仮想作業

力学 では、最小作用の原理を力学システムの力と運動の研究に適用すると、仮想仕事が生じます。粒子が変位に沿って移動するときの力の仕事は、変位によって異なります。粒子がたどる可能性のあるすべての変位 (仮想変位と呼ばれます) の中で、作用が最小になるものが 1 つあります。したがって、この変位は、最小作用の原理に従って粒子がたどる変位です。

仮想変位に沿った粒子に対する力の働きは、仮想仕事として知られています。

歴史的に、仮想仕事とそれに関連する変分法は剛体系を解析するために考案されましたが^[1]、変形可能な物体の力学の研究のためにも開発されてきました。^[2]

仮想仕事の原理は、古代から静力学の研究において何らかの形で常に使用されてきた。ギリシャ人、中世のアラブ人やラテン人、ルネサンス期のイタリア人はこれを「てこの法則」として使用した。^[3]仮想仕事の考え方は、ガリレオ、デカルト、トリチェリ、ウォリス、ホイヘンスなど、17 世紀の多くの著名な物理学者によって、静力学の問題を解く際に、一般性の程度はさまざまに異なっていた。^[3]ライプニッツの概念を用いて、 ヨハン・ベルヌーイは仮想仕事の原理を体系化し、微小変位の概念を明確にした。彼は、剛体と流体の両方の問題を解くことができた。ベルヌーイの仮想仕事の法則は、1715年にピエール・ヴァリニョンに宛てた手紙の中に現れ、後にヴァリニョンが1725年に書いたNouvelle mécanique ou Statiqueの第2巻に掲載された。この原理の定式化は今日では仮想速度の原理として知られており、現代の仮想仕事原理の原型であると一般に考えられている。^[3] 1743年にダランベールはTraité de Dynamiqueを出版し、ベルヌーイの研究に基づいた仮想仕事の原理を力学における様々な問題の解決に応用した。彼のアイデアは、慣性力を導入することで動的な問題を静的な問題に変換するというものだった。^[4] 1768年にラグランジュは、一般化座標を導入することで仮想仕事の原理をより効率的な形で提示し、平衡に関するすべての問題を解決できる力学の代替原理として提示した。ラグランジュがこのアプローチを静的および動的の両方の力学すべてに適用するプログラムの体系的な説明は、本質的にはダランベールの原理であり、 1788年の彼の分析力学で与えられました。^{[3]ラグランジュはこの作品の前に彼独自の}最小作用原理を提示していましたが、彼は仮想仕事原理がより基本的であると認識していました。主な理由は、最小作用が非保存力を考慮しないという現代の理解とは異なり、仮想仕事原理はすべての力学の基礎として単独で想定できるためです。^[3]

粒子が点から点へと移動するときに力が作用する場合、粒子がとる可能性のある各軌道について、経路に沿って力によって行われる全仕事を計算することができます。これらのシステムに適用された最小作用の原理の形である仮想仕事の原理は、粒子が実際にたどる経路は、この経路に沿った仕事と他の近くの経路に沿った仕事との差がゼロになる経路であると述べています（1次まで）。近くの経路で評価される関数の差を計算するための正式な手順は、微分積分学で知られている導関数の一般化であり、変分法と呼ばれています。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

関数によって記述される経路に沿って点（ここで）から点（ここで ）まで移動する点粒子について考えます。粒子が（ここでは の変分と呼ばれます）によって記述される近くの経路に沿ってから に移動する可能性もあります。この変分は要件 を満たします。変分、およびのスカラー成分は 仮想変位と呼ばれます。これは、一般化座標、 によって定義される任意の機械システムに一般化できます。その場合、軌道の変分は仮想変位、によって定義されます。 ${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbf {r} (t=t_{0})}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \mathbf {r} (t=t_{1})}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \mathbf {r} (t)+\delta \mathbf {r} (t)}$${\displaystyle \delta \mathbf {r} (t)}$${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$${\displaystyle \delta \mathbf {r} (t)}$${\displaystyle \delta \mathbf {r} (t_{0})=\delta \mathbf {r} (t_{1})=0}$${\displaystyle \delta r_{1}(t)}$${\displaystyle \delta r_{2}(t)}$${\displaystyle \delta r_{3}(t)}$ ${\displaystyle q_{i}}$${\displaystyle i=1,2,...,n}$${\displaystyle q_{i}(t)}$${\displaystyle \delta q_{i}}$${\displaystyle i=1,2,...,n}$

