スパイラル

二次元螺旋の最も重要な種類には、以下のようなものがある。

• アルキメデス螺旋：${\displaystyle r=a\varphi }$
• 双曲線螺旋：${\displaystyle r=a/\varphi }$
• フェルマーの螺旋：${\displaystyle r=a\varphi ^{1/2}}$
• リトゥス：​${\displaystyle r=a\varphi ^{-1/2}}$
• 対数螺旋：${\displaystyle r=ae^{k\varphi }}$
• コルヌ螺旋またはクロソイド
• フィボナッチ螺旋と黄金螺旋
• テオドロスの螺旋：隣接する直角三角形で構成されたアルキメデス螺旋の近似形
• 円のインボリュート

• 
  アルキメデス螺旋
• 
  双曲線螺旋
• 
  フェルマーの螺旋
• 
  リトゥス
• 
  対数螺旋
• 
  コルヌ螺旋
• 
  テオドロスの螺旋
• 
  フィボナッチ螺旋（黄金螺旋）
• 
  円のインボリュート曲線（黒）は、アルキメデス螺旋（赤）と同一ではありません。

例えば、カーペットを巻くときにアルキメデス螺旋が生成されます。^{[ 5 ]}

双曲螺旋は、特別な中心投影を持つ螺旋の像として現れます（図を参照）。双曲螺旋は、円反転を伴うアルキメデス螺旋の像であるため、逆螺旋と呼ばれることもあります（下記参照）。^{[ 6 ]}

対数螺旋という名前は、次の式に由来する。$\displaystyle \varphi ={\tfrac {1}{k}}\cdot \ln {\tfrac {r}{a}}}$これに近似する例は自然界にも見られる。

最初の5つの例の枠組みに当てはまらない螺旋：

コルヌ螺旋には漸近点が 2 つあります。テオドロスの螺旋 は多角形です。 フィボナッチ螺旋は円弧の列で構成されています。円のインボリュート はアルキメデス曲線に似ていますが、そうではありません。円のインボリュートを参照してください。

以下の考察は、極方程式で記述できる螺旋に関するものである。${\displaystyle r=r(\varphi )}$特に、${\displaystyle r(\varphi )=a\varphi ^{n}}$（アルキメデス螺旋、双曲螺旋、フェルマー螺旋、リトゥス螺旋）および対数螺旋${\displaystyle r=ae^{k\varphi }}$。

極傾斜角

角度${\displaystyle \alpha }$螺旋接線と対応する極円（図を参照）の間の角度を極傾斜角と呼び、${\displaystyle \tan \alpha }$極地傾斜。

極座標におけるベクトル解析から、次の式が得られる。

$\displaystyle \tan \alpha ={\frac {r'}{r}}\ .}$

したがって、螺旋の傾斜は${\displaystyle \;r=a\varphi ^{n}\;}$は

• ${\displaystyle \tan \alpha ={\frac {n}{\varphi }}\ .}$

アルキメデス螺旋の場合（${\displaystyle n=1}$極勾配は${\displaystyle \tan \alpha ={\tfrac {1}{\varphi }}\ .}$

対数螺旋では、${\displaystyle \tan \alpha =k\ }$定数である。

曲率

曲率${\displaystyle \kappa }$極方程式を持つ曲線${\displaystyle r=r(\varphi )}$は

${\displaystyle \kappa ={\frac {r^{2}+2(r')^{2}-r\;r''}{(r^{2}+(r')^{2})^{3/2}}}\ .}$

螺旋の場合$\displaystyle r=a\varphi ^{n}}$1つ手に入れる

• ${\displaystyle \kappa =\dotsb ={\frac {1}{a\varphi ^{n-1}}}{\frac {\varphi ^{2}+n^{2}+n}{(\varphi ^{2}+n^{2})^{3/2}}}\ .}$

の場合${\displaystyle n=1}$（アルキメデス螺旋）${\displaystyle \kappa ={\tfrac {\varphi ^{2}+2}{a(\varphi ^{2}+1)^{3/2}}}}$のみ ​${\displaystyle -1<n<0}$螺旋には変曲点がある。

対数螺旋の曲率${\displaystyle \;r=ae^{k\varphi }\;}$は${\displaystyle \;\kappa ={\tfrac {1}{r{\sqrt {1+k^{2}}}}}\;.}$

