静電気

静電気学は、ゆっくり動く電荷や静止した電荷を研究する物理学の分野です。

古代から、琥珀などの一部の物質は、こすると軽い粒子を引きつけることが知られていました。琥珀を意味するギリシャ語のἤλεκτρον ( ḗlektron ) は、電気という言葉の語源となりました。静電気現象は、電荷が互いに及ぼす力から生じます。このような力は、クーロンの法則によって説明されます。

静電気現象の例は数多くあり、包装から取り出したプラスチックラップが手に引き寄せられるといった単純なものから、穀物サイロの自然爆発、製造中の電子部品の損傷、コピー機やレーザー プリンターの動作などに至るまで多岐にわたります。

静電モデルは、速度が低く、システムがマクロ的であるため量子効果が関与しない「古典的な」ケースにおける電気現象を正確に予測します。また、追加の項も含める必要がある量子力学でも役割を果たします。

クーロンの法則は次のように述べている: ^[5]

2 つの点電荷間の静電気引力または反発力の大きさは、電荷の大きさの積に正比例し、それらの間の距離の 2 乗に反比例します。

力は、それらを結ぶ直線に沿って作用します。2 つの電荷が同じ符号を持つ場合、それらの間の静電力は反発力となり、異なる符号を持つ場合、それらの間の静電力は引力となります。

が 2 つの電荷間の距離 (メートル単位) である場合、2 つの点電荷間の力は次のようになります。 ${\displaystyle r}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle q}$

${\displaystyle F={1 \over 4\pi \varepsilon _{0}}{|Qq| \over r^{2}},}$

ここでε ₀ =8.854 187 8188 (14) × 10 ⁻¹²  F⋅m ⁻¹ ‍ [ ^6]は真空の誘電率である。^[7]

ε ₀のSI単位は、 A ² ⋅ s ⁴ ⋅kg ⁻¹ ⋅m ⁻³またはC ² ⋅ N ⁻¹ ⋅m ⁻²またはF ⋅m ⁻¹に相当します。

電場は、ニュートン/クーロンまたはボルト/メートルの単位で、点電荷の位置（無限大に発散する）を除いて、どこでも定義できるベクトル場です。 ^[8]これは、クーロンの法則による点における仮想の小さな試験電荷にかかる静電力を電荷で割ったものとして定義されます。${\displaystyle \mathbf {E} }$${\displaystyle \mathbf {,} }$${\displaystyle q}$

${\displaystyle \mathbf {E} ={\mathbf {F} \over q}}$

電界線は電界を視覚化するのに役立ちます。電界線は正電荷から始まり、負電荷で終わります。電界線は各点の電界の方向と平行であり、これらの電界線の密度は任意の点の電界の大きさの尺度となります。

電荷を帯びた粒子の集合が点（発生点と呼ばれる）に配置されると、 （場点と呼ばれる）に電場が発生します。^[8]${\displaystyle n}$${\displaystyle q_{i}}$${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$${\displaystyle \mathbf {r} }$

${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )={1 \over 4\pi \varepsilon _{0}}\sum _{i=1}^{n}q_{i}{{\hat {\mathbf {r} }}_{i} \over {|\mathbf {r} _{i}|}^{2}}={1 \over 4\pi \varepsilon _{0}}\sum _{i=1}^{n}q_{i}{\mathbf {r} _{i} \over {|\mathbf {r} _{i}|}^{3}},}$

ここで、はソース ポイントからフィールド ポイントへの変位ベクトル、 はフィールドの方向を示す単位ベクトルです。原点における単一の点電荷 の場合、この電場の大きさは であり 、 が正であればその電荷から遠ざかる方向を向きます。 力 (したがって電場) は、個々のソース粒子による寄与をすべて合計することで計算できるという事実は、重ね合わせの原理の例です。 電荷の分布によって生成される電場は、体積電荷密度で与えられ、この合計を三重積分に変換することで得られます。 ${\textstyle \mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$${\textstyle {\hat {\mathbf {r} }}_{i}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\mathbf {r} _{i}}{|\mathbf {r} _{i}|}}}$${\displaystyle q}$${\displaystyle E=q/4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}$ ${\displaystyle \rho (\mathbf {r} )}$

