プラスチック比

プラスチック比

ρの比の辺を持つ三角形は閉じた螺旋を形成する
合理性	無理数代数
シンボル	ρ
表現
小数点	1.32471 79572 44746 02596 09088 ...（OEISの配列A060006）
代数形式	x 3の実根= x + 1
連分数（線形）	[1;3,12,1,1,3,2,3,2,4,2,141,80,...] [1] 周期的ではない 無限

数学では、塑性比は53/40に近い幾何学的比率です。その真の値は方程式x ³ = x + 1 の実数解です。

形容詞「プラスチック」は人工素材を指すのではなく、造形芸術の場合のように、この比率の造形的、彫刻的な性質を指します。

塑性比には a > b > c > 0の3つの量がある。

${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {b+c}{a}}={\frac {b}{c}}}$。

この比率は一般的に⁠ ⁠と表記されます。${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$${\displaystyle \rho .}$

⁠ ⁠${\displaystyle a=\rho \,}$と⁠ ⁠${\displaystyle \,b=1}$とすると、

${\displaystyle \rho ^{2}=1+c\,\land \,\rho =1/c}$

${\displaystyle \implies \rho ^{2}-1=\rho ^{-1}}$。

したがって、塑性比は3 次方程式の唯一の実数解として求められます。 根の 10 進展開は( OEISのシーケンスA060006 )として始まります。 ${\displaystyle \rho ^{3}-\rho -1=0.}$${\displaystyle 1.324\,717\,957\,244\,746...}$

カルダノの公式で方程式を解くと、

${\displaystyle w_{1,2}={\frac {1}{2}}\left(1\pm {\frac {1}{3}}{\sqrt {\frac {23}{3}}}\right)}$

${\displaystyle \rho ={\sqrt[{3}]{w_{1}}}+{\sqrt[{3}]{w_{2}}}}$

あるいは、双曲余弦^[2]を用いて、

${\displaystyle \rho ={\frac {2}{\sqrt {3}}}\cosh \left({\frac {1}{3}}\operatorname {arcosh} \left({\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}\right)\right).}$

⁠ ⁠ は${\displaystyle \rho}$反復の超安定不動点です。 ${\displaystyle x\gets (2x^{3}+1)/(3x^{2}-1)}$

反復の結果は逆平方根の継続となる。 ${\displaystyle x\gets {\sqrt {1+{\tfrac {1}{x}}}}}$

${\displaystyle \rho ={\sqrt {1+{\cfrac {1}{\sqrt {1+{\cfrac {1}{\sqrt {1+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}}}}$

定義三項式を⁠ ⁠で割るととなり、⁠ ⁠の共役元は ${\displaystyle x^{3}-x-1}$${\displaystyle x-\rho }$${\displaystyle x^{2}+\rho x+1/\rho }$${\displaystyle \rho}$

${\displaystyle x_{1,2}={\frac {1}{2}}\left(-\rho \pm i{\sqrt {3\rho ^{2}-4}}\right),}$

と​${\displaystyle x_{1}+x_{2}=-\rho \;}$${\displaystyle \;x_{1}x_{2}=1/\rho .}$

塑性比⁠ ⁠${\displaystyle \rho}$と黄金比 ⁠ ⁠ は、${\displaystyle \varphi}$唯一の形態数です。つまり、 実数x > 1に対して、自然数 m と n が存在し、

${\displaystyle x+1=x^{m}}$そして[ ^3]${\displaystyle x-1=x^{-n}}$

形態数は測定システムの基礎として役立ちます。

⁠ ⁠${\displaystyle \rho}$ (m=3およびn=4)の特性は、 ⁠ ⁠${\displaystyle \varphi}$ (m=2およびn=1)の特性と関連しています。たとえば、塑性比は連続ラジカルを満たします。

${\displaystyle \rho ={\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3}]{1+\cdots }}}}}}}$、

黄金比は類似の

${\displaystyle \varphi ={\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+\cdots }}}}}}}$

塑性比は無限等比級数として表現できる。

${\displaystyle \rho =\sum _{n=0}^{\infty }\rho ^{-5n}}$そして${\displaystyle \,\rho ^{2}=\sum _{n=0}^{\infty }\rho ^{-3n},}$