セクターエリア

極方程式で表される曲線の扇形の面積（図を参照）${\displaystyle r=r(\varphi )}$は

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}r(\varphi )^{2}\;d\varphi \ .}$

方程式を持つ螺旋の場合${\displaystyle r=a\varphi ^{n}\;}$1つ手に入れる

• ${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}a^{2}\varphi ^{2n}\;d\varphi ={\frac {a^{2}}{2(2n+1)}}{\big (}\varphi _{2}^{2n+1}-\varphi _{1}^{2n+1}{\big )}\ ,\quad {\text{if}}\quad n\neq -{\frac {1}{2}},}$

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}{\frac {a^{2}}{\varphi }}\;d\varphi ={\frac {a^{2}}{2}}(\ln \varphi _{2}-\ln \varphi _{1})\ ,\quad {\text{if}}\quad n=-{\frac {1}{2}}\ .}$

対数螺旋の公式${\displaystyle \;r=ae^{k\varphi }\;}$は ${\displaystyle \ A={\tfrac {r(\varphi _{2})^{2}-r(\varphi _{1})^{2})}{4k}}\ .}$

弧の長さ

極方程式で表される曲線の弧の長さ${\displaystyle r=r(\varphi )}$は

${\displaystyle L=\int \limits _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}{\sqrt {\left(r^{\prime }(\varphi )\right)^{2}+r^{2}(\varphi )}}\,\mathrm {d} \varphi \ .}$

螺旋状の場合${\displaystyle r=a\varphi ^{n}\;}$長さは

• ${\displaystyle L=\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}{\sqrt {{\frac {n^{2}r^{2}}{\varphi ^{2}}}+r^{2}}}\;d\varphi =a\int \limits _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}\varphi ^{n-1}{\sqrt {n^{2}+\varphi ^{2}}}d\varphi \ .}$

これらの積分すべてが適切な表で解けるわけではない。フェルマー螺旋の場合、積分は楕円積分のみで表すことができる。

対数螺旋の弧長${\displaystyle \;r=ae^{k\varphi }\;}$は${\displaystyle \ L={\tfrac {\sqrt {k^{2}+1}}{k}}{\big (}r(\varphi _{2})-r(\varphi _{1}){\big )}\ .}$

円反転

単位円における反転は、極座標では次のように簡単に表せる。${\displaystyle \ (r,\varphi )\mapsto ({\tfrac {1}{r}},\varphi )\ }$。

• 螺旋の画像${\displaystyle \ r=a\varphi ^{n}\ }$単位円における反転の下では、極方程式を持つ螺旋が描かれる。${\displaystyle \ r={\tfrac {1}{a}}\varphi ^{-n}\ }$例えば、アルキメデス螺旋の逆螺旋は双曲線螺旋である。

対数螺旋${\displaystyle \;r=ae^{k\varphi }\;}$対数螺旋にマッピングされる${\displaystyle \;r={\tfrac {1}{a}}e^{-k\varphi }\;.}$

機能${\displaystyle r(\varphi )}$螺旋の関数は通常、厳密に単調で、連続的で、有界ではありません。標準的な螺旋の場合、 ${\displaystyle r(\varphi )}$はべき関数または指数関数のいずれかです。${\displaystyle r(\varphi )}$有界関数であれば、螺旋も有界である。適切な有界関数としては、arctan関数が挙げられる。

例１

設定${\displaystyle \;r=a\arctan(k\varphi )\;}$そして選択${\displaystyle \;k=0.1,a=4,\;\varphi \geq 0\;}$原点から始まり（アルキメデス螺旋のように）、半径の円に近づく螺旋を描く。${\displaystyle \;r=a\pi /2\;}$（左図）

例２

のために${\displaystyle \;r=a(\arctan(k\varphi )+\pi /2)\;}$そして${\displaystyle \;k=0.2,a=2,\;-\infty <\varphi <\infty \;}$原点に近づく螺旋（双曲線螺旋のように）が得られ、半径の円に近づく。${\displaystyle \;r=a\pi \;}$（右図参照）

アメリカン・ヘリテージ辞典における「螺旋」の主な定義は次の2つです。^{[ 7 ]}

1. 平面上の曲線で、固定された中心点の周りを、その点からの距離が連続的に増加または減少しながら曲がりくねって描かれるもの。
2. 軸に平行に移動しながら、一定または連続的に変化する距離で軸の周りを回転する三次元曲線。らせん。

