楕円

楕円体とは、方向スケーリング、より一般的にはアフィン変換によって球面を変形することで得られる表面です。

楕円体は、2 次曲面、つまり3 つの変数を持つ 2 次多項式の零点集合として定義できる曲面です。2 次曲面のうち、楕円体は次の 2 つの特性のいずれかによって特徴付けられます。すべての平面断面は、楕円形、空、または 1 つの点に縮小されます (これが「楕円のような」という意味の名前の由来です)。楕円体は境界があり、十分に大きな球体で囲むことができます。

楕円体には、対称中心 (楕円体の中心)で交差する3 つの直交する対称 軸があります。楕円体によって対称軸上に区切られる線分は、主軸 (主軸) または単に楕円体の軸と呼ばれます。3 つの軸の長さが異なる場合、その図形は 3 軸楕円体(まれに不等辺楕円体)であり、軸は一意に定義されます。

2 つの軸の長さが同じであれば、楕円体は回転楕円体、つまり回転楕円体です。この場合、楕円体は3 番目の軸の周りの回転に対して不変であり、したがって、同じ長さの 2 つの直交軸を選択する方法は無限にあります。3 番目の軸が短い場合、楕円体は扁平回転楕円体であり、長い場合は長楕円体です。3 つの軸の長さが同じであれば、楕円体は球体です。

一般楕円体（三軸楕円体とも呼ばれる）は、直交座標で次のように定義される二次曲面です。

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2} {c^{2}}}=1,}$

ここで、、およびは半軸の長さです。 ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$

点、およびは表面上にあります。原点からこれらの点までの線分は、楕円体の主半軸と呼ばれます。これは、 a、b、c が主軸の半分の長さであるためです。これらは、楕円の長軸と短軸に対応します。 ${\displaystyle (a,0,0)}$${\displaystyle (0,b,0)}$${\displaystyle (0,0,c)}$

の球面座標系では、一般楕円体は次のように定義されます。 ${\displaystyle (x,y,z)=(r\sin \theta \cos \varphi ,r\sin \theta \sin \varphi ,r\cos \theta )}$

${\displaystyle {r^{2}\sin ^{2}\theta \cos ^{2}\varphi \over a^{2}}+{r^{2}\sin ^{2}\theta \sin ^{2}\varphi \over b^{2}}+{r^{2}\cos ^{2}\theta \over c^{2}}=1,}$

ここでは極角、 は方位角です。 ${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \varphi }$

のとき、楕円体は球体です。 ${\displaystyle a=b=c}$

のとき、楕円体は回転楕円体または回転楕円体です。特に、 のときは扁平回転楕円体であり、 のときは長楕円体です。 ${\displaystyle a=b\neq c}$${\displaystyle a=b>c}$${\displaystyle a=b<c}$

楕円体はいくつかの方法でパラメータ化できますが、楕円体軸が座標軸と一致すると表現が簡単になります。一般的な選択肢は

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\sin(\theta )\cos(\varphi ),\\y&=b\sin(\theta )\sin(\varphi ),\\z&=c\cos(\theta ),\end{aligned}}\,\!}$

どこ

${\displaystyle 0\leq \theta \leq \pi ,\qquad 0\leq \varphi <2\pi .}$

これらのパラメータは球面座標として解釈することができ、θは極角、φは楕円体の点（x、y、z）の方位角である。^[1]

極ではなく赤道から測ると、

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\cos(\theta )\cos(\lambda ),\\y&=b\cos(\theta )\sin(\lambda ),\\z&=c\sin(\theta ),\end{aligned}}\,\!}$

どこ

${\displaystyle -{\tfrac {\pi }{2}}\leq \theta \leq {\tfrac {\pi }{2}},\qquad 0\leq \lambda <2\pi ,}$

θは、換算緯度、パラメトリック緯度、または偏心異常であり、λ は方位角または経度です。

外接球面ではなく楕円体の表面に対して直接角度を測定すると、

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=R{\begin{bmatrix}\cos(\gamma )\cos(\lambda )\\\cos(\gamma )\sin(\lambda )\\\sin(\gamma )\end{bmatrix}}\,\!}$

