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| 菱形八面体 | |
|---|---|
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| タイプ | アルキムドの 均一多面体 |
| 顔 | 8つの正三角形 18つの正方形 |
| エッジ | 48 |
| 頂点 | 24 |
| 頂点構成 | |
| シュレーフリ記号 | |
| 対称グループ | 八面体対称性 黄銅面体対称性 |
| 二面角（度） | 正方形対正方形: 135° 正方形対三角形: 144.7° |
| 二重多面体 | 三角錐二十四面体 |
| 頂点図形 | |
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| ネット | |
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幾何学において、菱形立方八面体は、8つの正三角形と18の正方形からなる26面を持つアルキメデスの立体である。ヨハネス・ケプラーが1618年に著した『世界の調和』の中で、切頂立方八面体菱形の略称として命名された。立方八面体菱形は、彼が菱形十二面体と呼んだものである。[1]
菱立方八面体はアルキメデスの立体であり、その双対三角錐二十四面体はカタラン立体である。細長い正方形のジャイロビキューポラは菱立方八面体に似た多面体であるが、頂点推移的でないためアルキメデスの立体ではない。菱立方八面体の骨格はグラフとして表すことができる。菱立方八面体は、建築、玩具、芸術など、さまざまな文化に見られる。
工事
立方体から菱形八面体を作るには、立方体の各面の中央に、立方体の辺と平行に小さい方を描きます。立方体の辺を削除した後、正方形の間にさらに正方形を追加して結合し、角を正三角形で埋めます。菱形八面体を作る別の方法は、正八角柱の底面に2つの正正方形のキューポラを取り付けることです。[2]
菱形立方八面体は、拡張八面体または拡張立方体とも呼ばれます。これは、菱形立方八面体は、立方体または正八面体の面をその重心（アニメーションではそれぞれ青または赤で表示）から分離して押しのけ、その間を正方形と正三角形で埋めることによっても構築できるためです。この構築プロセスは拡張と呼ばれます。[3]上記のすべての方法を使用することで、菱形立方八面体の面は8つの正三角形と16の正方形になります。[4]関連して、菱形立方八面体は、立方体または正八面体のすべての辺と頂点を切断することによっても構築でき、このプロセスは修正と呼ばれます。[5]
辺の長さが2の菱形八面体の直交座標は の順列である。[6]
プロパティ
測定と測定特性
菱形立方八面体の表面積は、8つの正三角形と18の正方形の面積をすべて足すことで求めることができます。菱形立方八面体の体積は、2つの正方形のキューポラと1つの八角柱に分割することで求めることができます。辺の長さが であることを考えると、その表面積と体積は次のようになります。[7]
菱形立方八面体の最適充填率は次のように与えられる 。この最適値は、ブラベー格子 で得られることがde Graaf、van Roij & Dijkstra (2011) によって指摘された。[8]菱形立方八面体は、その内接球が内接球と同一である菱形十二面体に含まれるため、最適充填率の値はケプラー予想の系である。すなわち、菱形十二面体ハニカムの各セルに菱形立方八面体を配置することで達成でき、それを超えることはできない。そうでなければ、仮想充填の各菱形立方八面体に球を配置することで、球の最適充填密度を超えることができるからである。[要出典]
菱形八面体の二面角は、正方形のキューポラと八角柱の二面角を加えることで決定できます。[9]
- 菱形立方八面体の上部と下部の両方で隣接する 2 つの正方形の間の二面角は、正方形のキューポラの二面角 135° です。 八角柱の隣接する 2 つの正方形の間の二面角は、正八角形の内角135° です。 正方形のキューポラが八角柱に取り付けられている辺上の隣接する 2 つの正方形の間の二面角は、正方形のキューポラの正方形から八角形までの二面角と、八角柱の正方形から八角形までの二面角 45° + 90° = 135° の合計です。 したがって、菱形立方八面体の隣接する 2 つの正方形ごとの二面角は 135° です。
- 菱形立方八面体の正方形から三角形への二面角は、それらの間の正方形キューポラの二面角 144.7° です。正方形キューポラが八角柱に取り付けられているエッジ上の正方形と三角形の間の二面角は、正方形キューポラの三角形から八角形への二面角と八角柱の正方形から八角形への二面角 54.7° + 90° = 144.7° の合計です。したがって、正方形から三角形へのすべての菱形立方八面体の二面角は 144.7° です。
菱形八面体にはルパート特性があり、同じ大きさかそれより大きい大きさの多面体がその穴を通過できることを意味する。[10]
対称性とその分類群
菱形立方八面体は、立方体や正八面体と同じ対称性、すなわち八面体対称性を持っている。[11] しかし、菱形立方八面体には、6つの長方形の面と16の台形の面を持つ2番目の歪みのセットもあり、これらは八面体対称性ではなく、むしろ黄鉄鉱対称性を持っているため 、四面体と同じ回転では不変だが、異なる反射に対して不変である。[12]これは中心対称性であり、つまり、その対称性は反転中心の出現によって交換可能である。また、非キラルであり、つまり、自身の鏡像と合同である。[13]