仮想仕事とは、機械システムが一連の仮想変位を移動するときに加えられた力と慣性力によって行われる合計仕事です。静的平衡にある物体に加えられた力を考慮する場合、最小作用の原理により、これらの力の仮想仕事はゼロである必要があります。

力F ( r ( t ))が加えられた状態で、点Aから点Bまで軌道r ( t )に沿って移動する粒子P を考えます。力Fによって行われる仕事は積分で与えられます 。 ここで、d r はPの軌道である曲線に沿った微分要素、v は速度です。仕事Wの値は軌道r ( t )によって異なることに注意することが重要です。 $${\displaystyle W=\int _{\mathbf {r} (t_{0})=A}^{\mathbf {r} (t_{1})=B}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {F} \cdot {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}~dt=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} ~dt,}$$

ここで、再び点Aから点Bに移動する粒子Pについて考えます。ただし、今回はr ( t )とは変化δ r ( t ) = ε h ( t )だけ異なる近傍軌道に沿って移動します。ここで、ε は必要なだけ小さくできるスケーリング定数であり、h ( t )はh ( t ₀ ) = h ( t ₁ ) = 0 を満たす任意の関数です。力F ( r ( t ) + ε h ( t ))がF ( r ( t ))と同じであるとします。力によって行われる仕事は、積分で与えられます。 この近傍経路に関連付けられた 仕事δWの変化は仮想仕事と呼ばれ、次のように計算できます。 $${\displaystyle {\bar {W}}=\int _{\mathbf {r} (t_{0})=A}^{\mathbf {r} (t_{1})=B}\mathbf {F} \cdot d(\mathbf {r} +\varepsilon \mathbf {h} )=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {F} \cdot {\frac {d(\mathbf {r} (t)+\varepsilon \mathbf {h} (t))}{dt}}~dt=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {F} \cdot (\mathbf {v} +\varepsilon {\dot {\mathbf {h} }})~dt.}$$$${\displaystyle \delta W={\bar {W}}-W=\int _{t_{0}}^{t_{1}}(\mathbf {F} \cdot \varepsilon {\dot {\mathbf {h} }})~dt.}$$

Pの運動に制約がない場合、任意の時刻tにおけるPの位置を完全に記述するには 3 つのパラメータが必要です。 k ( k ≤ 3 ) 個の制約力がある場合、n = (3 − k ) 個のパラメータが必要です。したがって、n 個の一般化座標q _i ( t ) ( i = 1,..., n ) を定義し、r ( t )とδ r = ε h ( t )を一般化座標で表すことができます。つまり 、 変化δ r = ε h ( t )の導関数は 次 のように与えられ 、$${\displaystyle \mathbf {r} (t)=\mathbf {r} (q_{1},q_{2},\dots ,q_{n};t),}$$ $${\displaystyle \mathbf {h} (t)=\mathbf {h} (q_{1},q_{2},\dots ,q_{n};t).}$$$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\delta \mathbf {r} ={\frac {d}{dt}}\varepsilon \mathbf {h} =\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial \mathbf {h} }{\partial q_{i}}}\varepsilon {\dot {q}}_{i},}$$$${\displaystyle \delta W=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial \mathbf {h} }{\partial q_{i}}}\varepsilon {\dot {q}}_{i}\right)dt=\sum _{i=1}^{n}\left(\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial \mathbf {h} }{\partial q_{i}}}\varepsilon {\dot {q}}_{i}~dt\right).}$$

任意の変化δ r ( t ) = ε h ( t )に対して仮想仕事がゼロであるという要件は、一連の要件と同等です 。 項Q _{i は、}仮想変位δ rに関連付けられた一般化された力と呼ばれます。 $${\displaystyle Q_{i}=\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial \mathbf {h} }{\partial q_{i}}}=0,\quad i=1,\ldots ,n.}$$

