4次元空間

4 次元空間( 4D ) は、 3 次元空間( 3D )の概念を数学的に拡張したものです。3 次元空間は、日常の世界における物体のサイズや位置を表すには次元と呼ばれる 3 つの数値だけが必要であるという観察を、可能な限り単純に抽象化したものです。たとえば、長方形の箱の体積は、その長さ、幅、高さ ( x、y、zと表記されることが多い) を測定して掛け合わせることで求められます。この通常の空間の概念は、もともと日常生活の空間的経験から抽象化されたユークリッド幾何学に対応するため、ユークリッド空間と呼ばれます。

4次元目を追加するというアイデアは、1754年に出版されたジャン・ル・ロン・ダランベールの『次元』^[1]に登場しているが、3次元を超える数学が登場したのは19世紀になってからである。任意の次元数を持つユークリッド空間の一般概念は、 1853年以前にスイスの数学者ルートヴィヒ・シュレーフリによって完全に展開された。シュレーフリの研究は生前ほとんど注目されず、死後の1901年に出版されたが^[2]、その間にユークリッドの4次元目は他の人々によって再発見された。1880年にチャールズ・ハワード・ヒントンはエッセイ「4次元とは何か?」でそれを普及させ、その中で線、正方形、立方体の特性を段階的に一般化しながら「 4次元立方体」の概念を説明した。 Hinton 法の最も単純な形式は、2D 空間に通常の 3D 立方体 2 つを描き、一方が他方を囲み、「見えない」距離で分離し、次にそれらの対応する頂点間に線を引くことです。これは、付属のアニメーションで、より大きな外側の立方体の内側に小さな内側の立方体があるときにいつでも確認できます。この場合、2 つの立方体の頂点を結ぶ 8 本の線は、 「見えない」 4 次元の単一の方向を表します。

それ以来、高次元空間（3次元以上）は、現代の数学と物理学を形式的に表現するための基礎の1つになりました。これらのトピックの大部分は、そのような空間を使用することなく、現在の形では存在し得ませんでした。アインシュタインの相対性理論は4D空間で定式化されていますが、^[3]ユークリッド4D空間ではありません。アインシュタインの時空の概念は、シュレーフリのユークリッド4D空間の4つの対称的な空間次元ではなく、3つの空間次元と1つの時間次元を持つ非ユークリッド幾何学に基づくミンコフスキー構造を持っています。

ユークリッド 4D 空間内の個々の位置は、ベクトルまたは4 組、つまり( x、y、z、w )などの数字の順序付きリストとして指定できます。このような位置がより複雑な形状にリンクされたときにのみ、高次元空間の豊かさと幾何学的な複雑さが完全に現れます。その複雑さのヒントは、3D立方体に類似した、可能な限り最も単純な通常の 4D オブジェクトの 1 つであるtesseractの 2D アニメーションで確認できます。

ラグランジュは、1755年頃の研究に基づいて1788年に出版された分析力学の中で、力学は4次元空間、つまり3次元の空間と1次元の時間に作用していると見ることができると書いています。^[4] 1827年には早くもメビウスは、 4番目の空間次元があれば、3次元の形状をその鏡像上に回転させることができることに気づきました。^[5]任意の数の次元を持つユークリッド空間の一般的な概念は、19世紀半ばにスイスの数学者ルートヴィヒ・シュレーフリによって完全に開発されましたが、当時、 3次元を超える幾何学の可能性を思いついたのは、ケーリー、グラスマン、メビウスの3人だけでした。^[6] 1853年までに、シュレーフリは、プラトンの立体の4次元類似物を含む、高次元に存在するすべての正多面体を発見しました。

四元数と呼ばれる4つの空間次元の算術は、 1843年にウィリアム・ローワン・ハミルトンによって定義されました。この結合代数は、マイケル・J・クロウが著書『ベクトル解析の歴史』で述べているように、3次元のベクトル解析の科学の源でした。その後すぐに、テッサリンと​​コ四元数がR上の他の4次元代数として導入されました。1886年に、ヴィクター・シュレーゲルはシュレーゲル図を使用して4次元オブジェクトを視覚化する方法について説明しました^[7]。

