メンガースポンジ

数学において、メンガースポンジ（メンガーキューブ、メンガーユニバーサル曲線、シェルピンスキーキューブ、シェルピンスキースポンジとも呼ばれる）^{[1] [2] [3]は}フラクタル曲線である。これは、1次元カントール集合と2次元シェルピンスキーカーペットの3次元一般化である。これは、1926年にカール・メンガーによって位相次元の概念の研究の中で初めて説明された。^{[4] [5]}

メンガースポンジの構造は次のように説明できます。

1. キューブから始めましょう。
2. ルービック キューブと同様の方法で、立方体の各面を 9 つの正方形に分割します。これにより、立方体が 27 個の小さな立方体に分割されます。
3. 各面の中央にある小さい立方体を削除し、大きい立方体の中央にある小さい立方体を削除して、20 個の小さい立方体を残します。これがレベル 1 のメンガー スポンジです (ボイド キューブに似ています)。
4. 残りの小さな立方体ごとに手順 2 と 3 を繰り返し、これを無限に繰り返します。

2 回目の反復ではレベル 2 のスポンジが生成され、3 回目の反復ではレベル 3 のスポンジが生成されます。以下同様に続きます。メンガー スポンジ自体は、無限回の反復後のこのプロセスの限界です。

メンガースポンジの 番目のステージは、各辺の長さが(1/3) ⁿの小さな立方体で構成されています。 の全体積はしたがって です。 の全表面積は式 で与えられます。^{[6] [7]}したがって、構築の体積はゼロに近づきますが、表面積は限りなく増加します。しかし、構築が進むにつれて、構築内の選択された任意の表面は完全に穴があけられるため、極限は立体でも表面でもありません。その位相次元は 1 であり、したがって曲線として識別されます。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle M_{n}}$${\displaystyle 20^{n}}$${\displaystyle M_{n}}$${\textstyle \left({\frac {20}{27}}\right)^{n}}$${\displaystyle M_{n}}$${\displaystyle 2(20/9)^{n}+4(8/9)^{n}}$

構造の各面はシェルピンスキーカーペットとなり、スポンジと立方体の任意の対角線または面の任意の中線との交点はカントール集合となる。スポンジの重心を通り、空間対角線に​​垂直な断面は、6回対称に配置された六芒星で区切られた正六角形である。 ^[8]これらの六芒星の数は、降順で並べた次の再帰関係で与えられる: 、。^[9]${\displaystyle a_{n}=9a_{n-1}-12a_{n-2}}$${\displaystyle a_{0}=1,\ a_{1}=6}$

スポンジのハウスドルフ次元は⁠ログ20/ログ3⁠ ≅ 2.727。メンガースポンジのルベーグ被覆次元は1で、任意の曲線と同じです。メンガーは1926年の構成で、スポンジが普遍曲線であることを示しました。つまり、すべての曲線はメンガースポンジのサブセットに同相であり、曲線とはルベーグ被覆次元1のコンパクトな 距離空間を意味します。これには、任意の方法で接続された任意の可算数のエッジ、頂点、および閉ループを持つツリーとグラフが含まれます。同様に、シェルピンスキーカーペットは、2次元平面に描画できるすべての曲線の普遍曲線です。3次元で構築されたメンガースポンジは、このアイデアを平面ではなく任意の数の次元に埋め込まれる可能性のある グラフに拡張します。

2024年、ブローデン、ナザレ、フォスは、すべての結び目がメンガースポンジ内にも存在することを証明した。^[10]

メンガースポンジは閉集合です。有界集合でもあるため、ハイン・ボレルの定理によりコンパクト集合であることが示されます。ルベーグ測度は 0です。連続パスを含むため、無数集合です。

実験では、メンガースポンジのような構造を持つ立方体は、同じ材料であっても、気孔のない立方体よりも5倍も衝撃を分散できることも示されました。 ^[11]

正式には、メンガースポンジは次のように定義できます（集合積を使用）。

${\displaystyle M:=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }M_{n}}$

単位立方体はどこにあり、 ${\displaystyle M_{0}}$

${\displaystyle M_{n+1}:=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}:\left({\begin{array}{r}\exists i,j,k\in \{0,1,2\}\,\,(3x-i,3y-j,3z-k)\in M_{n}\\{\text{そして、}}i,j,k{\text{のうち最大でも 1 つが 1 に等しい}}\end{array}}\right)\right\}.}$

メガメンガーは、ロンドン大学クイーン・メアリー校のマット・パーカーとジェームズ・マディソン大学のローラ・タールマンが先駆けとなった、最大のフラクタルモデルの構築を目指すプロジェクトである。各小さな立方体は、6枚の折り畳まれた名刺を連結して作られており、レベル4のスポンジの合計は96万枚である。外面は、より美観を高めるために、シェルピンスキーカーペットのデザインが印刷された紙または厚紙のパネルで覆われている。^[12] 2014年には、レベル3のメンガースポンジが20個構築され、これらを組み合わせると分散型レベル4のメンガースポンジが形成される。^[13]

