等温座標

等温座標の存在は、カルデロンとジグムントの特異積分作用素に対する L ^p推定値に基づくベルトラミ方程式の既知の存在定理を適用することで証明できる^{[ 6 ]}。^{[ 7 ] [ 8 ]}ベルトラミ方程式へのより単純なアプローチは、最近アドリアン・ドゥアディによって与えられた。^{[ 9 ]}

リーマン計量が局所的に次のように与えられる場合

${\displaystyle ds^{2}=E\,dx^{2}+2F\,dx\,dy+G\,dy^{2},}$

複素座標では${\displaystyle z=x+iy}$形式は

${\displaystyle ds^{2}=\lambda |\,dz+\mu \,d{\overline {z}}|^{2},}$

どこ${\displaystyle \lambda }$そして${\displaystyle \mu }$滑らかで${\displaystyle \lambda >0}$そして${\displaystyle \left\vert \mu \right\vert <1}$。 実際には

${\displaystyle \lambda ={1 \over 4}(E+G+2{\sqrt {EG-F^{2}}}),\,\,\,{\displaystyle \mu ={(E-G+2iF) \over 4\lambda }}.}$

等温座標系において${\displaystyle (u,v)}$指標は次の形式をとるべきである

${\displaystyle ds^{2}=e^{\rho }(du^{2}+dv^{2})}$

ρは滑らかである。複素座標${\displaystyle w=u+iv}$満たす

${\displaystyle e^{\rho }\,|dw|^{2}=e^{\rho }|w_{z}|^{2}|\,dz+{w_{\overline {z}} \over w_{z}}\,d{\overline {z}}|^{2},}$

ベルトラミ方程式が成り立つ場合、座標( u , v )は等温となる。

${\displaystyle {\partial w \over \partial {\overline {z}}}=\mu {\partial w \over \partial z}}$

微分同相解を持つ。このような解は、任意の近傍で存在することが証明されている。${\displaystyle \lVert \mu \rVert _{\infty }<1}$。

滑らかな2次元リーマン多様体上に等温座標が存在することは、楕円型偏微分方程式の解析における標準的な局所可解性結果の帰結である。本稿では、関連する楕円型方程式は、関数がリーマン計量に関して調和的であるための条件である。局所可解性とは、任意の点pが近傍Uを持ち、その近傍U上に導関数がどこにもゼロにならない調和関数uが存在することを意味する。^{[ 10 ]}

等温座標は、このような関数から次のように構築される。^{[ 11 ]} uの調和性は、微分1形式の閉性と同一である。${\displaystyle \star du,}$ホッジスター演算子を用いて定義${\displaystyle \star }$リーマン計量に関連付けられている。したがって、ポアンカレの補題は、U上に関数vが存在し、${\displaystyle dv=\star du.}$ホッジスターの定義によれば、${\displaystyle du}$そして${\displaystyle dv}$は互いに直交しており、したがって線形独立である。そして逆関数定理から、uとv はpのある近傍上の座標系を形成することがわかる。この座標系は、直交性により自動的に等温である。${\displaystyle du}$そして${\displaystyle dv}$これは計量の対角性を意味し、ホッジスターのノルム保存特性は2つの対角成分の等しさを意味する。

等温座標では${\displaystyle (u,v)}$ガウス曲率はより単純な形をとる

${\displaystyle K=-{\frac {1}{2}}e^{-\rho }\left({\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial u^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial v^{2}}}\right).}$