静的平衡は、システムに作用する正味の力と正味のトルクがゼロの状態です。言い換えると、システムの線形運動量と角運動量の両方が保存されます。仮想仕事の原理は、静的平衡からのシステムのすべての仮想移動に対して、加えられた力の仮想仕事がゼロであることを述べています。この原理は、3 次元回転が含まれるように一般化できます。つまり、加えられた力と加えられたモーメントの仮想仕事は、静的平衡からのシステムの すべての仮想移動に対してゼロです。 つまり、 F _i、i = 1、2、...、mおよびM _j、j = 1、2、...、n は、それぞれ加えられた力と加えられたモーメントであり、δ r _i、i = 1、2、...、mおよびδ φ _j、j = 1、2、...、n は、それぞれ仮想変位と仮想回転です。 $${\displaystyle \delta W=\sum _{i=1}^{m}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}+\sum _{j=1}^{n}\mathbf {M} _{j}\cdot \delta \mathbf {\phi } _{j}=0,}$$

システムがN個の粒子で構成され、自由度がf ( f ≤ 6 N )であるとします。システムの運動を完全に記述するにはf 個の座標のみを使用すれば十分であるため、仮想運動をこれらの一般化座標で表現できる ようにf 個の一般化座標q _k、k = 1、2、...、fが定義されます。つまり、 $${\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}(q_{1},q_{2},\dots ,q_{f};t),\quad i=1,2,\dots ,m;}$$ $${\displaystyle \delta \phi _{j}(q_{1},q_{2},\dots ,q_{f};t),\quad j=1,2,\dots ,n.}$$

仮想仕事は一般化座標によって再パラメータ化できる。 ここで一般化力Q _kは 次のように定義される 。ケイン^[5]は、これらの一般化力は時間微分の比で定式化できることを示している。つまり、 $${\displaystyle \delta W=\sum _{k=1}^{f}\left[\left(\sum _{i=1}^{m}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{k}}}+\sum _{j=1}^{n}\mathbf {M} _{j}\cdot {\frac {\partial \mathbf {\phi } _{j}}{\partial q_{k}}}\right)\delta q_{k}\right]=\sum _{k=1}^{f}Q_{k}\delta q_{k},}$$ $${\displaystyle Q_{k}=\sum _{i=1}^{m}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{k}}}+\sum _{j=1}^{n}\mathbf {M} _{j}\cdot {\frac {\partial \mathbf {\phi } _{j}}{\partial q_{k}}},\quad k=1,2,\dots ,f.}$$$${\displaystyle Q_{k}=\sum _{i=1}^{m}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {v} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{k}}}+\sum _{j=1}^{n}\mathbf {M} _{j}\cdot {\frac {\partial \mathbf {\omega } _{j}}{\partial {\dot {q}}_{k}}},\quad k=1,2,\dots ,f.}$$

仮想仕事の原理によれば、系が平衡状態にある場合、力F _iとモーメントM _jによって系になされる仮想仕事はゼロになる。したがって、一般化された力Q _{k は}ゼロである。 $${\displaystyle \delta W=0\quad \Rightarrow \quad Q_{k}=0\quad k=1,2,\dots ,f.}$$

仮想仕事の原理の重要な利点は、システムが仮想変位を移動するときに実際に働く力だけが、システムの力学を決定するのに必要であるということです。機械システムには、仮想変位中に仕事をしない力が多数あります。つまり、この解析ではそれらを考慮する必要がありません。重要な 2 つの例は、(i)剛体の内部力と (ii) 理想的なジョイントにおける拘束力です。

ランチョス^[1]はこれを公理として提示しています。「与えられた運動学的制約と調和する仮想変位に対して、反作用力の仮想仕事は常にゼロです。」議論は次のとおりです。仮想仕事の原理は、平衡状態ではシステムに適用された力の仮想仕事はゼロであると述べています。 ニュートンの法則は、平衡状態では適用された力が反作用力または制約力と等しく反対であると述べています。これは、制約力の仮想仕事もゼロでなければならないことを意味します。