黄金比の同一性と比較して

${\displaystyle \varphi =\sum _{n=0}^{\infty }\varphi ^{-2n}}$逆もまた同様です。

さらに、${\displaystyle 1+\varphi ^{-1}+\varphi ^{-2}=2}$${\displaystyle \sum _{n=0}^{13}\rho ^{-n}=4.}$

あらゆる整数 に対して${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho ^{n}&=\rho ^{n-2}+\rho ^{n-3}\\&=\rho ^{n-1}+\rho ^{n-5}\\&=\rho ^{n-3}+\rho ^{n-4}+\rho ^{n-5}.\end{aligned}}}$

簡約五次方程式の代数解は、平方根、立方根、およびブリング根号で表すことができます。の場合、です。${\displaystyle y=x^{5}+x}$${\displaystyle x=BR(y)}$${\displaystyle \rho ^{-5}+\rho ^{-1}=1,\quad \rho =1/BR(1).}$

いくつかの低べき乗の 単純な連分数パターン

${\displaystyle \rho ^{-1}=[0;1,3,12,1,1,3,2,3,2,...]\approx 0.7549}$( 25/33 )

${\displaystyle \ \rho ^{0}=[1]}$

${\displaystyle \ \rho ^{1}=[1;3,12,1,1,3,2,3,2,4,...]\approx 1.3247}$( 45/34 )

${\displaystyle \ \rho ^{2}=[1;1,3,12,1,1,3,2,3,2,...]\approx 1.7549}$( 58/33 )

${\displaystyle \ \rho ^{3}=[2;3,12,1,1,3,2,3,2,4,...]\approx 2.3247}$( 79/34 )

${\displaystyle \ \rho ^{4}=[3;12,1,1,3,2,3,2,4,2,...]\approx 3.0796}$( 40/13 )

${\displaystyle \ \rho ^{5}=[4;12,1,1,3,2,3,2,4,2,...]\approx 4.0796}$（53/13） ...

${\displaystyle \ \rho ^{7}=[7;6,3,1,1,4,1,1,2,1,1,...]\approx 7.1592}$（93/13）...

${\displaystyle \ \rho ^{9}=[12;1,1,3,2,3,2,4,2,141,...]\approx 12.5635}$( 88/7 )

塑性比は最小のピゾ数です。^[4]代数共役の絶対値 は1より小さいため、 ⁠ ⁠の累乗はほぼ整数になります。たとえば、29回転ステップ後、内側に螺旋状の共役ペアの位相は、最初は⁠ ⁠に近いですが、虚軸とほぼ一致します。 ${\displaystyle 1/{\sqrt {\rho }}}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \rho ^{29}=3480.0002874...\approx 3480+1/3479.}$${\displaystyle \pm 45\pi /58}$

塑性比の最小多項式は判別式を持つ。虚二次体のヒルベルト類体は⁠ ⁠を付加することで形成できる。⁠ ⁠の整数環の生成元を引数にとると、デデキントのイータ商 の特別な値が得られる。${\displaystyle m(x)=x^{3}-x-1}$ ${\displaystyle \Delta =-23}$ ${\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {\Delta }})}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \tau =(1+{\sqrt {\Delta }})/2\,}$${\displaystyle K}$

${\displaystyle \rho ={\frac {e^{\pi i/24}\,\eta (\tau )}{{\sqrt {2}}\,\eta (2\tau )}}}$^[5 ]

ウェーバー・ラマヌジャン類不変量G _nで表現される

${\displaystyle \rho ={\frac {{\mathfrak {f}}({\sqrt {\Delta }})}{\sqrt {2}}}={\frac {G_{23}}{\sqrt[{4}]{2}}}}$^[6 ]

関連するクラインの j 不変量 ⁠ ⁠${\displaystyle j(\tau )}$の特性はほぼ同一になります。差は1/12659 未満です。 ${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {-\Delta }}}\approx \left({\sqrt {2}}\,\rho \right)^{24}-24}$

⁠ ⁠の楕円積分特異値^[7]は 閉じた形式の表現を持つ ${\displaystyle k_{r}=\lambda ^{*}(r)}$${\displaystyle r=23}$

${\displaystyle \lambda ^{*}(23)=\sin(\arcsin \left(({\sqrt[{4}]{2}}\,\rho )^{-12}\right)/2)}$