4次元を最初に広く紹介した人物の1人はチャールズ・ハワード・ヒントンで、1880年にダブリン大学の雑誌に掲載されたエッセイ「4次元とは何か?」がその始まりでした。^[8]彼は著書「思考の新時代」でテッセラクト、アナ、カタという用語を作り出し、著書「 4次元」では立方体を使って4次元を視覚化する手法を紹介しました。^{[9] [10]ヒントンの考えは、1962年1月の}サイエンティフィック・アメリカン誌の「数学ゲーム」コラムでマーティン・ガードナーが取り上げた「4次元教会」についての空想に影響を与えました。

高次元の非ユークリッド空間は、ベルンハルト・リーマンの 1854 年の学位論文「幾何学が根本的にどのような仮説を持つかについて」によって確固たる基盤が築かれました。この学位論文で、リーマンは「点」を任意の座標列( x ₁ , ..., x _n )とみなしました。1908 年、ヘルマン・ミンコフスキーは、アインシュタインの特殊相対性理論と一般相対性理論の基礎となる、時空の 4 番目の次元としての時間の役割を確固たるものにする論文^[11]を発表しました。^[12]しかし、時空の幾何学は非ユークリッドであるため、シュレーフリが研究しヒントンが普及させたものとは大きく異なります。ミンコフスキー空間の研究には、4 次元ユークリッド空間とはまったく異なるリーマンの数学が必要であり、そのためまったく異なる方向に沿って発展しました。この区別は一般の人々の想像の中では明確ではなく、フィクションや哲学の作品ではその区別が曖昧になっていたため、1973 年にHSM コクセターは次のように書かざるを得ませんでした。

ユークリッドの 4 番目の次元を時間として表すことで得られるものはほとんどありません。実際、HG ウェルズが『タイム マシン』で非常に魅力的に展開したこの考えは、ジョン ウィリアム ダン ( 『時間の実験』 )などの著者を相対性理論の重大な誤解に導きました。ミンコフスキーの時空幾何学はユークリッド幾何学ではないため、本研究とは何の関係もありません。

—  HSMコクセター、正多面体^[13]

数学的には、4次元空間とは、その中の点を特定するために4つのパラメータを必要とする空間である。例えば、一般的な点の位置ベクトルaは、

${\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\\a_{4}\end{pmatrix}}.}$

これは、4つの標準基底ベクトル（e ₁、e ₂、e ₃、e ₄）で表すことができ、次のように表される。

${\displaystyle \mathbf {e} _{1}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}};\mathbf {e} _{2}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}};\mathbf {e} _{3}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}};\mathbf {e} _{4}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}},}$

したがって、一般ベクトルaは

${\displaystyle \mathbf {a} =a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+a_{3}\mathbf {e} _{3}+a_{4}\mathbf {e} _{4}.}$

ベクトルは 3 次元と同様に加算、減算、拡大縮小されます。

ユークリッド三次元空間のドット積は四次元に一般化さ れ、

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}+a_{4}b_{4}.}$

ベクトルの ノルムや長さを計算するために使用できます。

${\displaystyle \left|\mathbf {a} \right|={\sqrt {\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }}={\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2}}},}$

2つの非ゼロベクトル間の 角度を計算または定義します。

${\displaystyle \theta =\arccos {\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left|\mathbf {a} \right|\left|\mathbf {b} \right|}}.}$

ミンコフスキー時空は、ドット積とは異なる 非退化ペアリングによって定義された幾何学を持つ 4 次元空間です。

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4}.}$

たとえば、点(0,0,0,0)と点 (1,1,1,0)の間の距離の二乗は、ユークリッド空間とミンコフスキー 4 次元空間の両方で 3 ですが、点(0,0,0,0)と点(1,1,1,1)の間の距離の二乗は、ユークリッド空間では 4 で、ミンコフスキー空間では 2 です。b 4_が増加すると、距離は減少します。これは、相対性理論のよく知られた見かけ上の「パラドックス」の多くにつながります。

外積は4 次元では定義されません。代わりに、外積がいくつかのアプリケーションで使用され、次のように定義されます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} =(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\mathbf {e} _{12}+(a_{1}b_{3}-a_{3}b_{1})\mathbf {e} _{13}+(a_{1}b_{4}-a_{4}b_{1})\mathbf {e} _{14}+(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})\mathbf {e} _{23}\\+(a_{2}b_{4}-a_{4}b_{2})\mathbf {e} _{24}+(a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3})\mathbf {e} _{34}.\end{aligned}}}$

