}}-{\frac {1}{R_{2}}})+{\frac {n_{2}d}{(v'-d)v'}}.}$$${\displaystyle d\rightarrow 0}$

$${\displaystyle {\frac {n_{1}}{u}}+{\frac {n_{1}}{v}}=(n_{2}-n_{1})({\frac {1}{R_{1}}}-{\frac {1}{R_{2}}}).}$$

薄レンズの焦点距離は、 ${\displaystyle f}$${\displaystyle u\rightarrow -\infty }$

$${\displaystyle {\frac {n_{1}}{f}}=(n_{2}-n_{1})({\frac {1}{R_{1}}}-{\frac {1}{R_{2}}})\rightarrow {\frac {1}{f}}=({\frac {n_{2}}{n_{1}}}-1)({\frac {1}{R_{1}}}-{\frac {1}{R_{2}}}).}$$

つまり、ガウスの薄レンズ方程式は

$${\displaystyle {\frac {1}{u}}+{\frac {1}{v}}={\frac {1}{f}}.}$$

空気中または真空中の薄いレンズの場合、次のように 仮定できる。${\textstyle n_{1}=1}$${\textstyle f}$

$${\displaystyle {\frac {1}{f}}=(n-1)({\frac {1}{R_{1}}}-{\frac {1}{R_{2}}})}$$

ここで、 2 の下付き文字は省略されます。 ${\textstyle n_{2}}$

前述のように、空気中の正レンズまたは収束レンズは、レンズ軸に沿って進む平行ビームを、レンズから距離fにあるスポット (焦点) に集めます。逆に、焦点に置かれた点光源は、レンズによって平行ビームに変換されます。これら 2 つのケースは、レンズによる像形成の例です。前者の場合、無限遠にある物体 (平行波ビームで表される) は、レンズの焦点に像を結びます。後者の場合、レンズから焦点距離の距離にある物体は、無限遠に結像します。レンズから距離fにある、レンズ軸に垂直な平面は、焦点面と呼ばれます。

近軸光線の場合、物体から球面薄レンズ（厚さが無視できるレンズ）までの距離をS ₁、レンズから像までの距離をS ₂とすると、その距離は（ガウス）薄レンズの公式で表されます：^{[26] [27] [28]}

$${\displaystyle {1 \over f}={1 \over S_{1}}+{1 \over S_{2}}\,.}$$

右の図は、3 つの光線を使用して物体点の像を見つける方法を示しています。最初の光線はレンズに平行に入射し、レンズの 2 番目の焦点に向かって屈折し、2 番目の光線はレンズの光学中心を横切り(方向は変わりません)、3 番目の光線は最初の焦点に向かって屈折し、光軸と平行な方向に屈折します。これは、簡単に使用できる単純な光線追跡法です。3 つの光線のうち 2 つがあれば、像点の位置を特定できます。物体を光軸に沿って動かすと、2 番目の光線が像のサイズを決定し、他の光線が像の位置を特定するのに役立つことがわかります。

レンズ方程式は「ニュートン」形式にすることもできる：^[24]

$${\displaystyle f^{2}=x_{1}x_{2}\,,}$$

ここで、 と は、前方焦点 の左側にある場合は正であり、後方焦点 の右側にある場合は正です。は正であるため、物体点とレンズによって作られた対応する結像点は、それぞれの焦点に関して常に反対側にあります。 （と は正または負のいずれかです。） ${\displaystyle x_{1}=S_{1}-f}$${\displaystyle x_{2}=S_{2}-f\,.}$ ${\textstyle x_{1}}$${\textstyle F_{1}}$${\textstyle x_{2}}$${\textstyle F_{2}}$${\textstyle f^{2}}$${\textstyle x_{1}}$${\textstyle x_{2}}$

このニュートン形式のレンズ方程式は、右図の三角形P ₁ P _O1 F ₁とL ₃ L ₂ F ₁の相似性と、三角形L ₁ L ₂ F ₂とP ₂ P ₀₂ F ₂の相似性を利用して導くことができます。相似性から次の式が得られ、これらの結果を組み合わせるとニュートン形式のレンズ方程式が得られます。

$${\displaystyle {\begin{array}{lcr}{\frac {y_{1}}{x_{1}}}={\frac {\left\vert y_{2}\right\vert }{f}}\\{\frac {y_{1}}{f}}={\frac {\left\vert y_{2}\right\vert }{x_{2}}}\end{array}}}$$