（これは金星の軌道の 離心率の1/3 未満です）。

オランダのベネディクト会修道士で建築家のドム・ハンス・ファン・デル・ラーン（1904-1991）は、知覚できる明瞭さを追求する中で、2つの大きさの違いが最小であれば、それらが別個のものとして明確に認識できるということを問いました。また、2つの大きさの比率が最大であれば、それらを関連付けて近さを認識できるということを問いました。彼の観察によると、その答えは1/4と7/1で、大きさの単一オーダーにわたります。^[8]比例の連続性を求めて、彼は公比が2 / (3/4 + 1/7 ^1/7 ) ≈ ρである8つの尺度（大きさの種類）の等比級数を構築しました。有理形式で表すと、この建築的な尺度体系は、彼の名前を冠した数字のサブセットから構築されています。

ファンデルラーン数は、ペラン数列およびパドヴァン数列と密接な関係があります。組合せ論では、n を 2 と 3 の部分に合成する回数は、n番目のファンデルラーン数 で数えられます。

ファンデルラーン数列は3次の再帰関係によって定義される。

${\displaystyle V_{n}=V_{n-2}+V_{n-3}}$n > 2 の場合、

初期値付き

${\displaystyle V_{1}=0,V_{0}=V_{2}=1}$。

最初の数項は 1、0、1、1、1、2、2、3、4、5、7、9、12、16、21、28、37、49、65、86、... です ( OEISのシーケンスA182097 )。連続する項間の限界比が塑性比です。

⁠ ⁠ が${\displaystyle V_{n}}$素数となる最初の14個の添え字nはn = 5, 6, 7, 9, 10, 16, 21, 32, 39, 86, 130, 471, 668, 1264（OEISのシーケンスA112882）です。^[9]最後の数は154桁の10進数です。

このシーケンスは、負のインデックスに拡張することができます。

${\displaystyle V_{n}=V_{n+3}-V_{n+1}}$。

ファンデルラーン数列の生成関数は次のように与え られる。

${\displaystyle {\frac {1}{1-x^{2}-x^{3}}}=\sum _{n=0}^{\infty }V_{n}x^{n}}$^[10]について${\displaystyle x<1/\rho \;.}$

この数列は二項係数の和と次のよう に関係している。

${\displaystyle V_{n}=\sum _{k=\lfloor (n+2)/3\rfloor }^{\lfloor n/2\rfloor }{k \choose n-2k}}$^[11 ]

再帰方程式の特性方程式はである。3つの解が実根⁠ ⁠と共役対⁠ ⁠および⁠ ⁠である場合、ファンデルラーン数はビネの公式^{[11]で計算できる。}${\displaystyle x^{3}-x-1=0}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle V_{n-1}=a\alpha ^{n}+b\beta ^{n}+c\gamma ^{n}}$、実数⁠ ⁠${\displaystyle a}$および共役⁠ ⁠${\displaystyle b}$および⁠ ⁠${\displaystyle c}$の根。${\displaystyle 23x^{3}+x-1=0}$

およびなので、数⁠ ⁠は に最も近い整数であり、n > 1かつ0.31062 88296 40467 07776 19027...となります。${\displaystyle \left\vert b\beta ^{n}+c\gamma ^{n}\right\vert <1/{\sqrt {\alpha ^{n}}}}$${\displaystyle \alpha =\rho }$${\displaystyle V_{n}}$${\displaystyle a\,\rho ^{n+1}}$${\displaystyle a=\rho /(3\rho ^{2}-1)=}$

係数は、関連するシーケンスのビネの公式になります。 ${\displaystyle a=b=c=1}$${\displaystyle P_{n}=2V_{n}+V_{n-3}}$

最初の数項は 3、0、2、3、2、5、5、7、10、12、17、22、29、39、51、68、90、119、... です ( OEISのシーケンスA001608 )。

このペラン数列はフェルマーの性質を持つ。すなわち、pが素数ならば、である。逆は成り立たないが、擬素数の数が少ないため、この数列は特別なものとなっている。^[12] 10の⁸乗未満の合成数でこのテストに合格したのは、n = 271441、904631、16532714、24658561、27422714、27664033、46672291の7つだけである。 ^[13]${\displaystyle P_{p}\equiv P_{1}{\bmod {p}}}$ ${\displaystyle \,n\mid P_{n}}$

