3次関数

数学において、3次関数は、形式、つまり3次の多項式関数の関数です。多くのテキストでは、係数a、b、c、およびd は実数であると想定されており、関数は実数を実数にマッピングする実関数、または複素数を複素数にマッピングする複素関数であると見なされます。その他の場合には、係数が複素数であり、定義域が実数に制限されている場合でも、関数は複素数の集合を共定義域として持つ複素関数です。 ${\displaystyle f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d,}$

f ( x ) = 0とすると、次の形の 3次方程式が生成される。

${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0,}$

その解は関数の根と呼ばれます。3次関数の導関数は2次関数です。

実係数の3次関数は1つまたは3つの実根を持ちます（これらは区別できない場合もあります）。^[1]実係数の奇数次多項式はすべて少なくとも1つの実根を持ちます。

3 次関数のグラフには、常に 1 つの変曲点があります。3 次関数には、極小値と極大値の2 つの臨界点がある場合があります。それ以外の場合、3 次関数は単調です。3 次関数のグラフは、変曲点に関して対称です。つまり、この点の周りを半回転しても不変です。アフィン変換まで、3 次関数の可能なグラフは 3 つだけです。

三次関数は三次補間の基本です。

三次関数の臨界点はその定常点、つまり関数の傾きがゼロとなる点である。^{[2]したがって三次関数}fの臨界点は次のように定義される 。

f ( x ) = ax ³ + bx ² + cx + d、

導関数が​

${\displaystyle 3ax^{2}+2bx+c=0}$

三次関数の係数はゼロです。

この方程式の解は臨界点のx値であり、二次方程式の公式を用いて次のように与えられる。

${\displaystyle x_{\text{critical}}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-3ac}}}{3a}}.}$

平方根の中の式Δ ₀ = b ² – 3 acの符号は、臨界点の数を決定します。正の場合、臨界点は 2 つあり、1 つは極大値で、もう 1 つは極小値です。 b ² – 3 ac = 0の場合、臨界点は 1 つだけあり、それは変曲点です。b ² – 3 ac < 0の場合、（実際の）臨界点は存在しません。後者の 2 つの場合、つまりb ² – 3 acが非正の場合、3 次関数は厳密に単調です。 Δ ₀ > 0 の場合の例については、図を参照してください。

関数の変曲点とは、関数が凹面性を変える点である。^[3]変曲点は、2次導関数 がゼロで、3次導関数がゼロでない場合に発生する。したがって、3次関数には常に1つの変曲点があり、それは ${\displaystyle f''(x)=6ax+2b,}$

${\displaystyle x_{\text{inflection}}=-{\frac {b}{3a}}.}$

3 次関数のグラフは 3 次曲線ですが、多くの 3 次曲線は関数のグラフではありません。

3次関数は4つのパラメータに依存しますが、そのグラフの形は非常に限られています。実際、3次関数のグラフは常に次の形式の関数のグラフに 似ています。

${\displaystyle y=x^{3}+px.}$

この類似性は、座標軸に平行な変換、相似性（均一なスケーリング）、およびy軸に対する反射（鏡像）の組み合わせとして構築できます。さらに非均一なスケーリングを行うと、グラフは3つの3次関数のいずれかのグラフに変換されます。

${\displaystyle {\begin{aligned}y&=x^{3}+x\\y&=x^{3}\\y&=x^{3}-x.\end{aligned}}}$

これは、アフィン変換までの3 次関数のグラフが 3 つしかないことを意味します。

上記の幾何学的変換は、一般的な3次関数から始めると、次のように構築できます。 ${\displaystyle y=ax^{3}+bx^{2}+cx+d.}$

まず、a < 0の場合、変数 x → – xの変更により、 a > 0と想定できます。この変数の変更後、新しいグラフはy軸に関して前のグラフの鏡像になります。

そして、変数x = x ₁ – ⁠の変更b/3 a⁠ は次のような関数を提供する

${\displaystyle y=ax_{1}^{3}+px_{1}+q.}$

これはx軸に平行な移動に対応します。

変数y = y ₁ + qの変化はy軸に関する平行移動に対応し、次の形式の関数を与える。

${\displaystyle y_{1}=ax_{1}^{3}+px_{1}.}$

変数の変更は均一なスケーリングに対応し、次の形式の関数 を乗算すると、${\displaystyle \textstyle x_{1}={\frac {x_{2}}{\sqrt {a}}},y_{1}={\frac {y_{2}}{\sqrt {a}}}}$${\displaystyle {\sqrt {a}},}$