どこ

${\displaystyle {\begin{aligned}R={}&{\frac {abc}{\sqrt {c^{2}\left(b^{2}\cos ^{2}\lambda +a^{2}\sin ^{2}\lambda \right)\cos ^{2}\gamma +a^{2}b^{2}\sin ^{2}\gamma }}},\\[3pt]&-{\tfrac {\pi }{2}}\leq \gamma \leq {\tfrac {\pi }{2}},\qquad 0\leq \lambda <2\pi .\end{aligned}}}$

γ は地球上の地心緯度、 λは経度です。これらは楕円体の中心を原点とする真の球面座標です。^[要出典]

測地学では、測地緯度は、二軸楕円体に対して定義される、垂直面と赤道面の間の角度として最も一般的に使用されます。より一般的な三軸楕円体については、楕円体緯度を参照してください。

楕円体で囲まれた 体積は

${\displaystyle V={\tfrac {4}{3}}\pi abc.}$

主直径 A、B、C（A = 2 a、B = 2 b、C = 2 c ）に関して、体積は

${\displaystyle V={\tfrac {1}{6}}\pi ABC}$。

この式は、3 つの楕円の半径がすべて等しい場合は球の体積の式に簡略化され、そのうち 2 つが等しい場合は 扁平または長楕円体の体積の式に簡略化されます。

楕円体の体積は⁠2/3⁠外接 楕円柱の体積、および⁠π/6⁠外接ボックスの体積。内接ボックスと外接ボックスの体積はそれぞれ次のようになります。

${\displaystyle V_{\text{inscribed}}={\frac {8}{3{\sqrt {3}}}}abc,\qquad V_{\text{circumscribed}}=8abc.}$

一般的な（三軸）楕円体の表面積は[ 2 ^]

${\displaystyle S=2\pi c^{2}+{\frac {2\pi ab}{\sin(\varphi )}}\left(E(\varphi ,k)\,\sin ^{2}(\varphi )+F(\varphi ,k)\,\cos ^{2}(\varphi )\right),}$

どこ

${\displaystyle \cos(\varphi )={\frac {c}{a}},\qquad k^{2}={\frac {a^{2}\left(b^{2}-c^{2}\right)}{b^{2}\left(a^{2}-c^{2}\right)}},\qquad a\geq b\geq c,}$

ここでF ( φ , k )とE ( φ , k )はそれぞれ第一種と第二種の不完全楕円積分である。 ^[3]

この一般的な楕円体の表面積は、楕円積分のカールソン対称形式の一つである⁠ ⁠${\displaystyle R_{G}}$で表すこともできる: ^[4]

${\displaystyle S=4\pi bcR_{G}{\left({\frac {b^{2}}{a^{2}}},{\frac {c^{2}}{a^{2}}},1\right)}}$

上記の式をR _Gの性質を使って簡略化すると、^[5]楕円体Vの体積で表すこともできます。

${\displaystyle S=3VR_{G}{\left(a^{-2},b^{-2},c^{-2}\right)}}$

F ( φ , k )およびE ( φ , k )の表現とは異なり、 R _Gに関する方程式は、a、b、およびcの順序の選択に依存しません。

回転楕円体（または球体）の表面積は、基本関数で表すことができます。

${\displaystyle S_{\text{oblate}}=2\pi a^{2}\left(1+{\frac {c^{2}}{ea^{2}}}\operatorname {artanh} e\right),\qquad {\text{where }}e^{2}=1-{\frac {c^{2}}{a^{2}}}{\text{ and }}(c<a),}$

または

${\displaystyle S_{\text{oblate}}=2\pi a^{2}\left(1+{\frac {1-e^{2}}{e}}\operatorname {artanh} e\right)}$

または

${\displaystyle S_{\text{oblate}}=2\pi a^{2}\ +{\frac {\pi c^{2}}{e}}\ln {\frac {1+e}{1-e}}}$

そして

${\displaystyle S_{\text{prolate}}=2\pi a^{2}\left(1+{\frac {c}{ae}}\arcsin e\right)\qquad {\text{where }}e^{2}=1-{\frac {a^{2}}{c^{2}}}{\text{ and }}(c>a),}$

これらは、基本的な三角関数の恒等式からわかるように、同値な表現である（すなわち、扁平楕円の公式は長楕円体の表面積を計算するのに使用でき、その逆も同様である）。どちらの場合も、e は対称軸を通る断面によって形成される楕円の離心率として_再び識別される。（楕円を参照）。これらの結果の導出は、 Mathworldなどの標準的な情報源で見つけることができます。^[6]