ファンデルラーン数は、実固有値を持つ行列のn > 2の積分乗として得られる [ 10 ^] ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle Q={\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}},}$

${\displaystyle Q^{n}={\begin{pmatrix}V_{n}&V_{n+1}&V_{n-1}\\V_{n-1}&V_{n}&V_{n-2}\\V_{n-2}&V_{n-1}&V_{n-3}\end{pmatrix}}}$

⁠ ⁠のトレースはペラン数を与えます。 ${\displaystyle Q^{n}}$

あるいは、⁠ ⁠ は、${\displaystyle Q}$対応する 置換規則を持つアルファベット⁠ ⁠ ⁠上のD0Lリンデンマイヤーシステムの接続行列として解釈できる。 ${\displaystyle \{a,b,c\}}$

${\displaystyle {\begin{cases}a\;\mapsto \;b\\b\;\mapsto \;ac\\c\;\mapsto \;a\end{cases}}}$

および開始者⁠ ⁠${\displaystyle w_{0}=c}$ 。置換を繰り返すことによって生成される一連の単語⁠ ⁠ は${\displaystyle w_{n}}$、c、b、aの数が連続するファンデルラーン数に等しいという性質を持っています。それらの長さは${\displaystyle l(w_{n})=V_{n+2}.}$

この文字列書き換えプロセスに関連して、ラウジーフラクタルと呼ばれる3つの重なり合った自己相似タイルのセットがあり、複数世代の文字シーケンスに含まれる組み合わせ情報を視覚化します。 ^[14]

正方形を３つの相似な長方形に分割する方法は正確には３つある：^{[15] [16]}

1. 縦横比が 3:1 の 3 つの合同な長方形によって与えられる自明な解。
2. 3 つの長方形のうち 2 つが合同で、3 つ目の長方形の辺の長さが他の 2 つの長方形の 2 倍になる解。長方形の縦横比は 3:2 です。
3. 3 つの長方形がすべて異なるサイズで、縦横比がρ ²である解。3 つの長方形の線形サイズの比は、ρ (大:中)、ρ ² (中:小)、ρ ³ (大:小) です。最大の長方形の内部の長い辺 (正方形の断層線) は、正方形の 4 つの辺のうち 2 つを、それぞれ ρ の比率で互いに並ぶ 2 つの線分に分割します。中サイズの長方形の内部の一致する短い辺と小さい長方形の長い辺は、正方形のその他の 2 つの辺の 1 つを、 ρ ^{4 の}比率で互いに並ぶ 2 つの線分に分割します。

アスペクト比ρ ²の長方形を正方形の相似長方形に分割するために使用できるという事実は、ラウス・フルヴィッツの定理に関連する数ρ ²の代数的性質と同等である。すなわち、その共役数はすべて正の実部を持つ。^{[17] [18]}

単位辺の長さに対する スナブ二十二十二面体の外接半径は

${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {2\rho -1}{\rho -1}}}}$. ^[19]

高さ1、長さ⁠ ⁠${\displaystyle \rho ^{2}}$、対角線の長さ( による)の長方形が与えられます。対角線上の三角形の高さは、各垂直フィートが対角線を ⁠ ⁠ の比率で分割する高さです。 ${\displaystyle {\sqrt {\rho ^{5}}}}$${\displaystyle 1+\rho ^{4}=\rho ^{5}}$ ${\displaystyle 1/{\sqrt {\rho }}\,;}$${\displaystyle \rho ^{4}}$

左側では、辺の長さが1の正方形を切り取り、下降対角線との交点をマークします。残った長方形の縦横比は ⁠ ⁠${\displaystyle \rho :1}$になります（ による）。交点を通る2番目の水平切断によって、元の長方形を4つの部分に分割します。^[20]${\displaystyle \rho ^{2}-1=\rho ^{-1}}$

親のロー二乗長方形と対角線に沿った 2 つの拡大縮小されたコピーは、比率で線形サイズを持ちます。対角線の反対側にある長方形の面積は両方とも⁠ ⁠に等しく、アスペクト比は⁠ ⁠ (下) と⁠ ⁠ (上) です。 ${\displaystyle \rho ^{3}:\rho :1.}$${\displaystyle 1/\rho ^{3}}$${\displaystyle \rho ^{3}}$${\displaystyle \rho }$