これはバイベクトル値であり、4 次元のバイベクトルは基底( e ₁₂、e ₁₃、e ₁₄、e ₂₃、e ₂₄、e ₃₄ )を持つ6 次元線形空間を形成します。これらを使用して 4 次元の回転を生成することができます。

日常生活でよく使われる 3 次元空間には、通常x、y、zと表記される 3 つの座標軸があり、各軸は他の 2 つの軸と直交(垂直) しています。この空間の 6 つの基本方向は、上、下、東、西、北、南と呼ぶことができます。これらの軸に沿った位置は、高度、経度、緯度と呼ぶことができます。これらの軸に沿って測定された長さは、高さ、幅、奥行きと呼ぶことができます。

比較すると、4次元空間には他の3つの座標軸に直交する追加の座標軸があり、通常はwと表記されます。チャールズ・ハワード・ヒントンは、この2つの追加の基本方向を表すために、ギリシャ語でそれぞれ「上に向かって」と「下から」を意味する言葉から、 anaとkataという造語を作りました。^{[9] : 160}

前述のように、ヘルマン・ミンコフスキーは、光の有限速度を含む宇宙論を議論するために 4 次元の考え方を利用しました。3 次元空間に時間次元を追加することで、彼は別の直交性、双曲直交性を指定しました。この概念は、彼の宇宙の電磁気的関係に適した修正された同時性を 4 次元空間に提供します。ミンコフスキーの世界は、3 つの空間次元と 1 つの時間次元の宇宙で以前に使用されていた従来の絶対空間と時間宇宙論に関連する問題を克服しました。

4 次元空間の幾何学は、自由度が増すため、3 次元空間の幾何学よりもはるかに複雑です。

3 次元に2 次元の多角形から作られた多面体があるように、4 次元には多面体から作られた多面体が存在します。3 次元には、プラトン立体として知られる 5 つの正多面体があります。4 次元には、プラトン立体の類似体である 6 つの凸正 4 次元多面体があります。正則性の条件を緩和すると、さらに 58 個の凸一様 4 次元多面体が生成されます。これは、3 次元の13 個の半正則アルキメデス立体に類似しています。凸性の条件を緩和すると、さらに 10 個の非凸正 4 次元多面体が生成されます。

3 次元では、円を押し出して円筒を形成できます。4 次元では、円筒のような物体は複数存在します。球を押し出して球面円筒 (球状の「キャップ」を持つ円筒で、球面円筒と呼ばれます)を作成したり、円筒を押し出して円筒角柱 (立方体) を作成したりできます。^{[要出典] 2 つの円}の直積をとると、二重円筒を作成できます。これら 3 つはいずれも 4 次元空間で「転がる」ことができ、それぞれに特性があります。

3次元では、曲線は結び目を形成できますが、面は結び目を形成できません（自己交差していない場合）。しかし、4次元では、曲線を使用して作成された結び目は、4番目の方向に移動することで簡単に解くことができますが、2D面は4D空間で非自明で自己交差しない結び目を形成できます。^{[14] [ページが必要]}これらの面は2次元であるため、3D空間の弦よりもはるかに複雑な結び目を形成できます。クラインの壺は、このような結び目のある面の例です。 ^{[引用が必要]このような面のもう1つは、}実射影平面です。^{[引用が必要]}

ユークリッド 4 次元空間において、固定点P ₀から同じ距離Rにある点の集合は、 3 次元球面と呼ばれる超曲面を形成します。囲まれた空間の超体積は次のようになります。

${\displaystyle \mathbf {V} ={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\pi ^{2}R^{4}}$

これは一般相対性理論におけるフリードマン・ルメートル・ロバートソン・ウォーカー計量の一部であり、Rは関数R ( t )に置き換えられ、tは宇宙の宇宙年齢を意味します。時間とともにRが成長または縮小することは、内部の質量密度に応じて宇宙が膨張または収縮することを意味します。^[15]

バーチャルリアリティを使った研究では、人間は3次元の世界に生きているにもかかわらず、特別な練習をしなくても、4次元空間に埋め込まれた線分について、線分の長さ（1次元）と線分間の角度（2次元）に基づいて空間判断ができることがわかっています。^[16]研究者は、「私たちの研究の参加者はこれらのタスクの練習がほとんどなく、4D仮想環境での知覚体験を増やすことで、より持続可能で明確で豊かな4D表現を得られるかどうかは未解決の問題です」と述べています。^[16]別の研究^[17]では、 2D、3D、4Dの迷路で人間が自分の方向を把握する能力がテストされました。各迷路は、ランダムな長さの4つのパスセグメントで構成され、直交するランダムな曲がり角で接続されていますが、分岐やループはありません（つまり、実際には迷路です）。グラフィカルインターフェイスは、John McIntoshの無料4D Mazeゲームに基づいています。^[18]参加者は経路を進み、最終的に出発点に戻る直線方向を推測しなければなりませんでした。研究者は、参加者の一部が4Dで練習した後、自分の経路を精神的に統合できることを発見しました（低次元のケースは比較のため、および参加者が方法を学ぶためのものでした）。

