フレクサゴン

幾何学において、フレキサゴンは平らなモデルであり、通常は紙片を折って作られ、特定の方法で曲げたり折ったりすることで、元々前面と背面にあった 2 つの面以外の面を露出させることができます。

フレキサゴンは通常、正方形または長方形 (テトラフレキサゴン) または六角形(ヘキサフレキサゴン) です。名前に接頭辞を追加して、モデルが表示できる面の数 (フレキシング前に表示される 2 つの面 (背面と前面) を含む) を示すことができます。たとえば、合計 6 つの面を持つヘキサフレキサゴンは、ヘキサヘキサフレキサゴンと呼ばれます。

ヘキサフレクサゴン理論（つまり、6辺を持つフレクサゴンに関する理論）では、フレクサゴンは通常、パットの観点から定義されます。^{[1] [2]}

2つのフレクサゴンは、一連のつまみと回転によって一方が他方に変換できる場合、同等である。フレクサゴン同値性は同値関係である。^[1]

最初のフレキサゴンであるトリヘキサフレキサゴンを発見したのは、1939年にアメリカのプリンストン大学の学生だったイギリスの数学者アーサー・H・ストーンとされている。ストーンが新しく作ったアメリカの紙はイギリスのバインダーに収まらなかったため、彼は紙の端を切り取って様々な形に折り始めた。 ^[3]こうしてできたものの一つがトリヘキサフレキサゴンを形成した。ストーンの同僚であるブライアント・タッカーマン、リチャード・ファインマン、ジョン・テューキーはこのアイデアに興味を持ち、プリンストン・フレキサゴン委員会を結成した。タッカーマンはフレキサゴンのすべての面を明らかにするためにタッカーマン・トラバースと呼ばれる位相的手法を編み出した。 ^[4]タッカーマン・トラバースはフレキサゴンの各面を他の面に対応付ける図として示される。その際に、彼は各面が必ずしも同じ状態で現れるわけではないことに気付いた。

フレキサゴンは、1956年12月号のサイエンティフィック・アメリカン誌でマーティン・ガードナーによって一般に紹介され、その記事は非常に好評で、ガードナーの「数学ゲーム」コラムのきっかけとなり、同誌でその後25年間連載されました。^{[3] [5]} 1974年、マジシャンのダグ・ヘニングは、ブロードウェイショー「ザ・マジック・ショー」のオリジナルキャストのレコーディングに、自分で作るヘキサフレクサゴンを収録しました。

1955 年、ペンシルバニア州ホームステッド パークのラッセル ロジャースとレナード ダンドレアが特許を申請し、1959 年に「変更可能な娯楽装置など」というタイトルで、ヘキサヘキサフレクサゴンに対して米国特許番号 2,883,195 を取得しました。

彼らの特許では、この装置を「玩具、広告表示装置、または教育用幾何学装置」として応用することが想定されていた。^{[6]ロジャーズが働いていた}ピッツバーグの印刷会社、ハービック・アンド・ヘルド印刷会社によって、そのような新製品がいくつか生産されたが、「ヘックスモ」として販売されたこの装置は普及しなかった。

トリテトラフレクサゴンは、最も単純なテトラフレクサゴン (四角い辺を持つフレクサゴン) です。名前の「トリ」は、3 つの面があることを意味し、フレクサゴンを平らに押したときには、いつでもそのうちの 2 つの面が見えるようになっています。トリテトラフレクサゴンの構造は、伝統的な子供のおもちゃであるヤコブ ラダー、ルービック マジック、マジック ウォレット トリック、またはヒンバーウォレットで使用されているメカニズムに似ています。

トリテトラフレクサゴンには 2 つの行き止まりがあり、前方に曲がることはできません。別の面に到達するには、後方に曲がるか、フレクサゴンを裏返す必要があります。

より複雑な環状ヘキサテトラフレクサゴンでは、接着は必要ありません。環状ヘキサテトラフレクサゴンには「行き止まり」はありませんが、作成者は開始位置に到達するまで折り続けることができます。プロセス中に側面に色を付けると、状態がより明確にわかります。

トリテトラフレクサゴンとは異なり、ヘキサテトラフレクサゴンには行き止まりがなく、後方に曲げる必要がありません。

ヘキサフレクサゴンにはさまざまな種類があり、組み立てた図形を曲げることで実現できる面の数によって区別されます。(接頭辞のないヘキサフレクサゴンという単語は、他の数字ではなく 6 つの辺を持つ通常のヘキサヘキサフレクサゴンを指す場合があることに注意してください。 )

