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消失点とは、透視投影図の画像平面上の点で、3 次元空間の平行線の2 次元透視投影が収束するように見える点です。平行線のセットが画像平面に垂直である場合、その構成は一点透視図法として知られており、その消失点は、正しい透視幾何学のために画像を見るべき「目」または「眼点」に対応します。 [ 1 ]従来の線描画では、1 組から 3 組の平行線を持つオブジェクトを使用し、1 組から 3 組の消失点を定義します。
イタリアの人文主義者で博学者、建築家でもあるレオン・バッティスタ・アルベルティは、 1435年に書かれた美術における遠近法に関する論文『De pictura』の中で、この概念を初めて紹介した。 [ 2 ]直線状の鉄道線路は、現代における身近な例である。[ 3 ]
消失点は「方向点」とも呼ばれ、例えばDのように同じ方向ベクトルを持つ線は同じ消失点を持つ。数学的には、q ≡ ( x , y , f )を画像平面上の点とし、fは (画像に関連付けられたカメラの) 焦点距離とする。また、 v q ≡ ( x / h , y / h , f / h )をqに関連付けられた単位ベクトルとし、h = √ x 2 + y 2 + f 2とする。空間S内の直線で単位ベクトルn s ≡ ( n x , n y , n z )を持ち、その消失点をv sとすると、 v sに関連付けられた単位ベクトルはn sに等しくなる 。これは、両方とも画像平面に向かっていると仮定した場合である。[ 4 ]
画像平面が2つの世界座標軸に平行な場合、この画像平面によって切断される軸に平行な線は、1つの消失点で交わる像を持ちます。他の2つの軸に平行な線は、画像平面に平行であるため、消失点を形成しません。これが1点透視図法です。同様に、画像平面が2つの世界座標軸と交差する場合、それらの平面に平行な線は、画像平面上で2つの消失点で交わります。これが2点透視図法です。3点透視図法では、画像平面がx、y、z軸と交差するため、これらの軸に平行な線が交差し、3つの異なる消失点が生じます。
消失点定理は、透視図法の科学における主要な定理です。この定理によれば、空間内の直線Lが画像平面π上に投影され、画像平面に平行でない場合、その像はπと消失点との交点によって決定されます。一部の著者は、「直線の像には消失点が含まれる」という表現を使用しています。グイドバルド・デル・モンテはいくつかの検証を行い、ハンフリー・ディットンはこの結果を「主要な偉大な命題」と呼びました。[ 5 ]ブルック・テイラーは1714 年に透視図法に関する英語での最初の本を執筆し、その中で「消失点」という用語を導入し、多点透視図法の幾何学を完全に説明した最初の本となりました。歴史家のキルスティ・アンダーセンはこれらの観察をまとめました。[ 1 ] : 244–6彼女は、射影幾何学の観点から、消失点はLに関連付けられた無限遠点の像であり、Oから消失点を通る視線はLに平行であると述べています。
消失点が直線上に現れるように、消失線は図面πに平行でない平面α上に現れます。視点Oと、αに平行でO上にある平面βを考えると、αの消失線はβ ∩ πとなります。例えば、αが地面平面でβ が地平線平面である場合、 αの消失線は地平線β ∩ πとなります。
簡単に言うと、ある平面（例えばα）の消失線は、画像平面と、対象平面（α ）に平行でカメラの中心を通る別の平面（例えばβ）との交線によって得られます。この平面αに平行な異なる線群の場合、それぞれの消失点はこの消失線上に位置します。地平線は、観察者の目の高さを表す理論上の線です。対象物が地平線より下にある場合、対象物の線は地平線に向かって上向きに傾きます。対象物が地平線より上にある場合、線は下向きに傾きます。
1. ある平面π A上にある 2 組の平行線の投影は、そのペアに関連付けられた消失点が、像面とπ Aに平行でピンホールを通る平面との交線によって形成される地平線、または消失線H上に収束するように見える。証明: 地面平面πをy = cとみなす。これは、簡略化のために像面と直交する。また、平面π上にある直線Lを考える。これは方程式ax + bz = dで定義される。透視投影ピンホールを用いると、像面に投影されたL上の点の座標は次のように定義される。
これは、 zをパラメータとした直線Lの画像L′のパラメトリック表現です。z → −∞のとき、画像平面のx′軸上の点( x′ , y′ ) = (− fb / a ,0)で停止します。これは、平面π内の傾き− b / a を持つすべての平行線に対応する消失点です。平面πに属する異なる傾きを持つ異なる直線に関連付けられたすべての消失点は、この場合地平線であるx′軸上にあります。
2. A、B、Cを空間内の互いに直交する 3 つの直線とし、v A ≡ ( x A、y A、f )、v B ≡ ( x B、y B、f )、v C ≡ ( x C、y C、f )をそれぞれ対応する 3 つの消失点とする。これらの点の 1 つ (例えばv A )の座標と、画像平面上の別の点 (例えばv B )を通る直線の方向がわかっている場合、v Bとv Cの両方の座標を計算できる[ 4 ]
3. A、B、Cを空間内の互いに直交する 3 つの直線とし、v A ≡ ( x A、y A、f )、v B ≡ ( x B、y B、f )、v C ≡ ( x C、y C、f )をそれぞれ対応する 3 つの消失点とする。3 つの消失点を頂点とする三角形の垂心は、光軸と像面の交点である。[ 4 ]
曲線透視図法とは、消失点が4つまたは5つある描画方法です。5点透視図法では、消失点は円の中に配置され、北、西、南、東の4つの方位に消失点があり、円の原点に1つの消失点があります。
逆遠近法とは、消失点を絵画の外側に配置することで、消失点が絵画の「手前」にあるかのような錯覚を生み出す描画技法である。
消失点検出には、画像内で検出された線分を利用する手法がいくつかある。また、画像ピクセルの輝度勾配を直接考慮する手法もある。
画像には非常に多くの消失点が存在します。そのため、シーンの主方向に対応する消失点を検出することが目的となります。これは一般的に2つのステップで実現されます。最初のステップは、その名の通り、線分をクラスタリングする「蓄積ステップ」と呼ばれ、クラスタには共通の消失点が存在するという仮定に基づいています。次のステップでは、シーンに存在する主要なクラスタを見つけるため、「探索ステップ」と呼ばれます。
蓄積ステップでは、画像はアキュムレータ空間と呼ばれる境界空間にマッピングされます。アキュムレータ空間はセルと呼ばれる単位に分割されます。Barnard [ 6 ]は、この空間をカメラの光学中心を中心とするガウス球と仮定し、これをアキュムレータ空間としました。画像上の線分はこの球上の大円に対応し、画像内の消失点は点にマッピングされます。ガウス球には、大円が通過するとき、つまり画像内で線分が消失点と交差するときに増加するアキュムレータセルがあります。その後、いくつかの修正が加えられましたが、最も効率的な手法の 1 つは、線分のパラメータを境界空間にマッピングするハフ変換を使用することでした。カスケード ハフ変換は、複数の消失点に適用されています。
画像から境界空間へのマッピング処理によって、線分間や点間の実際の距離が失われてしまう。
探索ステップでは、通過する線分数が最大となるアキュムレータセルが特定されます。次に、それらの線分が削除され、この数が一定の閾値を下回るまで探索ステップが繰り返されます。現在では計算能力が向上しているため、互いに直交する2つまたは3つの方向に対応する点を見つけることができます。