${\displaystyle S\approx 4\pi {\sqrt[{p}]{\frac {a^{p}b^{p}+a^{p}c^{p}+b^{p}c^{p}}{3}}}.\,\!}$

ここでp ≈ 1.6075は最大1.061%の相対誤差をもたらす。^[7] pの値は= ⁠8/5⁠ = 1.6 は、ほぼ球形の楕円体の場合に最適で、相対誤差は最大 1.178% です。

cがaやbよりもはるかに小さい「平坦な」極限では、面積はおよそ2π abとなり、 p = log ₂ 3 ≈ 1.5849625007に相当します。

平面と球の交点は円（または一点に縮小されるか、空）である。任意の楕円体は、何らかのアフィン変換による単位球の像であり、任意の平面は、同じ変換による別の平面の像である。したがって、アフィン変換は円を楕円にマッピングするため、平面と楕円体の交点は楕円または一点、または空である。^{[8]明らかに、回転楕円体には円が含まれている。これは三軸楕円体にも当てはまるが、それほど明白ではない（} 「円」のセクションを参照）。

与えられたもの:楕円体⁠× ²/2^つ⁠ + ⁠²年/b2 ^...⁠ + ⁠²番目/^{2 2}ページ⁠ = 1と、方程式n _x x + n _y y + n _z z = dを持つ平面は、楕円を共有しています。

求めているのは、楕円が次のパラメトリック方程式で表せるような 3つのベクトルf ₀（中心）とf ₁、f _{2 （共役ベクトル）である。}

${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {f} _{0}+\mathbf {f} _{1}\cos t+\mathbf {f} _{2}\sin t}$

(楕円を参照)。

解答:スケーリングu = ⁠x/1つの⁠、v = ⁠ええ/b⁠、w = ⁠ず/ｃ⁠楕円体を単位球面u ² + v ² + w ² = 1に変換し、与えられた平面を次の式で平面に変換し

${\displaystyle \ n_{x}au+n_{y}bv+n_{z}cw=d.}$

m _u u + m _v v + m _w w = δ を新しい平面の ヘッセ正規形とし、

${\displaystyle \;\mathbf {m} ={\begin{bmatrix}m_{u}\\m_{v}\\m_{w}\end{bmatrix}}\;}$

その単位法線ベクトル。したがって

${\displaystyle \mathbf {e} _{0}=\delta \mathbf {m} \;}$

交差円の 中心であり 、

${\displaystyle \;\rho ={\sqrt {1-\delta ^{2}}}\;}$

その半径（図を参照）。

m _w = ±1（つまり平面が水平） のとき、

${\displaystyle \ \mathbf {e} _{1}={\begin{bmatrix}\rho \\0\\0\end{bmatrix}},\qquad \mathbf {e} _{2}={\begin{bmatrix}0\\\rho \\0\end{bmatrix}}.}$

m _w ≠ ±1の場合、

${\displaystyle \mathbf {e} _{1}={\frac {\rho }{\sqrt {m_{u}^{2}+m_{v}^{2}}}}\,{\begin{bmatrix}m_{v}\\-m_{u}\\0\end{bmatrix}}\,,\qquad \mathbf {e} _{2}=\mathbf {m} \times \mathbf {e} _{1}\ .}$

いずれの場合も、ベクトルe ₁、e ₂は交差平面に直交し、長さρ (円の半径) を持ちます。したがって、交差円は、次のパラメトリック方程式で記述できます。

${\displaystyle \;\mathbf {u} =\mathbf {e} _{0}+\mathbf {e} _{1}\cos t+\mathbf {e} _{2}\sin t\;.}$

逆スケーリング（上記参照）により、単位球が楕円体に戻され、ベクトルe ₀、e ₁、e _{2 が、交差楕円のパラメトリック表現に必要なベクトル}f ₀、f ₁、f ₂にマッピングされます。

楕円の頂点と半軸を見つける方法については、楕円で説明されています。

例:図は、半軸a = 4、b = 5、c = 3を持ち、平面x + y + z = 5で切断された楕円体を示しています。

ピンと紐を使った楕円体の構築は、2 本のピンと紐を使用して楕円を構築するというアイデアを転用したものです(図を参照)。

回転楕円体のピンと紐による作図は、回転楕円体のピンと紐による作図によって与えられます。

三軸楕円体の点の構築はより複雑です。最初のアイデアはスコットランドの物理学者JC マクスウェル(1868) によるものです。^[9]主要な調査と二次曲面への拡張は、ドイツの数学者 O. シュタウデによって 1882 年、1886 年、1898 年に行われました。^{[10] [11] [12]}楕円体と双曲面のピンとひもによる構築の説明は、D. ヒルベルトと S. フォッセンによる著書「幾何学と想像力」にも記載されています。 ^[13]