菱形立方八面体はアルキメデスの立体であり、対称性が高く半正多面体で、2つ以上の異なる正多角形面が頂点で交わる。[14]すべての頂点で交わる多角形面は1つの正三角形と3つの正方形であり、頂点図形は と表記される。その双対は三角錐二十四面体で、カタラン立体であり、菱形立方八面体と同じ対称性を共有している。[15]
細長い正方形のジャイロビキューポラは、菱形八面体に似た唯一の多面体です。違いは、細長い正方形のジャイロビキューポラはキューポラの1つをねじって作られていることです。これはかつて14番目のアルキメデスの立体と考えられていましたが、頂点推移的でないことが発見され、代わりにジョンソン立体として分類されました。[16]
グラフ
菱形八面体の骨格はグラフとして記述できる。これは多面体グラフであり、平面で3頂点で連結されている。言い換えれば、グラフの辺は描画中に交差せず、任意の2つの頂点を削除すると連結されたサブグラフが残る。これは24の頂点と48の辺を持つ。これは4次グラフであり、各頂点は4つの頂点で連結されている。このグラフはアルキメデスの立体のグラフに似ているため、アルキメデスグラフに分類される。 [17]
出演
ミンスク国立図書館の記念画像 (左上) やルービック キューブのバリエーション (右上) など、菱形 8 面体オブジェクトは多数存在します。また、菱形 8 面体は、ルカ パチョーリの肖像画(左下) やレオナルド ダ ヴィンチの 1509 年の「神の比例」の挿絵(右下) など、芸術作品にも登場します。
菱立方八面体は建築物にも現れており、ミンスクにある国立図書館がその例である。[18]ウィルソンハウスも菱立方八面体建築の例だが、そのモジュールはすべての辺が切り取られた切頂立方体として描かれている。この建物は1960年代の第二次世界大戦とブレークスルー作戦中に建設された。 [19]
菱立方八面体は玩具にも見られる。例えば、ルービックキューブを回す線は球面に投影され、菱立方八面体の辺と位相的に同一である。ルービックキューブのメカニズムを使用したバリエーションが作られており、これらは菱立方八面体に非常に似ている。1980年代のルービックキューブ大流行の際には、少なくとも2つのツイスティパズルが販売され、菱立方八面体の形状をしていた（メカニズムはルービックキューブに似ていた）[20] [21]別の例としては、コーフ城のサイコロが挙げられ、それぞれの正方形の面に文字と目がペアで刻まれている。[22]
菱立方八面体は芸術作品にも登場することがある。一例として、伝統的にヤコポ・デ・バルバリ作とされている1495年のルカ・パチョーリの肖像画がある。この作品には、半分水が入ったガラスの菱立方八面体が含まれており、これはレオナルド・ダ・ヴィンチが描いたものと考えられている。 [23] 菱立方八面体の最初の印刷版はレオナルドによるもので、パチョーリの『神の比例』（1509年）に掲載されている。
参考文献
注記
- ^
- ケプラー（1997）、119ページ
- クロムウェル（1997）、83ページ
- ^
- ハーツホーン（2000）、463ページ
- Berman (1971)、336 ページ、表 IV、正面凸多面体の特性、13 行目を参照してください。ここで、 は八角柱を表し、 は正方形のキューポラを表します。
- ^ ヴィアナら。 （2019）、p. 1123、図6を参照。
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引用文献
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参照
さらに読む
- クロムウェル、P. (1997)。多面体。イギリス：ケンブリッジ。pp. 79–86アルキメデスの立体。ISBN 0-521-55432-2。
- Coxeter, HSM ; Longuet-Higgins, MS; Miller, JCP (1954 年 5 月 13 日)。「均一な多面体」。ロンドン王立協会哲学論文集。シリーズ A、数学および物理科学。246 (916): 401–450。Bibcode :1954RSPTA.246..401C。doi :10.1098/rsta.1954.0003。S2CID 202575183。
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- ヘイルズ、トーマス C. (2005)、「ケプラー予想の証明」、Annals of Mathematics、162 (3): 1065–1185、arXiv : math/9811078v2、doi : 10.4007/annals.2005.162.1065
外部リンク
ウィキメディア・コモンズには、菱形八面体に関連するメディアがあります。
- Weisstein, Eric W.、「菱形八面体」（「アルキメデスの立体」） at MathWorld。
- Weisstein、Eric W.「小さな菱形八面体グラフ」。MathWorld。
- Klitzing、Richard。「3D 凸均一多面体 x3o4x - sirco」。
- 均一な多面体
- バーチャルリアリティ多面体 多面体百科事典
- インタラクティブな 3D ビューを備えた、編集可能で印刷可能な菱形八面体のネット
- 菱立方八面体の星、Sándor Kabai、Wolfram デモンストレーション プロジェクトによる。
- 菱形八面体：編み物用の紙片