レバーは、支点と呼ばれるヒンジジョイントによって地面のフレームに接続された剛体の棒としてモデル化されます。レバーは、 バー上の座標ベクトルr _Aにある点Aに入力力F _{A を}加えることによって操作されます。次に、レバーはr _Bにある点Bに出力力F _{B を}及ぼします。支点P を中心としたレバーの回転は、回転角度θによって定義されます。

支点を定義する点Pの座標ベクトルをr _Pとし、 支点から入力点Aと出力点Bまでの距離をそれぞれ長さとして導入します。 $${\displaystyle a=|\mathbf {r} _{A}-\mathbf {r} _{P}|,\quad b=|\mathbf {r} _{B}-\mathbf {r} _{P}|,}$$

ここで、支点から点Aと点Bへの単位ベクトルe _Aとe _{B を}導入します。この表記により、 点Aと点B の速度を次のように 定義できます。 ここで、 e _A ^⊥とe _B ^{⊥ は、それぞれ}e _Aとe _Bに垂直な単位ベクトルです。 $${\displaystyle \mathbf {r} _{A}-\mathbf {r} _{P}=a\mathbf {e} _{A},\quad \mathbf {r} _{B}-\mathbf {r} _{P}=b\mathbf {e} _{B}.}$$$${\displaystyle \mathbf {v} _{A}={\dot {\theta }}a\mathbf {e} _{A}^{\perp },\quad \mathbf {v} _{B}={\dot {\theta }}b\mathbf {e} _{B}^{\perp },}$$

角度θはレバーの構成を定義する一般化座標であり、したがって、1自由度機構に適用される力に対する上記の式を使用すると、一般化力は次のように表される。 $${\displaystyle Q=\mathbf {F} _{A}\cdot {\frac {\partial \mathbf {v} _{A}}{\partial {\dot {\theta }}}}-\mathbf {F} _{B}\cdot {\frac {\partial \mathbf {v} _{B}}{\partial {\dot {\theta }}}}=a(\mathbf {F} _{A}\cdot \mathbf {e} _{A}^{\perp })-b(\mathbf {F} _{B}\cdot \mathbf {e} _{B}^{\perp }).}$$

ここで、放射状セグメントPAとPBに垂直な力の成分をF _AとF _Bで表します。これらの力は次のように表されます。 この表記と仮想仕事の原理により、一般化された力の式は次のようになります。 $${\displaystyle F_{A}=\mathbf {F} _{A}\cdot \mathbf {e} _{A}^{\perp },\quad F_{B}=\mathbf {F} _{B}\cdot \mathbf {e} _{B}^{\perp }.}$$$${\displaystyle Q=aF_{A}-bF_{B}=0.}$$

出力力F _Bと入力力F _Aの比はレバーの機械的利点であり、仮想仕事の原理から次のように得られる。 $${\displaystyle MA={\frac {F_{B}}{F_{A}}}={\frac {a}{b}}.}$$

この式は、支点から入力力が適用される点Aまでの距離aが、支点から出力力が適用される点Bまでの距離bよりも大きい場合、てこは入力力を増幅することを示しています。逆に、支点から入力点Aまでの距離が、支点から出力点Bまでの距離よりも小さい場合、てこは入力力の大きさを減らします。

これはてこの法則であり、アルキメデスが幾何学的推論を用いて証明した。^[6]

ギア トレインとは、ギアの歯が噛み合うようにフレームにギアを取り付けて構成されます。ギアの歯は、噛み合うギアのピッチ円が滑ることなく互いに転がるように設計されており、これにより、ギアからギアへの回転がスムーズに伝達されます。この解析では、1 つの自由度を持つギア トレインを検討します。つまり、ギア トレイン内のすべてのギアの角度回転は、入力ギアの角度によって定義されます。

ギアのサイズと噛み合う順序によって、入力ギアの角速度ω _Aと出力ギアの角速度ω _Bの比が決まり、これはギアトレインの速度比またはギア比と呼ばれます。速度比を Rとすると、$${\displaystyle {\frac {\omega _{A}}{\omega _{B}}}=R.}$$