上記の式は、厚いレンズ（複数のレンズ要素で作られた複合レンズを含む）についても、空気中または真空中（屈折率を1として扱うことができる）で、、、がレンズの主平面（この場合、有効焦点距離）に対するものである場合に成立する。^[23]距離S1またはS2_が空気または真空以外の媒体を通過する場合は_、より複雑な分析が必要となる。 ${\textstyle S_{1}}$${\textstyle S_{2}}$${\textstyle f}$${\textstyle f}$

物体が焦点距離fの正レンズから距離S ₁ > fに置かれた場合、この式に従って距離S ₂に像が見つかります。スクリーンがレンズの反対側の距離S ₂に置かれた場合、その上に像が形成されます。スクリーンまたはイメージセンサーに投影できるこの種の像は、実像として知られています。これがカメラの原理であり、網膜がイメージセンサーとして機能する人間の目の原理でもあります。

カメラの焦点調整ではS _{2 を}調整します。この式で必要な距離とは異なる画像距離を使用すると、カメラからS ₁の距離にあるオブジェクトの焦点がぼけた(不鮮明な) 画像が生成されます。言い換えると、S _{2 を}変更すると、異なるS ₁にあるオブジェクトに完全に焦点が合うようになります。

場合によっては、S ₂が負になり、その光線が考慮されているレンズの反対側に画像が形成されることを示します。レンズから発せられる発散光線は決して焦点を合わせず、それらの光線は画像を形成するように見える点に物理的に存在しないため、これは虚像と呼ばれます。実像とは異なり、虚像はスクリーンに投影することはできませんが、レンズを通して見る観察者には、その虚像の位置にある実際の物体であるように見えます。同様に、後続のレンズにはその場所にある物体であるように見えるため、2 番目のレンズは再びその光を実像に焦点を合わせることができ、S _{1 は}最初のレンズの後ろの虚像の位置から 2 番目のレンズまで測定されます。これは、虫眼鏡を通して見るときに目が行うこととまったく同じです。虫眼鏡は虫眼鏡の後ろに (拡大された) 虚像を作成しますが、それらの光線は目のレンズによって再画像化され、網膜上に実像を作成します。

焦点距離fの正レンズを使用すると、 S ₁ < fのときに虚像が生じ、レンズは拡大鏡として使用されます（カメラの場合のようにS ₁ ≫ fの場合とは異なります）。負レンズ（ f < 0 ）を実物体（S ₁ > 0 ）で使用すると、上記の式に従って虚像（S ₂ < 0 ）しか生成されません。物体距離S ₁が負になることも可能で、その場合レンズはいわゆる仮想物体を捉えます。これは、レンズが実像の位置の前に収束ビーム（前のレンズによって焦点が合わせられている）に挿入されたときに発生します。その場合、負レンズでもバローレンズのように実像を投影できます。

焦点距離fのレンズの場合、物体と実像の最短距離は 4 f ( S ₁ = S ₂ = 2 f ) です。これは、 L = S ₁ + S ₂とし、レンズ方程式でS _2をS ₁で表し(またはS _{1 を}S ₂で表し)、 S ₁ (またはS ₂ )に関するLの導関数を 0 とすることで得られます。( L には増加の制限がないため、その極値はLの導関数が 0 になる最小値のみであることに注意してください。)

単一レンズを用いた結像システムの 線形倍率は次のように表される。

$${\displaystyle M=-{\frac {S_{2}}{S_{1}}}={\frac {f}{f-S_{1}}}\ =-{\frac {f}{x_{1}}}}$$

ここで、M は、物体のサイズと比較した像のサイズの比率として定義される拡大係数です。ここでの符号規則では、実像の場合のようにMが負の場合、像は物体に対して上下逆になります。虚像の場合、Mは正なので、像は正立になります。