${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\iiint \,\rho (\mathbf {r} '){\mathbf {r} ' \over {|\mathbf {r} '|}^{3}}\mathrm {d} ^{3}|\mathbf {r} '|}$

ガウスの法則^{[9] [10]}は、「電界内に描かれた任意の形状の自由空間内の任意の閉表面を通過する全電気流束は、表面に囲まれた全電荷に比例する」と述べています。多くの数値問題は、物体の周りのガウス面を考慮することで解決できます。数学的には、ガウスの法則は積分方程式の形をとります。

${\displaystyle \Phi _{E}=\oint _{S}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} ={Q_{\text{enclosed}} \over \varepsilon _{0}}=\int _{V}{\rho \over \varepsilon _{0}}\mathrm {d} ^{3}r,}$

ここで は体積要素です。電荷が表面または線に沿って分布している場合は、をまたはに置き換えます。発散定理により、ガウスの法則を微分形式で表すことができます。 ${\displaystyle \mathrm {d} ^{3}r=\mathrm {d} x\ \mathrm {d} y\ \mathrm {d} z}$${\displaystyle \rho \,\mathrm {d} ^{3}r}$${\displaystyle \sigma \,\mathrm {d} A}$${\displaystyle \lambda \,\mathrm {d} \ell }$

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\rho \over \varepsilon _{0}}.}$

ここで は発散演算子です。 ${\displaystyle \nabla \cdot }$

静電ポテンシャルの定義とガウスの法則の微分形式（上記）を組み合わせると、ポテンシャル Φ と電荷密度ρの関係が得られます。

${\displaystyle {\nabla }^{2}\phi =-{\rho \over \varepsilon _{0}}.}$

この関係はポアソン方程式の一種である。^[11]不対電荷が存在しない場合は、この方程式はラプラス方程式となる。

${\displaystyle {\nabla }^{2}\phi =0,}$

静電近似の妥当性は、電場が非回転的であるという仮定に基づいています。

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =0.}$

ファラデーの法則から、この仮定は時間とともに変化する磁場が存在しない、またはほぼ存在しないことを意味します。

${\displaystyle {\partial \mathbf {B} \over \partial t}=0.}$

言い換えれば、静電気学は磁場や電流が存在しないことを要求しない。むしろ、磁場や電流が存在する場合、それらは時間とともに変化してはならない、または最悪の場合でも、時間とともに非常にゆっくりとしか変化してはならない。いくつかの問題では、正確な予測のために静電気学と磁気静電気学の両方が必要になる場合がありますが、それでも両者の結合は無視できます。静電気学と磁気静電気学はどちらも、電磁気学の非相対論的ガリレイ限界と見なすことができます。 ^[12]さらに、従来の静電気学では、完全な記述のために追加する必要がある量子効果を無視しています。^{[8] : 2}

電場は非回転であるため、電場を静電ポテンシャル（電圧とも呼ばれる）と呼ばれるスカラー関数の勾配として表すことができます。電場は、高電位の領域から低電位の領域を指し、数学的には次のように表されます 。${\displaystyle \phi }$${\displaystyle E}$

${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \phi .}$

勾配定理を使用すると、静電ポテンシャルは、次の線積分を使用して電荷を点から点へ移動させるために必要な単位電荷あたりの仕事量であることが証明できます。 ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

${\displaystyle -\int _{a}^{b}{\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {\ell } }=\phi (\mathbf {b} )-\phi (\mathbf {a} ).}$

これらの方程式から、電場が消滅する領域（導電性物体の内部で発生する場合など）では電位は一定であることがわかります。

試験粒子の位置エネルギー は、仕事 の線積分から計算できます。無限遠点から積分し、電荷 の粒子の集合がすでに点 に位置していると仮定します。この位置エネルギー (ジュール 単位) は次のようになります。 ${\displaystyle U_{\mathrm {E} }^{\text{single}}}$${\displaystyle q_{n}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {\ell } }$${\displaystyle N}$${\displaystyle Q_{n}}$${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$

${\displaystyle U_{\mathrm {E} }^{\text{single}}=q\phi (\mathbf {r} )={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{i=1}^{N}{\frac {Q_{i}}{\left\|{\mathcal {\mathbf {R} _{i}}}\right\|}}}$