${\displaystyle y_{2}=x_{2}^{3}+px_{2},}$

これは相似によって得られる最も単純な形式です。

そして、p ≠ 0の場合、非一様スケーリングは、${\displaystyle \textstyle x_{2}=x_{3}{\sqrt {|p|}},\quad y_{2}=y_{3}{\sqrt {|p|^{3}}}}$${\displaystyle \textstyle {\sqrt {|p|^{3}}},}$

${\displaystyle y_{3}=x_{3}^{3}+x_{3}\operatorname {sgn}(p),}$

ここで、 はpの符号に応じて 1 または –1 の値を持ちます。 を定義すると、関数の後者の形式はすべての場合に適用されます (および) 。 ${\displaystyle \operatorname {sgn}(p)}$${\displaystyle \operatorname {sgn}(0)=0,}$${\displaystyle x_{2}=x_{3}}$${\displaystyle y_{2}=y_{3}}$

形式の 3 次関数の場合、変曲点は原点です。このような関数は奇関数であるため、そのグラフは変曲点に関して対称であり、変曲点の周りを半回転しても不変です。これらの特性は相似性によって不変であるため、すべての 3 次関数について次のことが当てはまります。 ${\displaystyle y=x^{3}+px,}$

3 次関数のグラフは変曲点に関して対称であり、変曲点の周りを半回転しても不変です。

三次関数のグラフの3つの共線上の点での接線は、共線上の点で再び三次関数と交わる。^[4]これは次のように見ることができる。

この性質は剛体運動に対して不変なので、関数は次の形をとると仮定できる。

${\displaystyle f(x)=x^{3}+px.}$

αが実数の場合、点（α、f（α））におけるfのグラフの接線は直線である。

{( x , f ( α ) + ( x − α ) f  '( α )) : x ∈ R }。

したがって、この直線とfのグラフの交点は、方程式f ( x ) = f ( α ) + ( x − α ) f  ′( α )を解くことで得られます。

${\displaystyle x^{3}+px=\alpha ^{3}+p\alpha +(x-\alpha )(3\alpha ^{2}+p),}$

書き換えられる

${\displaystyle x^{3}-3\alpha ^{2}x+2\alpha ^{3}=0,}$

そして因数分解すると

${\displaystyle (x-\alpha )^{2}(x+2\alpha )=0.}$

つまり、接線は三次曲線と交わる位置は

${\displaystyle (-2\alpha ,-8\alpha ^{3}-2p\alpha )=(-2\alpha ,-8f(\alpha )+6p\alpha ).}$

したがって、グラフの 点（x、y）を接線がグラフと交わる他の点に写像する関数は

${\displaystyle (x,y)\mapsto (-2x,-8y+6px).}$

これは、同一直線上の点を同一直線上の点に変換するアフィン変換です。これにより、主張された結果が証明されます。

関数の値とその導関数の 2 つの点における値が与えられた場合、同じ 4 つの値を持つ 3 次関数が 1 つだけ存在し、これを3 次エルミート スプラインと呼びます。

この事実を利用する標準的な方法は 2 つあります。まず、たとえば物理的な測定によって、いくつかのサンプリング ポイントにおける関数とその導関数の値がわかっている場合は、連続的に微分可能な関数(区分 3 次関数)を使用して関数を補間することができます。

関数の値が複数の点でわかっている場合、3 次補間は、連続的に微分可能な関数(区分的に3 次)で関数を近似することです。一意に定義された補間を得るには、端点での導関数の値や、端点での 曲率ゼロなど、さらに 2 つの制約を追加する必要があります。

ウィキメディア・コモンズには、三次関数に関連するメディアがあります。

• 「カルダノの公式」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• MacTutor アーカイブの 2 次方程式、3 次方程式、4 次方程式の歴史。