入力ギアG _Aに作用する入力トルクT _{A は}、ギアトレインによって出力ギアG _Bによって発揮される出力トルクT _Bに変換されます。ギアが固定されており、ギアの歯のかみ合いに損失がないと仮定すると、仮想仕事の原理を使用してギアトレインの静的平衡を分析できます。

入力ギアの角度θをギアトレインの一般化座標とすると、ギアトレインの速度比Rは入力ギアに対する出力ギアの角速度を定義します。つまり、 $${\displaystyle \omega _{A}=\omega ,\quad \omega _{B}=\omega /R.}$$

トルクを加えた仮想仕事の原理に関する上記の式は、一般化された力を生み出す。 $${\displaystyle Q=T_{A}{\frac {\partial \omega _{A}}{\partial \omega }}-T_{B}{\frac {\partial \omega _{B}}{\partial \omega }}=T_{A}-T_{B}/R=0.}$$

ギアトレインの機械的利点は出力トルクT _Bと入力トルクT _Aの比であり、上記の式から次の式が得られます。 $${\displaystyle MA={\frac {T_{B}}{T_{A}}}=R.}$$

したがって、ギア トレインの速度比によって、その機械的利点も決まります。つまり、入力ギアが出力ギアよりも速く回転する場合、ギア トレインは入力トルクを増幅します。また、入力ギアが出力ギアよりも遅く回転する場合、ギア トレインは入力トルクを減少させます。

剛体の個々の粒子に適用された力に対する仮想仕事の原理は、剛体に対して一般化することができます。平衡状態にある剛体が仮想的に適合する変位を受ける場合、すべての外力の合計仮想仕事はゼロになります。逆に、剛体に作用するすべての外力の合計仮想仕事がゼロの場合、その剛体は平衡状態にあります。

システムが静的平衡状態にない場合、ダランベールは、ニュートンの法則の加速度項を慣性力として導入することで、このアプローチを一般化して動的平衡を定義できることを示しました。その結果、ダランベールの仮想仕事の原理の形が生まれ、剛体の機械システムの運動方程式を導出するために使用されます。

適合変位という表現は、粒子が接触したまま一緒に変位し、作用/反作用の粒子間力のペアによって行われる仕事が打ち消されることを意味します。この原理のさまざまな形は、ヨハン (ジャン) ベルヌーイ(1667–1748) とダニエル ベルヌーイ(1700–1782) によって提唱されました。

機械システムが n 個の剛体 B _i、 i=1,...,n から構築され、各剛体に加えられた力の合力が力とトルクのペアF _iとT _i、i = 1,..., nであるとします。これらの加えられた力には、剛体が接続されている部分の反作用力は含まれないことに注意してください。最後に、各剛体の速度V _iと角速度ω _i、i =1,..., n が単一の一般化座標 q によって定義されていると仮定します。このような剛体システムは、自由度が1 つあると言われます。

一般化座標 q によって定義される 1 つの自由度を持ち、合力FとトルクTの作用を受けて運動する単一の剛体を考えます。合力とトルクの基準点が物体の質量中心であると仮定すると、一般化座標 q に関連付けられた一般化慣性力 Q* は次のように表されます。 この慣性力は、 次の式を使用して 剛体の運動エネルギーから計算できます。 $${\displaystyle Q^{*}=-(M\mathbf {A} )\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} }{\partial {\dot {q}}}}-([I_{R}]\alpha +\omega \times [I_{R}]\omega )\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}}{\partial {\dot {q}}}}.}$$$${\displaystyle T={\frac {1}{2}}M\mathbf {V} \cdot \mathbf {V} +{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}\cdot [I_{R}]{\boldsymbol {\omega }},}$$$${\displaystyle Q^{*}=-\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}}}-{\frac {\partial T}{\partial q}}\right).}$$

m個の一般化座標を持つn個の剛体の系は、 m個の一般化慣性力を計算するために使用できる運動エネルギーを持つ^[7]$${\displaystyle T=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {1}{2}}M\mathbf {V} _{i}\cdot \mathbf {V} _{i}+{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}_{i}\cdot [I_{R}]{\boldsymbol {\omega }}_{i}\right),}$$ $${\displaystyle Q_{j}^{*}=-\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}\right),\quad j=1,\ldots ,m.}$$

