フリーズグループ

数学において、フリーズまたはフリーズパターンは、一方向に繰り返される 2 次元のデザインです。この用語は、このような繰り返しパターンがよく使用される建築や装飾芸術に由来しています。(フリーズを参照) フリーズパターンは、対称性に応じて 7 つのタイプに分類できます。フリーズパターンの対称性の集合は、フリーズグループと呼ばれます。

フリーズ グループは、1 方向にのみ繰り返しがある2 次元の線グループです。フリーズ グループは、2 方向に繰り返しがあるパターンを分類するより複雑な壁紙グループや、 3 方向に繰り返しがあるパターンを分類する結晶グループと関連しています。

正式には、フリーズ群は、ストリップ（無限に広い長方形）上のパターンの無限離散対称群のクラスであり、したがって平面またはストリップの等長投影群のクラスです。フリーズ群の対称群には必然的に平行移動が含まれ、すべり反射、ストリップの長軸に沿った反射、ストリップの短軸に沿った反射、および 180°回転が含まれる場合があります。フリーズ群は 7 つあり、概要表にリストされています。多くの著者は、フリーズグループを異なる順序で提示しています。^{[1] [2]}

フリーズ グループ内の実際の対称グループは、最小の移動距離によって特徴付けられ、垂直線反射または 180° 回転 (グループ 2、5、6、および 7) のフリーズ グループの場合は、反射軸または回転点の位置を示すシフト パラメーターによって特徴付けられます。平面内の対称グループの場合、追加のパラメーターは移動ベクトルの方向であり、水平線反射、グライド反射、または 180° 回転 (グループ 3 ～ 7) のフリーズ グループの場合は、移動ベクトルに垂直な方向の反射軸または回転点の位置です。したがって、グループ 1 には 2 つの自由度、グループ 2、3、および 4 には 3 つの自由度、グループ 5、6、および 7 には 4 つの自由度があります。

7 つのフリーズ グループのうち 2 つ (グループ 1 と 4) では対称グループが単独で生成され、4 つ (グループ 2、3、5、6) では生成子のペアがあり、グループ 7 では対称グループに 3 つの生成子が必要です。フリーズ グループ 1、2、3、または 5 の対称グループは、同じ移動距離を持つ最後のフリーズ グループ内の対称グループのサブグループです。フリーズ グループ 4 または 6 の対称グループは、半分の移動距離を持つ最後のフリーズ グループ内の対称グループのサブグループです。この最後のフリーズ グループには、ストリップ (または平面) 内の最も単純な周期パターン、つまりドットの列の対称グループが含まれています。このパターンを不変にする平面の変換は、平行移動( x , y ) ↦ ( n + x , y )に分解できます。その後に、水平軸( x , y ) ↦ ( x , − y )または垂直軸( x , y ) ↦ (− x , y ) (この軸は 2 つの点を通るか、その間に選択される) での反射、または 180° 回転( x , y ) ↦ (− x , − y ) (同上) がオプションで続きます。したがって、ある意味では、このフリーズ グループには、このような変換すべてで構成される「最大の」対称グループが含まれています。

離散条件を含めることで、すべての変換を含むグループと、任意の小さな変換を含むグループ (たとえば、有理距離による水平変換のグループ) を除外できます。スケーリングとシフトとは別に、たとえば分母が特定の素数の累乗である有理数を考慮すると、無限に多くのケースがあります。

無限条件を含めるのは、翻訳がないグループを除外するためです。

• 単位元のみを持つ群（位数 1 の自明群C _{1と同型）。}
• 水平軸上の恒等写像と鏡映写からなる群（位数2の巡回群C _{2と同型）。}
• 垂直軸上の同一性と反映からなるグループ（同上）
• それぞれのグループは、恒等式と水平軸上の点を中心とした180°回転（同上）で構成される。
• それぞれの群は恒等基、垂直軸の鏡映、水平軸の鏡映、交点を中心とした180°回転からなる（クラインの4元群と同型）

離散フリーズ群には、平行移動、反射（同じ軸に沿って）、180°回転によって生成される7つの異なるサブグループ（パターンの拡大縮小とシフトまで）があります。これらのサブグループはそれぞれ、フリーズパターンの対称群であり、サンプルパターンを図1に示します。7つの異なるグループは、n = ∞の3次元の7つの無限軸点群に対応しています。^[3]

以下の表では、ヘルマン・モーガン表記法、コクセター表記法、シェーンフリース表記法、 オービフォールド表記法、数学者ジョン・H・コンウェイが作ったニックネーム、そして最後に並進、反射、回転に関する説明を使用して、それらが識別されています。

^*シェーンフリースの点群表記は、ここでは等価な二面点対称性の無限の場合として拡張される。

^§この図では、1 つの基本ドメインが黄色で表示され、反射線が青色、グライド反射線が緑色の破線、移動法線が赤色、2 倍の回転点が小さな緑色の四角形で示されています。

7つのフリーズ群のうち、同型までのものは4つだけである。2つは単生成で と同型である。4つは二重生成で、そのうち1つは可換であり、3つは非可換で、無限二面体群と同型である。そして、1つは3つの生成元を持つ。^[5]${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle D_{\infty}}$

グループは、2次元グリッドまたは格子の種類によって分類できます。^[6]格子が斜めであるということは、2番目の方向が繰り返しの方向と 直交する必要がないことを意味します。

• 1次元の対称群
• ライングループ
• ロッドグループ
• 壁紙グループ
• 空間群

フリーズ グループを使用して 2D パターンを作成するソフトウェア グラフィック ツールが存在します。通常、元のストリップの編集に応じて、パターン全体が自動的に更新されます。

• EscherSketch テッセレーションの描画、保存、エクスポートを行う無料のオンライン プログラムです。すべての壁紙グループをサポートします。
• Kali は、壁紙、フリーズ、その他のパタ​​ーン用の無料のオープンソース ソフトウェアアプリケーションです。
• Kali はWayback Machineで 2020-11-21 にアーカイブされています。Windows および Mac Classic 用の Kali を無料でダウンロードできます。
• 複数のプラットフォーム向けのNagwareテッセレーション プログラムである Tess は、すべての壁紙、フリーズ、ロゼット グループ、および Heesch タイリングをサポートします。
• FriezingWorkz は、すべてのフリーズ グループをサポートする Classic Mac プラットフォーム用のフリーウェア Hypercard スタックです。

• カット・ザ・ノットのフリーズパターン
• イルミネーション：フリーズパターン