グライド反射

幾何学において、すべり反射またはトランスフレクションは、超平面を横切る反射と、その超平面に平行な方向への移動(「すべり」) が 1 つの変換に組み合わされた幾何学的変換です。すべり反射では点間の距離は変化しないため、これは運動または等長変換です。コンテキストが 2 次元ユークリッド平面である場合、反射の超平面はすべり線またはすべり軸と呼ばれる直線です。コンテキストが3 次元空間である場合、反射の超平面はすべり平面と呼ばれる平面です。移動の変位ベクトルはすべりベクトルと呼ばれます。

ある幾何学的物体または構成が変換によって変化しないように見える場合、それは対称性を持つと言われ、その変換は対称操作と呼ばれます。滑走反射対称性は、フリーズ グループ(装飾的な縁取りでよく使用される、1 次元で繰り返されるパターン)、壁紙グループ(平面の規則的なモザイク模様)、および空間グループ(結晶の対称性などを記述) に見られます。 滑走反射対称性を持つ物体は、一般に反射だけでは対称ではありませんが、同じ滑走反射を 2 回適用すると 2 倍の平行移動が生じるため、滑走反射対称性を持つ物体は常に単純な平行移動対称性も持ちます。

反射が反射の超平面に垂直な方向の並進と合成される場合、2 つの変換の合成は平行超平面での反射になります。ただし、反射が他の方向の並進と合成される場合、2 つの変換の合成はすべり反射となり、これは超平面に平行な方向の並進と合成された平行超平面での反射として一意に記述できます。

単一のグライドはフリーズグループp11g として表されます。グライド反射は、回転が並進になる極限回転反射として見ることができます。また、シェーンフライス表記では S _2∞、コクセター表記では [∞ ⁺ ,2 ⁺ ] 、オービフォールド表記では ∞× として表すことができます。

ユークリッド平面では、反射とすべり反射の 2 種類の間接的な（方向が反転する）等長変換のみが存在します。

例えば、x軸上での反射とそれに平行な1単位の移動からなる等長変換がある。座標では、

この等長変換はx軸をそれ自身にマッピングします。つまり、 x軸に平行な他の線はx軸に反映されるため、この平行線のシステムは不変のままになります。

すべり反射のみで生成される等長群は無限巡回群である。^[1]

2 つの等しいグライド反射を組み合わせると、グライド反射の 2 倍の変換ベクトルを持つ純粋な変換が得られるため、グライド反射の偶数乗が変換グループを形成します。

グライド反射対称性の場合、オブジェクトの対称グループにはグライド反射が含まれ、それによって生成されるグループも含まれます。それがすべて含まれる場合、このタイプはフリーズ グループp11g です。

この対称グループを使用したパターンの例:

日常生活における滑走反射の典型的な例としては、海岸を歩く人が砂浜に残す足跡が挙げられます。

フリーズ グループ 6 (滑走反射、平行移動、回転) は、滑走反射と反射線上の点を中心とした回転によって生成されます。これは、ZとC ₂の半直積に同型です。

この対称グループを使用したパターンの例:

何らかのすべり反射対称性を含む対称群の場合、すべり反射の並進ベクトルは並進群の要素の半分になります。すべり反射の並進ベクトル自体が並進群の要素である場合、対応するすべり反射対称性は、反射対称性と並進対称性の組み合わせに縮小されます。

同じ移動距離を持つ 2 本の平行線に関する滑走反射対称性は、これらの線に垂直な方向にも滑走反射線間の距離の 2 倍の移動距離を持つ滑走対称性があることを意味します。これは壁紙グループpg に対応します。追加の対称性により、pmg、pgg、p4g でも発生します。

同じ方向に真の反射線もある場合、それらは滑走反射線の間で等間隔になります。滑走反射線が真の反射線と平行である場合、この状況はすでに暗示されています。これは壁紙グループ cm に対応します。並進対称性は、真の反射線上の 1 つの点から次の 2 つの点への斜め並進ベクトルによって与えられ、真の反射線を対角線の 1 つとする菱形をサポートします。追加の対称性により、cmm、p3m1、p31m、p4m、p6m でも発生します。