1. 楕円 Eと双曲線 H を選択します。これらは焦点円錐曲線のペアです。楕円の頂点と焦点、および長さlの弦(図の赤)があります。$${\displaystyle {\begin{aligned}E(\varphi )&=(a\cos \varphi ,b\sin \varphi ,0)\\H(\psi )&=(c\cosh \psi ,0,b\sinh \psi ),\quad c^{2}=a^{2}-b^{2}\end{aligned}}}$$$${\displaystyle S_{1}=(a,0,0),\quad F_{1}=(c,0,0),\quad F_{2}=(-c,0,0),\quad S_{2}=(-a,0,0)}$$
2. 弦の一方の端を頂点 S ₁に、もう一方の端を焦点F ₂に固定します。弦は、正のy座標とz座標を持つ点Pでしっかりと固定され、弦は双曲線の上部の後ろをS ₁からPまで走り (図を参照)、双曲線上を自由にスライドします。弦のPからF ₂までの部分は、楕円の前を走り、スライドします。弦は、任意の双曲線の点上の距離| S ₁ P | が最小となる双曲線の点を通ります。弦の 2 番目の部分と楕円に関する同様の記述も真である必要があります。
3. Pは楕円体の点であり、方程式は 次のようになります。$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {x^{2}}{r_{x}^{2}}}+{\frac {y^{2}}{r_{y}^{2}}}+{\frac {z^{2}}{r_{z}^{2}}}=1\\&r_{x}={\tfrac {1}{2}}(l-a+c),\quad r_{y}={\textstyle {\sqrt {r_{x}^{2}-c^{2}}}},\quad r_{z}={\textstyle {\sqrt {r_{x}^{2}-a^{2}}}}.\end{aligned}}}$$
4. 楕円体の残りの点は、焦点円錐における弦の適切な変更によって構築できます。

生成された楕円体の半軸の方程式は、点Pの特別な選択によって導くことができる。

${\displaystyle Y=(0,r_{y},0),\quad Z=(0,0,r_{z}).}$

図の下部は、F ₁とF _{2 が}xy平面の楕円の焦点でもあることを示しています。したがって、これは与えられた楕円の共焦点であり、弦の長さはl = 2 r _x + ( a − c )です。r _xを解くと、r _x = ⁠1/2⁠ ( l − a + c ) ; さらにr²
_歳= r²
_倍− c ² .

上の図から、S ₁とS _{2 は}xz平面における楕円体の楕円断面の焦点であり、r²
_秒= r²
_倍− 2 . ^​

逆に、三軸楕円体がその方程式によって与えられている場合は、ステップ 3 の方程式からピンとストリングの構造の パラメーターa、b、l を導出できます。

EがEの半軸の2乗と 共焦点の楕円体である場合

${\displaystyle {\overline {r}}_{x}^{2}=r_{x}^{2}-\lambda ,\quad {\overline {r}}_{y}^{2}=r_{y}^{2}-\lambda ,\quad {\overline {r}}_{z}^{2}=r_{z}^{2}-\lambda }$

Eの方程式から

${\displaystyle r_{x}^{2}-r_{y}^{2}=c^{2},\quad r_{x}^{2}-r_{z}^{2}=a^{2},\quad r_{y}^{2}-r_{z}^{2}=a^{2}-c^{2}=b^{2}}$

ピンとひもの構造に使われる対応する焦点円錐は、楕円体Eと同じ半軸a、b、cを持っていることがわかります。したがって、（楕円の焦点と同様に）三軸楕円体の焦点円錐を（無限に多い）焦点と見なし、それらを楕円体の焦点曲線と呼びます。 ^[14]

逆のことも成り立ちます。長さlの2番目の文字列を選択し、

${\displaystyle \lambda =r_{x}^{2}-{\overline {r}}_{x}^{2}}$

すると方程式

${\displaystyle {\overline {r}}_{y}^{2}=r_{y}^{2}-\lambda ,\quad {\overline {r}}_{z}^{2}=r_{z}^{2}-\lambda }$