この拡大式は、収束レンズ ( f > 0 ) と発散レンズ ( f < 0 ) を区別する 2 つの簡単な方法を提供します。物体がレンズに非常に近い場合 ( 0 < S ₁ < | f | )、収束レンズは拡大された (大きい) 虚像を形成しますが、発散レンズは縮小された (小さい) 像を形成します。物体がレンズから非常に遠い場合 ( S ₁ > | f | > 0 )、収束レンズは倒立像を形成しますが、発散レンズは正立像を形成します。

線形倍率M は、必ずしも拡大力の最も有用な尺度ではありません。たとえば、虚像のみを生成する望遠鏡や双眼鏡を特徴付ける場合、角倍率の方が重要になります。角倍率は、望遠鏡を通して遠くの物体が裸眼と比べてどれだけ大きく見えるかを表します。カメラの場合は、プレート スケールを使用します。これは、遠くの物体の見かけの (角) サイズと焦点で生成される実像のサイズを比較します。プレート スケールは、カメラ レンズの焦点距離の逆数です。レンズは、焦点距離に応じて長焦点レンズまたは広角レンズに分類されます。

不適切な倍率測定は形式的には正しいものの、意味のない数値をもたらす可能性があります。例えば、焦点距離5cm 、保持目から20cm離れた物体から5cm離れたところに、無限遠に無限大の線形サイズの虚像M = ∞を生成します。しかし、角倍率は5であり、物体はレンズなしの5倍の大きさで目に見えます。50mmレンズでは、線形倍率M≈は考慮されない。−50 mm /380,000  km =​−1.3 × 10 ⁻¹⁰。むしろ、カメラのプレートスケールは約1°/mm、そこから、フィルム上の0.5 mm の画像は、地球から見た月の角度サイズ約 0.5° に相当します。

物体が無限遠にある極端な場合、S ₁ = ∞、S ₂ = f、M = − f /∞ = 0となり、物体は焦点面の 1 点に結像されます。実際には、回折によって点像関数のサイズに下限が設けられるため、投影されたスポットの直径は実際にはゼロではありません。これを回折限界と呼びます。

レンズは完璧な像を形成することはなく、常にある程度の歪みや収差を生じ、像は物体の不完全な複製になります。特定の用途に合わせてレンズ システムを慎重に設計すると、収差を最小限に抑えることができます。球面収差、コマ収差、色収差など、いくつかの種類の収差が像の品質に影響します。

球面収差は、球面がレンズの理想的な形状ではないために発生しますが、ガラスを研磨できる最も単純な形状であるため、よく使用されます。球面収差により、レンズ軸と平行だがレンズ軸から離れたビームは、軸に近いビームとはわずかに異なる場所に焦点が合わせられます。これは、画像のぼやけとして現れます。球面収差は、特定の用途に合わせて表面の曲率を慎重に選択することで、通常のレンズ形状で最小限に抑えることができます。たとえば、平行ビームを焦点に合わせるために使用される平凸レンズは、凸側をビーム源に向けて使用すると、より鮮明な焦点を生成します。

コマ収差、またはコマ収差は、収差のある像が彗星のように見えることからその名前が付けられています。コマ収差は、レンズの光軸から外れた物体が像を結んだときに発生します。この場合、光線は軸θに対して角度をなしてレンズを通過します。焦点距離fのレンズの中心を通過する光線は、軸から距離f tan θ の点で焦点を結びます。レンズの外側の縁を通過する光線は、軸から遠い点 (正のコマ収差) または軸に近い点 (負のコマ収差) のいずれかで焦点を結びます。一般に、レンズの中心から一定の距離でレンズを通過する平行光線の束は、焦点面のリング状の像、つまりコマ円に焦点を結びます。これらの円をすべて足すと、V 字型または彗星のようなフレアになります。球面収差と同様に、コマ収差は、2 つのレンズ表面の曲率を用途に合わせて選択することで最小限に抑える (場合によっては排除する) ことができます。球面収差とコマ収差の両方が最小限に抑えられたレンズはベストフォームレンズと呼ばれます。