ダランベールの仮想仕事の原理によれば、剛体システムは、そのシステムの任意の仮想変位に対して、作用する力と慣性力の合計の仮想仕事がゼロであるとき、動的平衡状態にあるとされています。したがって、 m 個の一般化座標を持つ n 個の剛体システムの動的平衡には、 任意の仮想変位セットδq _j に対して が成立することが必要です。この条件からm個の方程式が生成され、 次のようにも記述できます。 結果は、剛体システムのダイナミクスを定義する m 個の運動方程式のセットであり、ラグランジュ方程式または一般化運動方程式と呼ばれます。 $${\displaystyle \delta W=(Q_{1}+Q_{1}^{*})\delta q_{1}+\dots +(Q_{m}+Q_{m}^{*})\delta q_{m}=0,}$$$${\displaystyle Q_{j}+Q_{j}^{*}=0,\quad j=1,\ldots ,m,}$$$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}=Q_{j},\quad j=1,\ldots ,m.}$$

一般化された力Q _{j が}位置エネルギーV ( q ₁ ,..., q _m )から導出できる場合、これらの運動方程式は次の形になります。 $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}=-{\frac {\partial V}{\partial q_{j}}},\quad j=1,\ldots ,m.}$$

この場合、ラグランジアンL = T − Vを導入すると、これらの運動方程式は次のように表されます。 これらは、m 個の自由度を持つシステムのオイラー-ラグランジュ方程式、または第二種のラグランジュ方程式として知られています。 $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}=0\quad j=1,\ldots ,m.}$$

ここで、無限の数の微分立方体で構成される 変形可能な物体の自由体図を考えてみましょう。物体に対して、無関係な 2 つの状態を定義しましょう。

• -状態: これは、外部表面力T、体積力f、および平衡状態にある内部応力を示します。${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$
• -状態: 連続的な変位と一貫したひずみを示します。${\displaystyle {\boldsymbol {\epsilon }}}$${\displaystyle \mathbf {u} ^{*}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\epsilon }}^{*}}$

上付き文字 * は、2 つの状態が無関係であることを強調しています。上記の条件以外では、いずれかの状態が現実か仮想かを指定する必要はありません。

ここで、- 状態の力と応力が- 状態で変位と変形を受けると想像してください。すべての立方体の面に作用するすべての力によって行われる合計の仮想 (虚数) 仕事を、2 つの異なる方法で計算できます。 ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\epsilon }}}$

• まず、個々の共通面に作用する などの力によって行われた仕事を合計します(図 c)。材料は互換性のある変位を経験するため、このような仕事は打ち消され、表面力Tによって行われた仮想仕事のみが残ります(平衡により、これは立方体の面の応力に等しくなります)。${\displaystyle F_{A}}$
• 2番目に、個々の立方体に作用する などの応力または力によって行われる正味の仕事量を計算します。図(c)の1次元の場合、平衡関係が使用され、2次の項は無視されています。${\displaystyle F_{A}}$${\displaystyle F_{B}}$$${\displaystyle F_{B}\left(u^{*}+{\frac {\partial u^{*}}{\partial x}}dx\right)-F_{A}u^{*}\approx {\frac {\partial u^{*}}{\partial x}}\sigma dV+u^{*}{\frac {\partial \sigma }{\partial x}}dV=\epsilon ^{*}\sigma dV-u^{*}fdV}$$${\displaystyle {\frac {\partial \sigma }{\partial x}}+f=0}$
  物体全体で積分すると次のようになります: – 物体の力fによって行われた仕事。$${\displaystyle \int _{V}{\boldsymbol {\epsilon }}^{*T}{\boldsymbol {\sigma }}\,dV}$$

