測地線曲率

リーマン幾何学では、曲線の測地線曲率は、曲線が 測地線からどれだけ離れているかを測定します。たとえば、3D 空間 に埋め込まれた 2D 面上の 1D 曲線の場合、測地線曲率は、面の接平面に投影された曲線の曲率です。より一般的には、与えられた多様体において、測地線曲率はの通常の曲率に過ぎません(以下を参照)。ただし、曲線がのサブ多様体上にあるように制限されている場合(たとえば、面 上の曲線の場合)、測地線曲率はにおけるの曲率を指し、一般に周囲の多様体 における の曲率とは異なります。 の (周囲の) 曲率は、 2 つの要因に依存します。1 つは、曲線の方向にのみ依存する の方向におけるサブ多様体の曲率(法曲率) で、もう 1 つは に見られるの曲率(測地線曲率) で、これは 2 次の量です。これらの関係は です。特に、 上の測地線は測地曲率がゼロ (「直線」) であるため となり、これが、部分多様体が である場合に、測地線が周囲空間で曲がって見える理由を説明しています。 ${\displaystyle k_{g}}$${\displaystyle \gamma}$ ${\displaystyle {\bar {M}}}$${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\bar {M}}}$${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle {\bar {M}}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \gamma}$ ${\displaystyle k_{n}}$${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle M}$${\displaystyle k_{g}}$${\displaystyle k={\sqrt {k_{g}^{2}+k_{n}^{2}}}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle k=k_{n}}$

多様体 内の、弧長でパラメータ化され、単位接線ベクトル を持つ曲線を考えます。その曲率は、 の共変微分のノルムです。が 上にある場合、測地曲率は、共変微分の接空間への部分多様体への射影のノルムです。逆に、法曲率は、を法バンドルへの射影で、対象とする点における部分多様体への 射影のノルムです。${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle {\bar {M}}}$${\displaystyle T=d\gamma /ds}$${\displaystyle T}$${\displaystyle k=\|DT/ds\|}$${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle M}$${\displaystyle DT/ds}$${\displaystyle DT/ds}$

周囲多様体がユークリッド空間である場合、共変微分は通常の微分になります。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle DT/ds}$${\displaystyle dT/ds}$

が単位速度、すなわち であり、 がに沿ったの単位法線場を表す場合、測地線曲率は次のように表される。 ${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle \|\ガンマ '(s)\|=1}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \gamma}$

${\displaystyle k_{g}=\gamma ''(s)\cdot {\Big (}N(\gamma (s))\times \gamma '(s){\Big )}=\left[{\frac {\mathrm {d} ^{2}\gamma (s)}{\mathrm {d} s^{2}}},N(\gamma (s)),{\frac {\mathrm {d} \gamma (s)}{\mathrm {d} s}}\right]\,,}$

ここで、角括弧はスカラー三重積を表します。

を 3 次元ユークリッド空間の単位球面とします。 の法線曲率は、考慮する方向に関わらず常に 1 です。大円は曲率 なので、測地曲率は 0 となり、したがって測地線となります。半径 の小円は曲率と測地曲率 を持ちます。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle S^{2}}$${\displaystyle S^{2}}$${\displaystyle k=1}$${\displaystyle r}$${\displaystyle 1/r}$${\displaystyle k_{g}={\frac {\sqrt {1-r^{2}}}{r}}}$

• 測地曲率は、部分多様体 内で本質的に計算された曲線の通常の曲率に他なりません。これは、部分多様体が内でどのように位置するかには依存しません。${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\bar {M}}}$
• の測地線は測地曲率がゼロであり、これはが の接空間に直交すると言うことと同等です。${\displaystyle M}$${\displaystyle DT/ds}$${\displaystyle M}$
• 一方、法曲率は、部分多様体が周囲空間にどのように位置するかに大きく依存しますが、曲線にはほとんど依存しません。つまり、部分多様体上の点と方向 のみに依存し、 には依存しません。${\displaystyle k_{n}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle DT/ds}$
• 一般的なリーマン幾何学では、導関数は周囲多様体のレヴィ・チヴィタ接続 を使用して計算されます: 。これは、部分多様体に対する接線部分と法線部分に分割されます: 。接線部分はにおける通常の導関数であり(これは、ガウス・コダッツィ方程式におけるガウス方程式の特殊なケースです)、法線部分は です。ここで、 は第 2 基本形式を表します。${\displaystyle {\bar {\nabla }}}$${\displaystyle DT/ds={\bar {\nabla}}_{T}T}$${\displaystyle {\bar {\nabla}}_{T}T=\nabla _{T}T+({\bar {\nabla}}_{T}T)^{\perp}}$${\displaystyle \nabla_{T}T}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathrm {I\!I} (T,T)}$${\displaystyle \mathrm {I\!I} }$
• ガウス・ボネの定理。

• 曲率
• ダルブーフレーム
• ガウス・コダッツィ方程式

• カルモ、マンフレド P. (1976)、曲線と曲面の微分幾何学、プレンティス・ホール、ISBN 0-13-212589-7
• グッゲンハイマー、ハインリッヒ(1977)、「表面」、微分幾何学、ドーバー、ISBN 0-486-63433-7。
• Slobodyan, Yu.S. (2001) [1994]、「測地線曲率」、数学百科事典、EMS Press。

• Weisstein、Eric W.「測地線曲率」。MathWorld。