色収差は、レンズ材料の分散、つまり光の波長による屈折率nの変化によって生じます。上記の式から、f はnに依存するため、異なる波長の光は異なる位置に焦点が合わせられます。レンズの色収差は、画像の周囲に色の縞として現れます。色収差は、分散の異なる 2 つの材料を結合して 1 つのレンズを形成するアクロマート ダブレット(またはアクロマート) を使用することで最小限に抑えることができます。これにより、特定の波長範囲で色収差の量が減少しますが、完全な補正にはなりません。アクロマートの使用は、光学顕微鏡の開発における重要なステップでした。アポクロマートは、球面収差補正が改善されたレンズまたはレンズ システムです。アポクロマートはアクロマートよりもはるかに高価です。

色収差を最小限に抑えるために、特殊なコーティングや蛍石結晶から作られたレンズなど、さまざまなレンズ材料が使用されることもあります。この天然物質は、知られている中で最も高いアッベ数を持ち、材料の分散が低いことを示しています。

その他の種類の収差には、像面湾曲、樽型 歪曲収差、糸巻き型歪曲収差、非点収差などがあります。

レンズが上記の収差を最小限に抑えるか排除するように設計されている場合でも、画質はレンズの有限の開口部を通過する光の回折によって制限されます。回折限界レンズとは、設計条件下で画質が主に回折によって制限される程度まで収差が低減されたレンズのことです。

単純レンズは、上で説明した光学収差の影響を受けます。多くの場合、これらの収差は、相補的な収差を持つ単純レンズの組み合わせを使用することで、大幅に補正できます。複合レンズは、異なる形状で異なる屈折率の材料で作られた単純レンズの集合であり、共通の軸に沿って次々に配置されています。

複数レンズシステムでは、各レンズは前のレンズの像を物体として扱い、その新しい像を生成するため、レンズを通して画像がカスケードされる。これは、1つのレンズからの画像が次のレンズの前焦点より前にある場合には理解しやすいが、中間画像が次のレンズの焦点距離内またはそれを超えて位置している場合でも当てはまる。^{[30] [31]}

2枚のレンズからなるシステムでは、各レンズの物体距離は および 、像距離は および および と表すことができます。レンズが薄い場合、各レンズは薄いレンズの公式を満たします。 ${\textstyle s_{o1}}$${\textstyle s_{o2}}$${\textstyle s_{i1}}$${\textstyle s_{i2}}$

$${\displaystyle {\frac {1}{f_{j}}}={\frac {1}{s_{oj}}}+{\frac {1}{s_{ij}}},}$$

2 つのレンズ間の距離が である場合、 となります。(2 番目のレンズは 1 番目のレンズの像を結像します。) ${\displaystyle d}$${\textstyle s_{o2}=d-s_{i1}}$

FFD（前焦点距離）は、光学系の前（左）焦点とそれに最も近い光学面頂点との間の距離として定義される。^[32]物体がシステムの前焦点に位置している場合、システムによって作られるその像は右端の無限遠に位置する（すなわち、物体からの光線はシステムの後で平行になる）。これを行うには、第1レンズの像が第2レンズの焦点に位置する、すなわち、である。したがって、第1レンズの薄レンズの式は次のようになる^[33]。${\displaystyle s_{i1}=d-f_{2}}$

$${\displaystyle {\frac {1}{f_{1}}}={\frac {1}{FFD}}+{\frac {1}{d-f_{2}}}\rightarrow FFD={\frac {f_{1}(d-f_{2})}{d-(f_{1}+f_{2})}}.}$$

BFD (バック焦点距離) は、同様に、光学系の後ろ (右) 焦点とそれに最も近い光学面頂点の間の距離として定義されます。物体がシステムから無限遠 (左) にある場合、システムによって作成されるその像は後ろの焦点にあります。この場合、1 番目のレンズは焦点で物体を結像します。したがって、2 番目のレンズの薄レンズの式は次のようになります。

$${\displaystyle {\frac {1}{f_{2}}}={\frac {1}{BFD}}+{\frac {1}{d-f_{1}}}\rightarrow BFD={\frac {f_{2}(d-f_{1})}{d-(f_{1}+f_{2})}}.}$$