有効であり、2 つの楕円体が共焦点であることを意味します。

a = c (回転楕円体)の場合、S ₁ = F ₁およびS ₂ = F ₂となり、焦点楕円は線分に縮退し、焦点双曲線はx軸上の2つの無限線分に縮退することを意味する。楕円体はx軸の周りで回転対称であり、

${\displaystyle r_{x}={\tfrac {1}{2}}l,\quad r_{y}=r_{z}={\textstyle {\sqrt {r_{x}^{2}-c^{2}}}}}$。

真の曲線

楕円体をその焦点双曲線の外部点Vから見ると、それは球面のように見えます。つまり、その見かけの形状は円です。同様に、点V を含む楕円体の接線は円錐の線であり、その回転軸はVにおける双曲線の接線です。^{[15] [16]}中心V が無限遠に消えると、焦点双曲線の対応する漸近線を方向とする直交平行投影が得られます。楕円体上の形状の真の曲線（接点）は円ではありません。

図の下部には、左側に漸近線に沿った楕円体（半軸 60、40、30）の平行投影、右側に中心Vと点Vにおける双曲線の接線上の主点Hを持つ中心投影が示されています。（H は、Vから像平面への垂線の足です。）どちらの投影でも、見かけの形状は円です。平行投影の場合、原点Oの像が円の中心であり、中心投影の場合、主点Hが中心です。

臍の穴

焦点双曲線は楕円体の4つの臍の点で交差する。^[17]

焦点楕円とその内側部分は、r _z → 0に対してa、bで決まる共焦点楕円体の束の極限面（無限に薄い楕円体）と考えることができる。極限の場合、

${\displaystyle r_{x}=a,\quad r_{y}=b,\quad l=3a-c.}$

超楕円体、または次元のユークリッド空間内の次元の楕円体は、次数の同次部分が正定値の二次形式である 次数 2 の多項式によって定義される二次超曲面です。 ${\displaystyle n-1}$${\displaystyle n}$

超楕円体は可逆なアフィン変換による球の像として定義することもできる。スペクトル定理は、次のような標準方程式を得るために再び使用できる。

${\displaystyle {\frac {x_{1}^{2}}{a_{1}^{2}}}+{\frac {x_{2}^{2}}{a_{2}^{2}}}+\cdots +{\frac {x_{n}^{2}}{a_{n}^{2}}}=1.}$

n次元超楕円体の体積は、超球体の体積の公式においてR ^{n を}半軸a ₁ a ₂ ... a _nの積に置き換えることによって得られます。

${\displaystyle V={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}}a_{1}a_{2}\cdots a_{n}\approx {\frac {1}{\sqrt {\pi n}}}\cdot \left({\frac {2e\pi }{n}}\right)^{n/2}a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}$

（ここでΓはガンマ関数です）。

Aが実対称のn行n列の 正定値行列で、vがベクトルである場合、次の式を満たす 点xの集合は${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$

${\displaystyle (\mathbf {x} -\mathbf {v} )^{\mathsf {T}}\!{\boldsymbol {A}}\,(\mathbf {x} -\mathbf {v} )=1}$

は、 vを中心とするn次元の楕円体である。この式はx - vの楕円ノルムとも呼ばれる。すべての楕円体に対して、上記の式を満たすAとvは一意に存在する。 ^{[18] ：67}${\displaystyle (\mathbf {x} -\mathbf {v} )^{\mathsf {T}}\!{\boldsymbol {A}}\,(\mathbf {x} -\mathbf {v} )}$

Aの固有ベクトルは楕円体の主軸であり、Aの固有値は半軸の二乗の逆数である（3次元ではこれらはa ⁻²、b ⁻²、c ⁻²である）。^[19]特に：

• 楕円体の直径は最長半軸の 2 倍であり、これはAの最大固有値の逆数の平方根の 2 倍です。
• 楕円体の幅は最短半軸の 2 倍であり、これはAの最小の固有値の逆数の平方根の 2 倍です。

球面に可逆な線形変換を適用すると楕円体が生成され、適切な回転によって上記の標準形式にすることができます。これは極分解の結果として生じます(スペクトル定理も参照)。線形変換が対称 3 × 3 行列で表される場合、行列の固有ベクトルは直交し (スペクトル定理による)、楕円体の軸の方向を表します。半軸の長さは固有値から計算されます。特異値分解と極分解は、これらの幾何学的観察に密接に関連した行列分解です。