しかし、2020年のレビューでは、これらの研究が小規模な被験者サンプルで構成されており、主に大学生を対象としていることが強調されました。また、将来の研究で解決しなければならない他の問題も指摘されています。アーティファクトの排除（これらは、たとえば、適応プロセスをスピードアップするために研究者が4D表現/ 4D推論とフィードバックを使用しない、必要なタスクを解決するための戦略によって引き起こされる可能性があります）と被験者間の変動性の分析（4D知覚が可能である場合、その獲得は人間のサブセット、特定の臨界期間、または人々の注意や動機に限定される可能性があります）。さらに、4次元を投影するより適切な方法があるかどうかは不明です（4次元を投影する方法に制限がないため）。研究者らはまた、人間が4D知覚を獲得すると、脳の視覚領域と嗅内皮質が活性化される可能性があるという仮説を立てました。もしそうなら、それは4D空間知覚獲得の強力な指標として使用できると示唆しています。著者らはまた、さまざまなニューラルネットワークアーキテクチャ（異なる事前仮定を持つ）を使用して、どれが学習可能でどれが学習できないかを理解することを提案した。^[19]

4次元空間の性質を理解するために、次元類推と呼ばれる手法がよく用いられます。次元類推とは、( n −1 )次元がn次元とどのように関係しているかを研究し、n次元が( n +1 )次元とどのように関係しているかを推測することです。^[20]

次元のアナロジーは、エドウィン・アボットの 著書「フラットランド」で使用されています。この本では、紙の表面のような二次元の世界に存在する正方形についての物語が語られています。この正方形の視点から見ると、三次元の存在は、金庫を壊さずに物を取り出す能力（三次元を越えて物を移動させることによって）、二次元の観点からは壁の後ろにあるすべてのものを見る能力、三次元で数インチ離れて立つことで完全に透明になる能力など、神のような力を持っているように見えます。

次元の類推を適用することで、四次元の存在は三次元の観点から同様の偉業を成し遂げることができると推測できます。ルディ・ラッカーは小説『スペースランド』でこれを例示しています。この小説では主人公がそのような力を発揮する四次元の存在に遭遇します。

3 次元の物体が 2 次元の平面を通過すると、この平面内の 2 次元の存在は、この平面内の 3 次元の物体の断面のみを観察することになります。たとえば、球が 1 枚の紙を通過すると、紙の中の存在は最初に 1 つの点を見ることになります。円は徐々に大きくなり、球の直径に達し、その後再び小さくなり、点に縮小して消えます。2D の存在は、3 次元の存在と同じように円を見るのではなく、 1D の「網膜」に円の1 次元投影のみを見ることになります。同様に、4 次元の物体が 3 次元 (超) 表面を通過すると、4 次元の物体の 3 次元断面を観察できます。たとえば、超球は最初は点として現れ、次に球が大きくなり (超球の「超直径」に達するまで)、球は 1 つの点に縮小して消えます。^[21] 4次元の側面を視覚化するこの手段は、小説『フラットランド』やチャールズ・ハワード・ヒントンのいくつかの作品でも使用されました。^{[9] ：11–14}そして、同様に、3次元の存在（2D網膜を持つ人間など）は2D形状のすべての側面と内部を同時に見ることができ、4Dの存在は3D網膜で3D形状のすべての面と内部を一度に見ることができます。

高次元を視覚化する際、次元のアナロジーの便利な応用例は、投影です。投影は、n次元のオブジェクトをn − 1次元で表現する方法です。たとえば、コンピュータの画面は 2 次元であり、3 次元の人物、場所、物の写真はすべて、オブジェクトを平面に投影することによって 2 次元で表現されます。これを行うことで、画面に直交する次元 (奥行き) が削除され、間接情報に置き換えられます。目の網膜も 2 次元の受容体配列ですが、脳は間接情報 (陰影、短縮、両眼視など)からの推論によって 3 次元オブジェクトの性質を知覚できます。芸術家は、遠近法を使用して、2 次元の絵に 3 次元の奥行きがあるという錯覚を与えることがよくあります。図に示すように、平面上の回転する 4 次元立方体の架空のグリッド モデルによって投影される影も、投影の結果です。