最も単純なケースは、薄いレンズが接触している（ ）場合である。この場合、レンズの 合成焦点距離fは次のように与えられる。${\displaystyle d=0}$

$${\displaystyle {\frac {1}{f}}={\frac {1}{f_{1}}}+{\frac {1}{f_{2}}}\,.}$$

1/ f は焦点距離fのレンズのパワーなので、接触している薄いレンズのパワーは加算されることがわかります。接触している複数の薄いレンズの一般的なケースは、

$${\displaystyle {\frac {1}{f}}=\sum _{k=1}^{N}{\frac {1}{f_{k}}}}$$

レンズの数は どこにありますか。${\textstyle N}$

2枚の薄いレンズが空気中で距離dだけ離れている場合、複合システムの焦点距離は次のように表される。 $${\displaystyle {\frac {1}{f}}={\frac {1}{f_{1}}}+{\frac {1}{f_{2}}}-{\frac {d}{f_{1}f_{2}}}\,.}$$

dがゼロに近づくにつれて、システムの焦点距離は接触している薄いレンズに対して与えられたfの値に近づきます。 dを主面間の距離とすると、厚いレンズにも同じ式が当てはまることがわかります。 ^[23]

2 つのレンズ間の距離が焦点距離の合計 ( d = f ₁ + f ₂ ) に等しい場合、FFD と BFD は無限大になります。これは、平行 (コリメート) ビームを別のコリメート ビームに変換するレンズのペアに対応します。このタイプのシステムは、ビームの純収束または発散を生成しないため、アフォーカル システムと呼ばれます。この距離にある 2 つのレンズは、最も単純なタイプの光学望遠鏡を形成します。このシステムはコリメート ビームの発散を変更しませんが、ビームの (横方向の) 幅を変更します。このような望遠鏡の倍率は、次のように表されます。

$${\displaystyle M=-{\frac {f_{2}}{f_{1}}}\,,}$$

これは、出力ビームの幅と入力ビームの幅の比です。符号規則に注意してください。2 つの凸レンズ ( f ₁ > 0、f ₂ > 0 ) を備えた望遠鏡は、負の倍率を生成し、倒立した画像を示します。凸レンズと凹レンズ ​​( f ₁ > 0 > f ₂ ) は正の倍率を生成し、画像は正立します。単純な光学望遠鏡の詳細については、「屈折望遠鏡」の「§ 屈折望遠鏡の設計」を参照してください。

シリンドリカルレンズは、 1 つの軸に沿ってのみ曲率を持ちます。光を線状に集束したり、レーザー ダイオードからの楕円形の光を円形のビームに変換したりするために使用されます。また、映画のアナモルフィック レンズにも使用されます。

非球面レンズには、球面でも円筒面でもない表面が少なくとも 1 つあります。形状が複雑なため、このようなレンズは標準的な単純なレンズよりも収差の少ない画像を形成できますが、製造が難しく、コストもかかります。以前は製造が複雑で、非常に高価になることが多かったのですが、技術の進歩により、このようなレンズの製造コストは大幅に削減されました。

フレネルレンズは光学面が狭いリングに分割されており、従来のレンズよりもはるかに薄くて軽いレンズを実現しています。耐久性のあるフレネル レンズはプラスチックから成形でき、安価です。

レンチキュラーレンズは、レンチキュラー印刷で使用されるマイクロレンズの配列で、奥行きがあるように見せたり、さまざまな角度から見たときに変化する画像を作成したりします。

二重焦点レンズには、2 つ以上の、または段階的な焦点距離がレンズに組み込まれています。

勾配屈折率レンズは光学面が平らですが、屈折率が半径方向または軸方向に変化するため、レンズを通過する光が焦点を合わせられます。

アキシコンは円錐状の光学面を持ち、点光源を光軸に沿った線に結像したり、レーザービームをリングに変換したりします。^[34]

回折光学素子はレンズとして機能します。

スーパーレンズは負の屈折率を持つメタマテリアルから作られており、回折限界を超える空間解像度で画像を生成すると主張している。^[35]最初のスーパーレンズは、マイクロ波用のメタマテリアルを使用して2004年に作られた。 ^[35]改良版は他の研究者によって作られている。^{[36] [37]} 2014年現在、スーパーレンズは可視光または近赤外線の^[update]波長ではまだ実証されていない。^[38]

