シュレーゲル図

正二十面体の様々な視覚化

視点

ネット

直交

ペトリー

シュレーゲル

頂点図形

幾何学において、シュレーゲル図は多面体の投影である。$\textstyle \mathbb {R} ^{d}}$の中へ${\textstyle \mathbb {R} ^{d-1}}$そのファセットのすぐ外側の点を通る。結果として得られる実体は、ファセットの多面体分割である。${\textstyle \mathbb {R} ^{d-1}}$これは、元の面と合わせて、組み合わせ論的に元の多面体と等価です。この図は、1886年に多面体の組み合わせ論的および位相的性質を研究するためのこのツールを導入したヴィクトル・シュレーゲルにちなんで名付けられました。3次元では、シュレーゲル図は多面体を平面図形に投影したもので、 4次元では、 4次元多面体を3次元空間に投影したものです。このように、シュレーゲル図は4次元多面体を視覚化する手段としてよく用いられます。

最も基本的なシュレーゲル図である多面体の図は、ダンカン・サマービルによって次のように説明されました。^{[ 1 ]}

凸多面体を表す非常に便利な方法の一つに、平面投影があります。任意の外部点から投影すると、各光線が多面体を2回切断するため、多角形領域が2回多角形に分割されて表されます。投影中心を適切に選択することで、1つの面の投影が他のすべての面の投影を完全に包含するようにすることができます。これは多面体のシュレーゲル図と呼ばれます。シュレーゲル図は多面体の形態を完全に表します。多面体を頂点から投影すると便利な場合もあります。この頂点は無限遠に投影され、図には表示されません。頂点を通る辺は、外側に引かれた線で表されます。

サマービルは、 4 次元の単体の場合も考慮しています。 ^{[ 2 ]} _{「S 4}の単体のシュレーゲル図は、 4 つの四面体に分割された四面体です。」より一般的には、n 次元の多面体には、多面体の外側のファセットの中心の上にある点から見た透視投影によって構築されたシュレーゲル図があります。多面体のすべての頂点と辺は、そのファセットの超平面に投影されます。多面体が凸である場合、ファセットの近くにファセットを外側に、他のすべてのファセットを内側にマッピングする点が存在するため、投影で辺が交差する必要はありません。

• ネット（多面体） – 多面体の次元を下げることで視覚化する別の方法として、ファセットを切り離し、ファセットが単一の超平面上に存在できるようになるまで展開してネットを構築する方法があります。この方法では幾何学的なスケールと形状は維持されますが、位相的な接続が見えにくくなります。

• Victor Schlegel (1883) Theorie der homogen zusammengesetzten Raumgebilde、Nova Acta、Ksl。レオ、キャロル。ドイツ自然科学アカデミー、バンド XLIV、Nr. 4、ドレスデンのDruck von E. Blochmann & Sohn。
• Victor Schlegel（1886）Ueber Projectionsmodelle der regelmässigen vier-Dimensionen Körper、Waren。
• コクセター、HSM；正多面体（メシュエン社、1948年）。（242ページ）
  • 正多面体（第3版、1973年）、ドーバー版、 ISBN 0-486-61480-8
• グリュンバウム、ブランコ(2003)、カイベル、フォルカー。ヴィクトル・クレー; Ziegler、Günter M. (編)、Convex Polytopes (第 2 版)、ニューヨークおよびロンドン: Springer-Verlag、ISBN 0-387-00424-6。

• ワイスタイン、エリック W. 「シュレーゲル グラフ」。マスワールド。
  • ワイススタイン、エリック・W. 「スケルトン」 . MathWorld .
• ジョージ・W・ハート：3Dプリンティングによる4次元多面体投影モデル
• ティーンエイジャー向けの充実した数学教材。教師にも役立ちます。