• 
  バース大学のメガメンジャーの一人
• 
  2015年ケンブリッジ科学フェスティバルでケンブリッジレベル3メガメンガーの中心から見たテトリックスの模型

エルサレムキューブは、 2011年にエリック・ベアードによって初めて説明されたフラクタルオブジェクトです。これは、立方体にギリシャ十字形の穴を再帰的に開けることによって作成されます。 ^{[14] [15]}この構造はメンガースポンジに似ていますが、2つの異なるサイズの立方体があります。名前は、立方体の表面がエルサレム十字のパターンに似ていることに由来しています。^[16]

エルサレムキューブの構造は次のように説明できます。

1. キューブから始めましょう。
2. 立方体の各辺に十字を切り、元の立方体の角に 8 個の立方体 (ランク +1) を残し、ランク +1 の立方体の間に元の立方体の端の中央に 12 個の小さい立方体 (ランク +2) を残します。
3. ランク 1 と 2 のキューブに対してこのプロセスを繰り返します。

これを無限回繰り返すと、エルサレムキューブが生成されます。

N 階の立方体の辺の長さは、N+1 階の立方体 2 個と N+2 階の立方体の辺の長さに等しいため、スケーリング係数は を満たす必要があり、したがって、フラクタルは有理格子上の点を使用して構築できないことを意味します。 ${\displaystyle k^{2}+2k=1}$${\displaystyle k={\sqrt {2}}-1}$

N階の立方体はN+1階の立方体8個とN+2階の立方体12個に分割されるため、ハウスドルフ次元は を満たす必要があります。正確な解は ${\displaystyle 8k^{d}+12(k^{2})^{d}=1}$

${\displaystyle d={\frac {\log \left({\frac {\sqrt {7}}{6}}-{\frac {1}{3}}\right)}{\log \left({\sqrt {2}}-1\right)}}}$

これは約2.529である

メンガースポンジと同様に、エルサレム立方体の面は同じスケール係数を持つフラクタル^[16]である。この場合、ハウスドルフ次元はを満たす必要がある。正確な解は ${\displaystyle 4k^{d}+4(k^{2})^{d}=1}$

${\displaystyle d={\frac {\log \left({\frac {{\sqrt {2}}-1}{2}}\right)}{\log \left({\sqrt {2}}-1\right)}}}$

これは約1.786である

• 
  エルサレムキューブの3番目の反復
• 
  3Dプリントモデル エルサレムキューブ

• モーズリースノーフレークは、角が再帰的に削除された立方体ベースのフラクタルです。^[17]
• テトリックスは、四面体に配置された4つの小さなコピーから作られた四面体ベースのフラクタルです。^[18]
• シェルピンスキー・メンガーのスノーフレークは、8つのコーナーキューブと1つの中央キューブが、下から上への再帰ステップごとに保持される、キューブベースのフラクタルです。この特異な3次元フラクタルは、平面のような本来2次元のオブジェクトのハウスドルフ次元を持ちます。つまり、⁠ログ9/ログ3⁠ =2

• アポロニアンガスケット
• カンターキューブ
• コッホスノーフレーク
• シェルピンスキー四面体
• シェルピンスキー三角形
• ハウスドルフ次元によるフラクタルのリスト

• イワニエツ、タデウシュ、マーティン、ガヴェン（2001）、幾何関数論と非線形解析、オックスフォード数学モノグラフ、クラレンドン・プレス、オックスフォード大学出版局、ISBN 978-0-19-850929-5、MR  1859913。
• 周、李 (2007)、「問題 11208: メンガースポンジの彩色数」、アメリカ数学月刊誌、114 (9): 842、JSTOR  27642353

ウィキメディア・コモンズには、メンガー海綿動物に関連するメディアがあります。

• Wolfram MathWorldのMengerスポンジ
• ジャンニーン・モーズリー博士による「名刺メンガースポンジ」 - フィギュリング研究所でこの巨大な折り紙フラクタルに関するオンライン展示
• インタラクティブなメンガースポンジ
• インタラクティブなJavaモデル
• パズルハント — メンガー・シェルピンスキースポンジを使ってゼノンのパラドックスを説明するビデオ
• SunFlowでレンダリングされたメンガー球
• ポストイット メンガー スポンジ – ポストイットで作られたレベル 3 メンガー スポンジ
• メンガースポンジの謎。斜めに切ると星が現れます
• OEISシーケンス A212596 (折り紙でレベル n のメンガー スポンジを作成するために必要なカードの数)
• 2 人の「数学者」による、Woolly Thoughts レベル 2 Menger Sponge
• ディッカウ、R.：エルサレムキューブのさらなる議論。
• ミラー、P.: 3D ディスプレイおよびレンダリング システムのストレス テスト用に明示的に定義されたメンガー スポンジに関する説明