2 つの結果を等しくすると、変形可能な物体に対する仮想仕事の原理が導かれます。

ここで、外部仮想仕事全体はTとfによって行われます。したがって、

( d , e )の右辺は、しばしば内部仮想仕事と呼ばれます。仮想仕事の原理は、平衡状態の力と応力が、無関係だが一貫した変位とひずみを受ける場合、外部仮想仕事は内部仮想仕事に等しいと述べています。これには、内部仮想仕事がゼロである特殊なケースとして、剛体の仮想仕事の原理が含まれます。

まず、指定された変形を経る物体の表面牽引によって行われる合計作業を確認します。 $${\displaystyle \int _{S}\mathbf {u} \cdot \mathbf {T} dS=\int _{S}\mathbf {u} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {n} dS}$$

発散定理を右辺に適用すると次のようになります。 $${\displaystyle \int _{S}\mathbf {u\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\cdot n} dS=\int _{V}\nabla \cdot \left(\mathbf {u} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}\right)dV}$$

導出を容易にするために、指数表記法に切り替えます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{V}\nabla \cdot \left(\mathbf {u} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}\right)dV&=\int _{V}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left(u_{i}\sigma _{ij}\right)dV\\&=\int _{V}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}\sigma _{ij}+u_{i}{\frac {\partial \sigma _{ij}}{\partial x_{j}}}\right)dV\end{aligned}}}$$

導出を続けるために、平衡方程式に代入します。すると、 ${\displaystyle {\frac {\partial \sigma _{ij}}{\partial x_{j}}}+f_{i}=0}$$${\displaystyle \int _{V}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}\sigma _{ij}+u_{i}{\frac {\partial \sigma _{ij}}{\partial x_{j}}}\right)dV=\int _{V}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}\sigma _{ij}-u_{i}f_{i}\right)dV}$$

右辺の最初の項は、次のように対称部分と歪部分に分割する必要があります。 ここで、は指定された変位場と一致するひずみです。最後から 2 番目の等式は、応力マトリックスが対称であり、歪マトリックスと対称マトリックスの積がゼロであるという事実から生じます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{V}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}\sigma _{ij}-u_{i}f_{i}\right)dV&=\int _{V}\left({\frac {1}{2}}\left[\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}\right)+\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}-{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}\right)\right]\sigma _{ij}-u_{i}f_{i}\right)dV\\&=\int _{V}\left(\left[\epsilon _{ij}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}-{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}\right)\right]\sigma _{ij}-u_{i}f_{i}\right)dV\\&=\int _{V}\left(\epsilon _{ij}\sigma _{ij}-u_{i}f_{i}\right)dV\\&=\int _{V}\left({\boldsymbol {\epsilon }}:{\boldsymbol {\sigma }}-\mathbf {u} \cdot \mathbf {f} \right)dV\end{aligned}}}$$${\displaystyle {\boldsymbol {\epsilon }}}$

さて、まとめましょう。上記の導出を通して、 $${\displaystyle \int _{S}\mathbf {u\cdot T} dS=\int _{V}{\boldsymbol {\epsilon }}:{\boldsymbol {\sigma }}dV-\int _{V}\mathbf {u} \cdot \mathbf {f} dV}$$

方程式の右側の 2 番目の項を左に移動します。 $${\displaystyle \int _{S}\mathbf {u\cdot T} dS+\int _{V}\mathbf {u} \cdot \mathbf {f} dV=\int _{V}{\boldsymbol {\epsilon }}:{\boldsymbol {\sigma }}dV}$$

上記の式の物理的な解釈は、平衡状態の力と応力が無関係だが一貫した変位とひずみを受ける場合、外部仮想仕事は内部仮想仕事に等しくなります。

実用的なアプリケーション:

• 実際の応力と力に平衡を課すために、仮想仕事方程式で一貫した仮想変位とひずみを使用します。
• 一貫した変位とひずみを課すために、仮想仕事方程式で平衡化された仮想応力と力を使用します。