あらゆる正定値行列に対して、 A ^1/2と表記される唯一の正定値行列が存在し、 この表記は、この行列が の「正の平方根」として見ることができるという事実に由来しています。によって定義される楕円体は、 ^[18]のように表すこともできます^。67${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {A}}^{1/2}{\boldsymbol {A}}^{1/2};}$${\displaystyle {\boldsymbol {A}}.}$${\displaystyle (\mathbf {x} -\mathbf {v} )^{\mathsf {T}}\!{\boldsymbol {A}}\,(\mathbf {x} -\mathbf {v} )=1}$

${\displaystyle A^{-1/2}\cdot S(\mathbf {0} ,1)+\mathbf {v} }$

ここでS( 0,1 )は原点の周りの 単位球面である。

一般的な位置における楕円体のパラメトリック表現の鍵となるのは、次の代替定義です。

楕円体は単位球のアフィン像です。

アフィン変換はベクトルf ₀と正規の 3 × 3 行列Aによる変換で表すことができます。

${\displaystyle \mathbf {x} \mapsto \mathbf {f} _{0}+{\boldsymbol {A}}\mathbf {x} =\mathbf {f} _{0}+x\mathbf {f} _{1}+y\mathbf {f} _{2}+z\mathbf {f} _{3}}$

ここで、f ₁、f ₂、f _3は行列Aの列ベクトルです。

一般的な位置にある楕円体のパラメトリック表現は、単位球のパラメトリック表現 (上記参照) とアフィン変換によって得られます。

${\displaystyle \mathbf {x} (\theta ,\varphi )=\mathbf {f} _{0}+\mathbf {f} _{1}\cos \theta \cos \varphi +\mathbf {f} _{2}\cos \theta \sin \varphi +\mathbf {f} _{3}\sin \theta ,\qquad -{\tfrac {\pi }{2}}<\theta <{\tfrac {\pi }{2}},\quad 0\leq \varphi <2\pi }$。

ベクトルf ₁、f ₂、f ₃が直交系を形成する場合、ベクトルf ₀ ± f _1,2,3を持つ 6 つの点は楕円体の頂点であり、| f ₁ |、| f ₂ |、| f ₃ |は半主軸です。

点x ( θ , φ )における面法線ベクトルは

${\displaystyle \mathbf {n} (\theta ,\varphi )=\mathbf {f} _{2}\times \mathbf {f} _{3}\cos \theta \cos \varphi +\mathbf {f} _{3}\times \mathbf {f} _{1}\cos \theta \sin \varphi +\mathbf {f} _{1}\times \mathbf {f} _{2}\sin \theta .}$

任意の楕円体に対して暗黙の表現 F ( x , y , z ) = 0が存在する。簡単のため楕円体の中心を原点f ₀ = 0とすると、上記の楕円体は次式で表される: ^[20]

${\displaystyle F(x,y,z)=\operatorname {det} \left(\mathbf {x} ,\mathbf {f} _{2},\mathbf {f} _{3}\right)^{2}+\operatorname {det} \left(\mathbf {f} _{1},\mathbf {x} ,\mathbf {f} _{3}\right)^{2}+\operatorname {det} \left(\mathbf {f} _{1},\mathbf {f} _{2},\mathbf {x} \right)^{2}-\operatorname {det} \left(\mathbf {f} _{1},\mathbf {f} _{2},\mathbf {f} _{3}\right)^{2}=0}$

楕円形には多くの実用的な用途があります。

測地学

• 地球楕円体。地球の形状を近似する数学的図形。
• 参照楕円体。これは、一般的な惑星の形状を近似する数学的図形です。

力学

• ポアンソの楕円体。回転する剛体のトルクのない運動を視覚化する幾何学的手法。
• ラメの応力楕円体。ある点における応力状態をグラフィカルに表現するためのモール円の代替手段です。
• ロボットの動作の自由度を表すために使用される操作性楕円体。
• ヤコビ楕円体、回転する流体によって形成される三軸楕円体

結晶学

• 屈折率楕円体。結晶内の屈折率の方向と相対的な大きさを表す楕円体の図。
• 熱楕円体、結晶構造内の原子の熱振動の大きさと方向を示すために結晶学で使用される楕円体。