曲率の​​ない平面超薄型レンズのプロトタイプが開発されました。^[39]

ハンドルまたはスタンド付きのフレームに取り付けられた単一の凸レンズは、拡大鏡です。

レンズは、近視、遠視、老眼、乱視などの屈折異常を矯正するための補綴物として使用されます。(矯正レンズ、コンタクトレンズ、眼鏡、眼内レンズを参照)。他の目的で使用されるレンズのほとんどは厳密な軸対称性を備えていますが、眼鏡レンズはほぼ対称です。眼鏡レンズは通常、円形ではなくほぼ楕円形のフレームに収まるように形作られ、光学中心は眼球の上に配置されます。乱視を矯正するため、レンズの曲率は軸対称ではない場合があります。サングラスのレンズは光を減衰するように設計されており、視力障害も矯正するサングラスのレンズをカスタムメイドで作成できます。

その他の用途としては、単眼鏡、双眼鏡、望遠鏡、顕微鏡、カメラ、プロジェクターなどの画像システムがあります。これらの機器の中には、人間の目に当てると虚像を生成するものもあれば、写真フィルムや光学センサーに捉えたり、スクリーンで見たりできる実像を生成するものもあります。これらの機器では、レンズを曲面ミラーと組み合わせて、レンズの球面収差がミラーの反対の収差を補正するカタディオプトリックシステム（シュミット補正器やメニスカス補正器など）を構成することがあります。

凸レンズは焦点に無限遠にある物体の像を映し出す。太陽を映し出すと、レンズに入射する可視光線と赤外線の多くが小さな像に集中する。大きなレンズは焦点にある可燃物を燃やすのに十分な強度を生み出す。粗悪なレンズでも発火させることができるため、レンズは少なくとも2400年にわたって燃焼グラスとして使われてきた。 ^[6]現代の応用としては、比較的大きなレンズを使用して比較的小さな太陽電池に太陽エネルギーを集中させ、より大きくて高価なセルを使用せずにより多くのエネルギーを収穫することが挙げられます。

電波天文学やレーダーシステムでは、電磁放射をコレクター アンテナに 屈折させるために、一般にレンズアンテナと呼ばれる誘電体レンズがよく使用されます。

レンズは傷がつき、摩耗することがあります。これを防ぐために耐摩耗コーティングが利用できます。 ^[40]

• ヘクト、ユージン(1987)。光学（第 2 版）。アディソン ウェスレー。ISBN 978-0-201-11609-0。第5章と第6章。
• ヘクト、ユージン (2002)。光学（第 4 版）。アディソン ウェスレー。ISBN 978-0-321-18878-6。
• Greivenkamp, John E. (2004).幾何光学フィールドガイド. SPIE フィールドガイド vol. FG01 . SPIE. ISBN 978-0-8194-5294-8。

• 屈折とレンズに関するオンライン教科書の章 2009年12月17日アーカイブ、Wayback Machine
• 薄型球面レンズは、2020 年 3 月 13 日にWayback Machineにアーカイブされました(.pdf)。Project PHYSNET にアーカイブされました。2017 年 5 月 14 日にWayback Machineにアーカイブされました。
• digitalartform.com の Lens の記事
• 古代エジプトのレンズに関する記事 2022年5月25日アーカイブウェイバックマシン
• 凸レンズを通した電磁波伝搬の FDTD アニメーション (オン軸とオフ軸) YouTubeのビデオ
• 古典世界における拡大レンズの使用 2017年11月13日アーカイブウェイバックマシン
• ヘンカー、オットー (1911)。「レンズ」 。ブリタニカ百科事典。第 16 巻 (第 11 版)。pp. 421–427。（図表21枚付き）

• シミュレーションによる学習 2010年1月21日アーカイブ-凹レンズと凸レンズ
• OpticalRayTracer 2010 年 10 月 6 日にWayback Machineにアーカイブ– オープンソースのレンズ シミュレーター (ダウンロード可能な Java)
• レンズのデモアニメーション 2012年4月4日アーカイブ、Wayback Machineより QED