図を高度の足を通る垂直線でさらに細分化すると、対角線の長さとその（これまでの）7 つの異なるサブセクションの比率は、両足の間のスパンに相当します。 ${\displaystyle \rho ^{6}:\rho ^{5}:\rho ^{4}:\rho ^{2}+1:}$ ${\displaystyle \,\rho ^{3}:\rho ^{2}:\rho :1,}$${\displaystyle \rho ^{2}+1}$

対角線の長さが⁠ ⁠${\displaystyle 1/\rho ^{2}}$の比である入れ子になったロー平方長方形は、交差点からの距離で収束します。これは、区間[−1,1]で3次ラグランジュ補間を最適化する唯一の正のノードに等しいです。最適なノードセットT = {−1,−t, t, 1 } の場合、ルベーグ関数⁠ ⁠ は臨界点^[21]で最小の3次ルベーグ定数 ⁠ ⁠ に評価されます。であるため、これは収束点から左上頂点までの距離でもあります。 ${\displaystyle t={\sqrt {\rho }}/(\rho ^{2}+1)=0.41779130...}$ ${\displaystyle \lambda _{3}(x)}$${\displaystyle \Lambda _{3}(T)}$ ${\displaystyle x_{c}=\rho ^{2}t.}$${\displaystyle t+\rho ^{2}t={\sqrt {\rho }}}$

⁠ ⁠ は${\displaystyle \rho }$、1912年にアクセル・トゥーによって、 1919年にGHハーディによって初めて研究されました。^[4]フランスの高校生ジェラール・コルドニエは、1924年に自らこの比を発見しました。数年後、ハンス・ファン・デル・ラーンとの書簡の中で、彼はこれを放射数（フランス語：le nombre radiant）と呼びました。ファン・デル・ラーンは当初これを基本比（オランダ語：de grondverhouding ）と呼び、 1950年代以降は塑性数（オランダ語：het plastische getal ）を使用しました。 ^[22] 1944年にカール・シーゲルは、 ρが可能な限り最小のピソット・ヴィジャヤラガヴァン数であることを示し、トゥーに敬意を表してこの数に名前を付けることを提案しました。

黄金比や白銀比の名称とは異なり、プラスチックという言葉はファン・デル・ラーンが特定の物質を指すために意図したものではなく、むしろ形容詞的な意味で、三次元の形状を与えることができるものを意味するものでした。^[23]リチャード・パドヴァンによると、これは、数の特徴的な比率、⁠3/4⁠と⁠1/7⁠、これは人間の知覚が物理的な大きさを他の大きさと関連付ける限界に関係しています。ファン・デル・ラーンは1967年に聖ベネディクトゥスベルク修道院教会をこの塑性的な数の比率に合わせて設計しました。^[24]

プラスチック数は銀数と呼ばれることもあります。これはミドハト・J・ガザレ^[25]が付けた名前で、その後マーティン・ガードナー^[26]が使用しましたが、この名前は、ヴェラ・W・デ・スピナデルが最初に説明した金属比の1つである白銀比 1 + √ 2を指すのがより一般的です。ガードナーはρ ²を「ハイファイ」と呼ぶことを提案し、ドナルド・クヌースは、この名前のために、ギリシャ文字ファイ（「φ」）の中央の円が盛り上がった異形であり、ジョージア文字のパリ（「Ⴔ」）に似た特別な印刷マークを作成しました。

• 次のような方程式の解: ${\displaystyle x^{3}=x+1}$
  • 黄金比– 方程式の唯一の正の解${\displaystyle x^{2}=x+1}$
  • スーパー黄金比– 方程式の唯一の真の解${\displaystyle x^{3}=x^{2}+1}$

• ジョルジョ・ピエトロコラによるタルタペラゴのプラスチック長方形とパドヴァンのシーケンス。
• ファン デル ラーン アーカイブにあるドム ハンス ファン デル ラーンのデジタル研究室。
• ハリス、エドモンド（2019年3月15日）、「The Plastic Ratio」（動画）、YouTube、ブレイディ・ハラン、2021年12月21日時点のオリジナルよりアーカイブ、 2019年3月15日閲覧。。