同様に、4 次元の物体は、数学的に馴染みのある 3 次元に投影することができ、より便利に検査することができます。この場合、4 次元の目の「網膜」は、受容体の 3 次元配列です。このような目を持つ仮想の存在は、網膜の 3 次元画像内の間接的な情報から 4 次元の深さを推測することで、4 次元の物体の性質を認識します。

3 次元の物体を目の網膜に投影すると、短縮などのアーティファクトが生じますが、脳はこれを 3 次元の奥行きとして解釈します。同様に、4 次元からの投影でも同様の短縮効果が生じます。次元の類推を適用することで、これらの効果から 4 次元の「奥行き」を推測できます。

この原理を説明するために、次の一連の画像は、3 次元立方体のさまざまなビューと、4 次元四次元立方体を 3 次元空間に類似して投影したものを比較しています。

投影に密接に関連する概念は影の投影です。

3 次元の物体に光を当てると、2 次元の影が投影されます。次元の類推により、2 次元の世界にある 2 次元の物体に光を当てると 1 次元の影が投影され、1 次元の世界にある 1 次元の物体に光を当てると 0 次元の影、つまり光の当たらない点が投影されます。逆に、4 次元の世界にある 4 次元の物体に光を当てると、3 次元の影が投影されると考えられます。

立方体のワイヤーフレームが上から照らされると、平らな 2 次元の表面にできる影は、対応する角がつながった正方形の中に正方形が 1 つある状態になります。同様に、テッセラクト (立方体) のワイヤーフレームが「上」(4 次元) から照らされると、その影は、空中に浮かぶ別の 3 次元の立方体の中にある 3 次元の立方体の影になります (4 次元の観点から見ると「平らな」表面)。(技術的には、ここで示されている視覚的表現は、4 次元のワイヤーフレーム図形の 3 次元の影の 2 次元画像であることに注意してください。)

次元の類推は、境界領域などの高次元のオブジェクトの基本特性を推測するのにも役立ちます。たとえば、2 次元のオブジェクトは 1 次元の境界で囲まれます。正方形は 4 つの辺で囲まれます。3 次元のオブジェクトは 2 次元の表面で囲まれます。立方体は 6 つの正方形の面で囲まれます。

次元の類推を適用すると、テッセラクトと呼ばれる 4 次元の立方体が3 次元の体積で囲まれていると推測できます。実際、これは事実です。数学では、テッセラクトが 8 つの立方体で囲まれていることがわかります。これを知ることは、テッセラクトを 3 次元投影する方法を理解する鍵となります。テッセラクト境界は、単なる 2 次元面ではなく、画像内の 体積に投影されます。

4D の4 次元体積または超体積は、四次元方陣 ( s ⁴、辺の長さs ) や4 次元球(半径r ) などの単純な幾何学図形の閉じた形式で計算できます。${\displaystyle \pi ^{2}r^{4}/2}$

馴染みのある低次元からの類推による推論は、優れた直感的なガイドになり得ますが、より厳密にテストされていない結果を受け入れないように注意する必要があります。たとえば、2次元の円で囲まれた面積 ( ) と3次元の球で囲まれた体積 ( ) の公式を考えてみましょう。4次元空間の球で囲まれた体積は の有理倍であると推測されるかもしれませんが、正しい体積は です。^[13]任意の次元nのn球の体積は、次元nと次元n - 2を結ぶ再帰関係から計算できます。 ${\displaystyle A=\pi r^{2}}$${\textstyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$${\displaystyle \pi r^{4}}$${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{2}}r^{4}}$

4次元空間の概念によって開かれた新たな可能性（およびそれを視覚化しようとすることに伴う困難）は、20世紀前半の多くの現代芸術家にインスピレーションを与えました。初期のキュビスト、シュルレアリスト、未来派、抽象芸術家たちは、高次元数学からアイデアを取り入れ、それを使って作品を根本的に進歩させました。^[22]