ここで、 は点 にある試験電荷から各電荷までの距離であり、 は試験電荷が存在しない場合の電位です。 電荷が 2 つだけの場合、位置エネルギーは です。 N個の電荷の集合による全位置エネルギーは、これらの粒子を1 つずつ集めることによって計算されます。 ${\displaystyle \mathbf {\mathcal {R_{i}}} =\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}}$${\displaystyle Q_{i}}$ ${\displaystyle q}$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle \phi (\mathbf {r} )}$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle Q_{1}Q_{2}/(4\pi \varepsilon _{0}r)}$

${\displaystyle U_{\mathrm {E} }^{\text{total}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{j=1}^{N}Q_{j}\sum _{i=1}^{j-1}{\frac {Q_{i}}{r_{ij}}}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}Q_{i}\phi _{i},}$

ただし、 j = 1からNまでの次の合計はi = j を除きます。

${\displaystyle \phi _{i}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{\stackrel {j=1}{j\neq i}}^{N}{\frac {Q_{j}}{r_{ij}}}.}$

この電位は、電荷がない場合に測定される電位です。この式は、分散した電荷の雲から各点電荷を組み立てるのに必要な (無限の) エネルギーを明らかに除外しています。電荷の合計は、次の式を使用して電荷密度の積分に変換できます。 ${\displaystyle \phi _{i}}$${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$${\displaystyle Q_{i}}$${\textstyle \sum (\cdots )\rightarrow \int (\cdots )\rho \,\mathrm {d} ^{3}r}$

${\displaystyle U_{\mathrm {E} }^{\text{total}}={\frac {1}{2}}\int \rho (\mathbf {r} )\phi (\mathbf {r} )\,\mathrm {d} ^{3}r={\frac {\varepsilon _{0}}{2}}\int \left|{\mathbf {E} }\right|^{2}\,\mathrm {d} ^{3}r,}$

静電エネルギーのこの 2 番目の式は、電場が電位の負の勾配であるという事実と、部分積分 に似たベクトル計算の恒等式を使用しています。 電場エネルギーのこれらの 2 つの積分は、静電エネルギー密度の 2 つの相互に排他的な式、つまりとを示しているように見えます。これらは、両方を全空間にわたって積分した場合にのみ、合計静電エネルギーに等しい値をもたらします。 ${\textstyle {\frac {1}{2}}\rho \phi }$${\textstyle {\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}E^{2}}$

導体上では、電界が存在すると表面電荷に力が作用します。この力は表面電荷における不連続電界の平均です。表面のすぐ外側の電界に関するこの平均は、次のようになります。

${\displaystyle P={\frac {\varepsilon _{0}}{2}}E^{2},}$

この圧力は、表面電荷の符号に関係なく、導体を電界内に引き込む傾向があります。

• 電磁気学 – 荷電粒子間の基本的な相互作用
• 静電発生器、静電気を発生させる機械。
• 静電誘導、電界による電荷の分離。
• 誘電率と比誘電率、物質の電気分極率。
• 電荷の量子化、つまり電子または陽子が運ぶ電荷の単位。
• 静電気、物質上に蓄積される静止電荷。
• 摩擦電気効果、滑りや接触による電荷の分離。

• Hermann A. Haus、James R. Melcher (1989)。『電磁場とエネルギー』、ニュージャージー州エングルウッドクリフス：Prentice- Hall。ISBN 0-13-249020-X。
• ハリデイ、デイビッド、ロバート・レズニック、ケネス・S・クレイン（1992）。物理学。ニューヨーク：ジョン・ワイリー・アンド・サンズ。ISBN 0-471-80457-6。
• グリフィス、デビッド・J. (1999)。『電気力学入門』アッパー・サドル・リバー、ニュージャージー州：プレンティス・ホール。ISBN 0-13-805326-X。

Wikisource には、1911 年のブリタニカ百科事典の記事「静電気」のテキストがあります。

• ウィキメディア・コモンズの静電気に関するメディア

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• ファインマン物理学講義 第2巻 第4章 静電気
• 静電気学入門: 点電荷はディラックのデルタ関数を使って分布として扱うことができる

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