3 つの面を持つヘキサフレクサゴンは、ヘキサフレクサゴンの中で最も簡単に作成および管理でき、9 つの正三角形に分割された 1 枚の紙片から作成されます。(一部のパターンでは 10 個の三角形が提供され、最終組み立て時にそのうち 2 つが接着されます。)

組み立てるには、国際リサイクルシンボルのように、ストリップを 3 つおきに三角形に折り、3 回反転させてから再びつなぎ合わせます。こうして、1 つの辺が三つ葉の結び目を形成するメビウスの帯が完成します。

このヘキサフレクサゴンには 6 つの面があり、1 枚の紙から折られた 19 個の三角形で構成されています。

折りたたむと、面 1、2、3 は面 4、5、6 よりも見つけやすくなります。

6 つの面すべてを露出させる簡単な方法は、タッカーマン トラバースを使用することです。これは、ヘキサフレクサゴンの特性を最初に調査した人物の 1 人であるブライアント タッカーマンにちなんで名付けられました。タッカーマン トラバースでは、1 つの角をつまんで、毎回まったく同じ角から曲げるという繰り返し曲げ操作を行います。角が開かない場合は、隣接する角に移動して曲げ操作を続けます。この手順により、12 面のサイクルが完成します。ただし、この手順では、1、2、3 が 4、5、6 の 3 倍の頻度で現れます。サイクルは次のように進行します。

1 → 3 → 6 → 1 → 3 → 2 → 4 → 3 → 2 → 1 → 5 → 2

そして再び 1 に戻ります。

各色/面は、複数の方法で露出させることもできます。たとえば、図 6 では、各青い三角形の中央の角にくさび形の装飾が施されていますが、たとえば Y で装飾されたものを中央に持ってくることもできます。異なる色の三角形にはこのような構成が 18 通りあり、理論的にはヘキサヘキサフレクサゴンをあらゆる方法で曲げることで見ることができますが、通常のヘキサヘキサフレクサゴンで曲げられるのは 15 通りだけです。残りの 3 つの構成は、裏側のフラップにある 4、5、6 枚のタイルの配置により不可能です (隣接する 4、5、6 枚のタイルで形成される菱形の 60 度の角度は、側面にのみ現れ、中央には現れません。中央に現れるにはストリップを切断する必要があり、これは位相的に禁止されているためです)。

ヘキサヘキサフレクサゴンは、18 個の正三角形のさまざまな形のネットから作成できます。不規則な紙片から作成された 1 つのヘキサヘキサフレクサゴンは、このバージョンでは 18 個の構成すべてを曲げることができる点を除いて、上に示したものとほぼ同じです。

最も一般的に見られるヘキサフレクサゴンは 3 面または 6 面ですが、面の数が異なるバリエーションも存在します。直線のストリップからは、面の数が 3 の倍数のヘキサフレクサゴンが生成されます。その他の数は、一部のジョイントを折り曲げて一部の面をなくした、直線でないストリップから得られます。多くのストリップはさまざまな方法で折り曲げることができ、さまざまなヘキサフレクサゴン、さまざまな折り畳みマップを作成できます。

最近発見されたこれらのフレキサゴンでは、従来のフレキサゴンの各正方形または正三角形の面がさらに 2 つの直角三角形に分割され、追加の屈曲モードが可能になります。^[7]テトラフレキサゴンの正方形の面を直角二等辺三角形に分割するとオクタフレキサゴンが得られ、^[8]ヘキサフレキサゴンの三角形の面を 30-60-90 の直角三角形に分割するとドデカフレキサゴンが得られます。^[9]

平らな状態では、ペンタフレクサゴンはクライスラーのロゴによく似ています。正五角形が中心から5つの二等辺三角形に分割され、角度は72-54-54です。5回対称であるため、ペンタフレクサゴンは半分に折りたたむことはできません。しかし、複雑な一連の折り曲げにより、前面と背面に1番目と2番目の側面が表示され、以前は隠れていた3番目と4番目の側面が表示されるようになります。^[10]

ペンタフレクサゴンの72-54-54の三角形をさらに36-54-90の直角三角形に分割すると、10辺のデカフレクサゴンの1つのバリエーションが生成されます。^[11]