• 楕円体法、理論的に重要な凸最適化アルゴリズム

点灯

• 楕円反射投光器
• 楕円反射スポットライト

薬

• 前立腺のMRI画像から得られた測定値は、L × W × H × 0.52（0.52は、⁠π/6⁠）^[21]

均一な密度ρの楕円体の 質量は

${\displaystyle m=V\rho ={\tfrac {4}{3}}\pi abc\rho .}$

均一密度の楕円体の 慣性モーメントは

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\mathrm {xx} }&={\tfrac {1}{5}}m\left(b^{2}+c^{2}\right),&I_{\mathrm {yy} }&={\tfrac {1}{5}}m\left(c^{2}+a^{2}\right),&I_{\mathrm {zz} }&={\tfrac {1}{5}}m\left(a^{2}+b^{2}\right),\\[3pt]I_{\mathrm {xy} }&=I_{\mathrm {yz} }=I_{\mathrm {zx} }=0.\end{aligned}}}$

a = b = cの場合、これらの慣性モーメントは均一な密度の球体の慣性モーメントと同じになります。

楕円体と直方体は、長軸または短軸に沿って安定して回転しますが、中軸に沿っては安定しません。これは、消しゴムを回転させながら投げることで実験的に確認できます。さらに、慣性モーメントを考慮すると、長軸に沿った回転は短軸に沿った回転よりも簡単に乱されます。^[22]

このことの実際的な効果の 1 つは、ハウメアなどの不等辺天体が一般に短軸に沿って回転することです (扁平なだけの地球も同様です)。さらに、潮汐ロックのため、ミマスなどの同期軌道にある衛星は、長軸が惑星に対して放射状に揃った状態で軌道を回っています。

均質な自己重力流体の回転体は、静水圧平衡にあり、中程度の回転速度の場合、マクローリン回転楕円体（扁平回転楕円体）またはヤコビ楕円体（不等辺楕円体）のいずれかの形状をとります。より高速な回転では、楕円体ではない梨状または卵形の形状が予想されますが、これらは安定していません。

楕円体は、固体の周りの流体の流れを計算できる最も一般的な形状です。計算には、流体中を移動するために必要な力と流体内で回転するために必要な力が含まれます。応用範囲には、大きな分子のサイズと形状、小さな粒子の沈降速度、微生物の遊泳能力の決定などがあります。^[23]

多変量正規分布を一般化し金融で使用される楕円分布は、密度関数によって定義できます。楕円分布が存在する場合、密度関数f の構造は次のようになります。

${\displaystyle f(x)=k\cdot g\left((\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }}){\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}(\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }})^{\mathsf {T}}\right)}$

ここで、kはスケール係数、xは中央値ベクトルμ（存在する場合は平均ベクトルでもある）を持つn次元のランダム行ベクトル、 Σは共分散行列が存在する場合はそれに比例する正定値行列、gは非負の実数から非負の実数へのマッピング関数で、曲線の下に有限の面積を与える。^[24]多変量正規分布は、g ( z ) = exp(− ⁠ず/2⁠）の二次形式zに対して。

したがって、密度関数は、2 次式のスカラーからスカラーへの変換です。さらに、任意の等密度面の方程式は、2 次式がその密度の値に固有の定数に等しく、等密度面が楕円体であることを示しています。

• 楕円ドーム
• 楕円体座標
• 統計学における楕円分布
• 扁平率 は、楕円率や扁平率とも呼ばれ、円または球を直径に沿って圧縮して、それぞれ楕円または回転楕円体 (回転楕円体) を形成する度合いの尺度です。
• フォカロイド、2つの同心の共焦点楕円体で囲まれた殻
• 楕円体上の測地線
• 測地基準点、最もよく適合した楕円体でモデル化された重力地球
• 同形体、2つの同心円状の相似楕円体で囲まれた殻
• ジョン楕円体、与えられた凸集合を含む最小の楕円体。
• 表面のリスト
• 超楕円体

• クレイシグ、アーウィン（1972）、Advanced Engineering Mathematics（第3版）、ニューヨーク：Wiley、ISBN 0-471-50728-8

• 「楕円体」、ジェフ・ブライアント著、Wolfram Demonstrations Project、2007 年。
• 楕円体と二次曲面、MathWorld。