これら 2 つの一般的なシナリオから、よく言われる 2 つの変分原理が生まれます。これらは物質の挙動に関係なく有効です。

目的に応じて、仮想仕事方程式を特殊化することができます。たとえば、支持された物体の変分表記法で仮想変位の原理を導くには、次のように指定します。

• 仮想変位と仮想ひずみは、変分記法などを使用して、実際の変位とひずみの変分として表されます。${\displaystyle \delta \ \mathbf {u} \equiv \mathbf {u} ^{*}}$${\displaystyle \delta \ {\boldsymbol {\epsilon }}\equiv {\boldsymbol {\epsilon }}^{*}}$
• 所定の変位を持つ表面の部分では仮想変位はゼロになり、したがって、反応によって行われる仕事はゼロになります。仕事をする部分には外部表面力のみが残ります。${\displaystyle S_{t}}$

仮想仕事方程式は仮想変位の原理になります。

この関係は、変形体における微分要素について書かれた平衡方程式の集合と、表面の部分における応力境界条件の集合に等しい。逆に、( f )は、上の微分平衡方程式と応力境界条件から始めて、( a )および( b )と同様の方法で進めることにより、簡単ではない方法ではあるが到達することができる。 ${\displaystyle S_{t}}$${\displaystyle S_{t}}$

仮想変位は連続した一価関数で表現される場合、自動的に互換性を持つため、ひずみと変位の一貫性の必要性についてのみ言及することが多い。仮想仕事原理は大きな実変位にも有効であるが、その場合、式( f )はより複雑な応力とひずみの尺度を使用して記述されることになる。

ここでは、以下を指定します。

• 実際の力と応力のバリエーションとしての仮想的な力と応力。
• 所定の力が与えられた表面の部分では仮想力はゼロとなり、したがって、変位が与えられた部分の表面（反作用）力のみが作用します。${\displaystyle S_{t}}$${\displaystyle S_{u}}$

仮想仕事方程式は仮想力の原理になります。

この関係は、ひずみ適合性方程式のセットと、部品上の変位境界条件のセットに相当します。これは、補完仮想仕事の原理とも呼ばれます。 ${\displaystyle S_{u}}$

仮想力の原理の特殊化は単位ダミー力法であり、これは構造システムの変位を計算するのに非常に便利です。ダランベールの原理によれば、慣性力を追加の体積力として含めると、動的システムに適用可能な仮想仕事方程式が得られます。より一般化された原理は、次のように導き出すことができます。

• すべての数量の変動を許可します。
• ラグランジュ乗数を使用して境界条件を課したり、2 つの状態で指定された条件を緩和したりします。

これらはいくつかの参考文献で説明されています。

構造力学における多くのエネルギー原理の中でも、仮想仕事原理は、その一般性により、構造解析、固体力学、および構造力学における有限要素法に強力に応用できるため、特別な位置を占めるに値します。

• 柔軟性メソッド
• ユニットダミーフォース法
• 構造力学における有限要素法
• 変分法
• ラグランジアン力学
• ミュラー・ブレスラウの原理
• ダランベールの原理

• 仮想仕事原理の応用例

• Bathe, KJ「有限要素法の手順」、Prentice Hall、1996 年。ISBN 0-13-301458-4 
• チャールトン、TM 『構造理論におけるエネルギー原理』オックスフォード大学出版局、1973年。ISBN 0-19-714102-1 
• Dym, CL および IH Shames、「固体力学: 変分アプローチ」、McGraw-Hill、1973 年。
• グリーンウッド、ドナルド T.古典力学、ドーバー出版、1977年、ISBN 0-486-69690-1 
• Hu, H.弾性理論の変分原理とその応用、Taylor & Francis、1984年。ISBN 0-677-31330-6 
• Langhaar, HL 『応用力学におけるエネルギー法』、Krieger、1989年。
• レディ、JN エネルギー原理と応用力学における変分法、ジョン・ワイリー、2002年。ISBN 0-471-17985 -X 
• Shames, IH および Dym, CL構造力学におけるエネルギーと有限要素法、Taylor & Francis、1995 年、ISBN 0-89116-942-3 
• タウチャート、TR構造力学におけるエネルギー原理、マグロウヒル、1974年。ISBN 0-07-062925-0 
• 鷲津 憲一『弾性と塑性における変分法』ペルガモン出版、1982年。ISBN 0-08-026723-8 
• ワンダーリッヒ、W.構造力学：変分法と計算法、CRC、2002年。ISBN 0-8493-0700-7