最初の定義は、平面内で互いに垂直な両方向に伸びる平面曲線を表しています。蓄音機のレコードの片面にある溝は、平面螺旋に非常に近い形状をしています（溝の幅と深さが有限であるため、完全な例とは言えませんが、溝と溝の間の間隔が溝内よりも広いためではありません）。連続するループの直径が異なることに注意してください。別の例として、渦巻銀河の腕の「中心線」は対数螺旋を描いています。

2つ目の定義には、螺旋の3次元的な類似物として2種類が含まれる。

• 円錐形または渦巻き状のバネ（電池ボックス内の単3形または単4形電池のマイナス端子を保持して接触させるために使用されるバネを含む）や、シンクで水が排水されるときに発生する渦は、しばしば螺旋または円錐状のらせんとして表現されます。
• 定義2には、円筒形のコイルばねとDNA鎖も含まれており、どちらもかなりらせん状であるため、「らせん」という表現は「螺旋」よりも適切である。一般に、曲線の連続する「ループ」の直径が同じ場合、「螺旋」という表現はほとんど適用されない。^{[ 7 ]}

横の図では、下部の黒い曲線はアルキメデス螺旋、緑色の曲線はらせん曲線です。赤色で示されている曲線は円錐螺旋です。

よく知られている螺旋状の空間曲線には、円錐螺旋と球面螺旋があり、以下で定義します。空間螺旋のもう1つの例は、トーラス螺旋です。^{[ 8 ]}螺旋がらせん状に巻かれたもの^{[ 9 ]}は、二重らせんとも呼ばれ、^{[ 10 ]}コイル状のフィラメントなどの物体を表します。

もし${\displaystyle x}$-${\displaystyle y}$-パラメトリック表現で螺旋を平面化する

${\displaystyle x=r(\varphi )\cos \varphi \ ,\qquad y=r(\varphi )\sin \varphi }$

が与えられれば、3番目の座標を追加することができる。${\displaystyle z(\varphi )}$、現在の空間曲線は方程式を持つ円錐上にある。${\displaystyle \;m(x^{2}+y^{2})=(z-z_{0})^{2}\ ,\ m>0\;}$:

• ${\displaystyle x=r(\varphi )\cos \varphi \ ,\qquad y=r(\varphi )\sin \varphi \ ,\qquad \color {red}{z=z_{0}+mr(\varphi )}\ .}$

この手順に基づいて描かれた螺旋は、円錐螺旋と呼ばれます。

例

アルキメデス螺旋から始まる${\displaystyle \;r(\varphi )=a\varphi \;}$円錐螺旋が得られる（図を参照）。

${\displaystyle x=a\varphi \cos \varphi \ ,\qquad y=a\varphi \sin \varphi \ ,\qquad z=z_{0}+ma\varphi \ ,\quad \varphi \geq 0\ .}$

円筒形の地図投影法であればどれでも球面螺旋の基礎として使用できます。地図上に直線を描き、その直線を球面に投影したものが球面曲線の一種です。

球面螺旋の最も基本的な種類の一つにクレリア曲線があり、これは正距円筒図法では直線に投影されます。これらの曲線は、経度と余緯度が直線関係にあり、平面上のアルキメデス螺旋に類似しています。方位等距離投影法では、クレリア曲線は平面上のアルキメデス螺旋に投影されます。

単位球を球面座標で表すと

${\displaystyle x=\sin \theta \,\cos \varphi ,\quad y=\sin \theta \,\sin \varphi ,\quad z=\cos \theta ,}$

次に線形従属を設定する${\displaystyle \varphi =c\theta }$角度座標は、パラメータに関してパラメトリック曲線を与える。${\displaystyle \theta }$⁠ , ^{[ 11 ]}

${\displaystyle {\bigl (}\sin \theta \,\cos c\theta ,\,\sin \theta \,\sin c\theta ,\,\cos \theta \,{\bigr )}.}$

• 
  クレリアカーブ
• 
  ロクソドローム

球面螺旋のもう一つの類型は、メルカトル図法で直線に投影される等角航路（または航路図）です。これらは、一定の方位で航行する船が描く航跡です。等角航路（経線と緯線を除く）は、余緯度で一定の間隔を保つクレリア曲線とは異なり、極の周りを無限に螺旋を描き、回を重ねるごとに極に近づいていきます。立体投影では、等角航路は平面上で対数螺旋に投影されます。