ユークリッド平面では、 17 個の壁紙グループのうち 3 個にグライド反射ジェネレータが必要です。p2gg には直交グライド反射と 2 倍回転があります。cm には平行ミラーとグライドがあり、pg には平行グライドがあります。(グライド反射は以下に破線で示されています)

ヘルマン・モーガン表記では、滑空面は、滑空がどの軸に沿っているかに応じて、 a、b 、またはcで表記されます。(滑空面の方向は、ヘルマン・モーガン表記の記号の位置によって決まります。) 軸が定義されていない場合、滑空面はgで表記されます。滑空面が画面に平行な場合、これらの面は、矢印の先が滑空方向を示す曲がった矢印で示されます。滑空面が画面に垂直な場合、これらの面は、滑空が画面の平面に平行な場合は破線で、滑空が画面の平面に垂直な場合は点線で表されます。さらに、中心格子により、滑空面が同時に 2 方向に存在できるようになります。このタイプのグライドプレーンは、グライドプレーンがスクリーンの平面に平行な場合は両側に矢じりのある曲がった矢印で示され、グライドプレーンがスクリーンの平面に垂直な場合は破線と二重点線で示されることがあります。また、面の対角線の半分に沿ったグライドであるnグライドや、ユニットセルの面または空間対角線の 4 分の 1 に沿ったdグライドもあります。後者はダイヤモンド構造を特徴とするため、ダイヤモンドグライドプレーンと呼ばれることがよくあります。nグライドプレーンは、スクリーンの平面に平行な場合は斜めの矢印で示され、グライドプレーンがスクリーンの平面に垂直な場合は破線で示されます。dグライドプレーンは、グライドプレーンがスクリーンの平面に平行な場合は斜めの半矢印で示され、グライドプレーンがスクリーンの平面に垂直な場合は矢印付きの破線で示されます。結晶系にdすべり面が存在する場合、その結晶は中心格子を持つ必要がある。 ^[2]

ヘルマン・モーガン表記の現在のバージョンでは、すべり方向を指定する方法が 2 つある場合に、どちらも正しいため、記号eが使用されます。たとえば、結晶が C 面を中心とする底心ブラベー格子を持つ場合、 a方向のセル単位の半分のすべりは、b方向のセル単位の半分のすべりと同じ結果になります。

グライド反射のみで生成される等長変換群は、無限巡回群です。2 つの等しいグライド平面演算を組み合わせると、グライド反射の 2 倍の変換ベクトルを持つ純粋な変換が得られるため、グライド反射の偶数乗は変換群を形成します。

滑走反射対称性の場合、オブジェクトの対称群には滑走反射とそれによって生成される群が含まれます。滑走反射を含む対称群では、滑走ベクトルは並進群の要素の半分です。滑走平面操作の並進ベクトル自体が並進群の要素である場合、対応する滑走平面対称性は、反射対称性と並進対称性の組み合わせに縮小されます。

滑空対称性は、自然界ではエディアカラ生物群の特定の化石、マケリディアン類、および特定の古スコレックス類で観察できます。^{[3]また、現存する多くの}海生動物 群でも見られます。^[4]

コンウェイのライフゲームでは、グライダーと呼ばれるよく見られるパターンは、オートマトンが2ステップ進むと、グライド反射によってシフトされたセルの構成を繰り返すことからそのように名付けられました。4ステップと2回のグライド反射の後、パターンは1単位だけ斜めにシフトして元の方向に戻ります。このようにして、ゲームの配列を横切って移動します。^[5]

• ねじ軸
• ラティス（グループ）

• ウォルター・ボーチャード・オット (1995)。結晶学。スプリンガー・フェルラーク。ISBN 3-540-59478-7。

• Glide Reflection 2006-04-04 にWayback Machineでアーカイブされました ( cut -the-knot)