ペンタフレクサゴンは、正n角形をn個の二等辺三角形に分割することに基づくフレクサゴンの無限シーケンスの1つです。他のフレクサゴンには、ヘプタフレクサゴン、 ^[12]二等辺オクタフレクサゴン、^[13]エニアフレクサゴン、^[14]などがあります。

ハロルド・V・マッキントッシュは、「非平面」フレクサゴン（つまり、平らになるように曲げることができないフレクサゴン）についても説明しています。これは、五角形から折り畳まれたものをペンタフレクサゴンと呼び、^[15]七角形から折り畳まれたものをヘプタフレクサゴンと呼びます。^[16]これらは、上記の「通常の」ペンタフレクサゴンやヘプタフレクサゴンとは区別する必要があります。これらは二等辺三角形から作られ、平らにする ことができます。

フレキサゴンは、ジュリー・チェン（Life Cycle）やエドワード・H・ハッチンス（Album and Voces de México ）などのアーティストブッククリエイターが使用する人気の本の構造でもあります。テトラ-テトラ-フレキサゴンとクロス-フレキサゴンの作り方は、アリサ・ゴールデン著『 Making Handmade Books: 100+ Bindings, Structures and Forms』に記載されています。^[17]

高次のヘキサフレクサゴンはピアーズ・アンソニーの小説『0X』のプロット要素として使われており、その中でフレックスは代替宇宙間の移動に類似していた。^[18]

有名な娯楽数学者であり公教育者でもある ヴィ・ハートは、ヘキサフレクサゴンに関するビデオで注目を集めました。

• ケイリーツリー
• 幾何群論
• カレイドサイクル

• マーティン・ガードナーは、 1956 年 12 月のScientific American 誌のMathematical Gamesコラムで、ヘキサフレクサゴンの優れた紹介記事を書きました。この紹介記事は次の書籍にも掲載されています。
  • 「サイエンティフィック・アメリカン」数学パズルと娯楽の本。サイモン＆シュスター。1959年。
  • ヘキサフレクサゴンとその他の数学的転換: 初の「サイエンティフィック・アメリカン」パズルとゲームの本。シカゴ大学出版局。1988 年。ISBN 0-226-28254-6。
  • 巨大な数学の本。WW Norton & Co. 2001年。ISBN 0-393-02023-1。
  • ヘキサフレクサゴン、確率パラドックス、ハノイの塔：マーティン・ガードナーの最初の数学パズルとゲーム集。ケンブリッジ大学出版局。2008年。ISBN 978-0-521-73525-4。
  • ガードナー、マーティン (2012 年 1 月)。「ヘキサフレクサゴン」。カレッジ数学ジャーナル。43 (1) : 2–5。doi : 10.4169 /college.math.j.43.1.002。JSTOR 10.4169  /college.math.j.43.1.002。S2CID 218544330  。この号には、Pook による別の記事と、Iacob、McLean、Hua による記事も掲載されています。
• ジョーンズ、マデリン (1966)。『ミステリアス フレキサゴン: 紙折りの魅力的な新概念への入門』クラウン パブリッシャー。
• ミッチェル、デイビッド（2000年）。フレキサゴンの魔法 - 切り取って作る紙の珍品。タルクィン。ISBN 1-899618-28-7。
• プーク、レス（2006年）。フレキサゴンの裏返し。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-81970-9。
• Pook, Les (2009)。Flexagonsで本気で楽しもう、概要とガイド。Springer。ISBN 978-90-481-2502-9。

ウィキメディア・コモンズには、フレクサゴンに関連するメディアがあります。

• ハロルド・V・マッキントッシュ著『My Flexagon Experiences 』 – 歴史的情報と理論が収録されている
• Flexagon ポータル – Robin Moseley のサイトには、さまざまなフレキサゴンのパターンが掲載されています。
• フレクサゴン
• Flexagons – さまざまな形のフレキサゴンが掲載されている Scott Sherman のサイト。
• MathWorldのテトラフレクサゴンに関するページ（3 つのネットを含む）
• フレキサゴン – 1962 年の論文、Antony S. Conrad と Daniel K. Hartline (RIAS)
• ヘキサフレクサゴンに関する MathWorld のエントリ
• 西山 豊(2010)。「ヘキサフレクサゴンの多重折り畳みの一般解」IJPAM、第58巻、第1号、113-124ページ。「フレクサゴンの19面」
• Vi Hartの Hexaflexagons に関するビデオ パート 1 パート 2