SF のテキストでは、並行宇宙や代替宇宙、あるいは想像上の存在の次元について言及する際に、「次元」という概念がよく使われます。この用法は、並行/代替宇宙/存在の次元に移動するには、標準の方向/次元以外の方向/次元に移動する必要があるという考えから派生したものです。実際、他の宇宙/次元は私たちの宇宙/次元からほんの少し離れていますが、その距離は標準の次元ではなく、4 番目 (またはそれ以上) の空間 (または非空間) の次元です。

真の幾何学的次元に関する最も有名な SF 小説の 1 つで、このような問題を調べ始めたばかりの人の出発点としてよく推奨されるのが、エドウィン A. アボットによる 1884 年の中編小説「フラットランド」です。アイザック アシモフは、シグネット クラシックス 1984 年版の序文で、 「フラットランド」を「次元を認識する方法についての最高の入門書」と 評しました。

異次元の概念は、初期のSF小説の多くに組み込まれ、たとえばマイルズ・J・ブロイヤーの『虫垂と眼鏡』（1928年）やマレー・レンスターの『第五次元カタパルト』（1931年）などに顕著に登場し、1940年代までにはSF小説に不定期に登場するようになった。異次元が登場する古典的な物語には、カリフォルニアの建築家がテッセラクト（四次元方陣）の三次元投影に基づいて家を設計するロバート・A・ハインラインの『そして彼は歪んだ家を建てた』（1941年）、アラン・E・ヌースの『しっぽの虎』と『間の宇宙』（ともに1951年）、ウォルター・テヴィスの『第五の宇宙』（1957年）などがある。もう一つの参考文献は、マドレーヌ・レングルの小説『時間の皺』（1962年）で、この小説では、5次元を「宇宙をテッセラクトする」、つまり空間を「折りたたんで」素早く移動する方法として使っている。4次元と5次元は、ウィリアム・スリーターの著書『逆行する少年』の重要な要素でもある。

イマヌエル・カントは1783年にこう書いている。「空間（それ自体は別の空間の境界ではない）はどこでも3次元であり、空間は一般にそれ以上の次元を持つことはできないということは、3本以上の線が1点で直角に交差することはできないという命題に基づいている。この命題は概念からはまったく示せないが、直観に直接基づいており、実際、先験的に純粋直観に基づいている。なぜなら、この命題は明確に（証明可能に）確実だからである。」^[23]

「空間は4次元である」は、ドイツの哲学者で実験心理学者の グスタフ・フェヒナーが「ミーゼス博士」というペンネームで1846年に出版した短編小説である。物語の主人公は、他の影を認識し、コミュニケーションをとることができるが、2次元の表面に閉じ込められた影である。フェヒナーによると、この「影の男」は、3次元を時間の次元として捉えるだろう。^{[24]この物語は、}プラトンの国家（紀元前380年頃）に提示された「洞窟の寓話」と非常によく似ている。

サイモン・ニューカムは1898年にアメリカ数学会報に「ハイパースペースの哲学」と題する論文を執筆した。 ^[25] リンダ・ダルリンプル・ヘンダーソンは、 20世紀初頭の芸術における第四次元についての1983年の論文の中で、高次元を用いて形而上学的テーマを探求する著作を説明するために「ハイパースペース哲学」という用語を作り出した。 ^[26]「ハイパースペース哲学者」の例としては、1888年に「テッセラクト」という言葉を初めて使用したチャールズ・ハワード・ヒントンや^[27]ロシアの秘教主義者 P・D・ウスペンスキーなどがあげられる。

• Archibald, R. C (1914). 「第四次元としての時間」(PDF) .アメリカ数学会報: 409–412.
• アンドリュー・フォーサイス(1930)「四次元の幾何学」、インターネットアーカイブからのリンク。
• ガモフ、ジョージ(1988)。『1、2、3、無限：科学の事実と推測』（第3版）。クーリエ・ドーバー出版。68ページ。ISBN 978-0-486-25664-1。68ページの抜粋
• EH Neville (1921) The Fourth Dimension、Cambridge University Press 、ミシガン大学歴史数学コレクションからのリンク。

ウィキブックスには特殊相対性理論に関する本があります。

• 「次元」ビデオでは、4次元オブジェクトを視覚化するさまざまな方法を示しています。
• 「ディメンション」ビデオをまとめた Science News の記事 (クリップ付き) 2012-09-29 にWayback Machineでアーカイブ
• フラットランド：多次元のロマンス（第2版）
• 4D のフレームごとのアニメーション - 3D の類似点