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音楽理論は、音楽の音高、タイミング、構造を分析する学問です。テンポ、コード進行、形式、拍子といった音楽の要素を研究するために数学を用います。音楽の作曲や鑑賞における新たな方法を体系化し、伝達しようとする試みは、集合論、抽象代数学、数論の音楽への応用へとつながりました。
音楽理論は現代数学において公理的な基礎を持たないが、音楽の音の基礎は（音響学を用いて）数学的に記述することができ、「驚くべき数的性質の配列」を示す。[ 1 ]
古代中国人、インド人、エジプト人、メソポタミア人が音の数学的原理を研究していたことは知られているが、[ 2 ]古代ギリシャのピタゴラス派（特にフィロラオスとアルキタス）[ 3 ]は、数値比、特に小さな整数の比を用いて音階の表現を研究した最初の研究者として知られている。 [ 4 ]彼らの中心的な教義は、「自然界のすべては数から生じる調和から成る」というものであった。 [ 5 ]
プラトンの時代から、調和は物理学の基本的な分野と考えられており、現在では音楽音響学として知られています。初期のインドと中国の理論家は同様のアプローチを示しており、調和とリズムの数学的法則が、世界を理解するだけでなく人間の幸福にも不可欠であることを示そうとしました。[ 6 ]孔子はピタゴラスと同様に、1、2、3、4という小さな数をすべての完全性の源とみなしました。[ 7 ]
リズム構造の境界、つまりパルスの繰り返し、アクセント、フレーズ、持続時間の基本的な均等で規則的な配置がなければ、音楽は不可能でしょう。[ 8 ]現代の音楽で拍子や小節などの用語が使われているのは、天文学とともに、物理学の基礎となる計数、算術、時間と周期の正確な測定の発展において音楽が歴史的に重要であったことを反映しています。
音楽形式の要素は、しばしば厳密な比率や超計量構造（2と3のべき乗）を構築する。[ 9 ]
音楽形式とは、短い楽曲を拡張するための計画のことである。「計画」という用語は建築でも用いられ、音楽形式はしばしば建築と比較される。建築家と同様に、作曲家は作品の目的と利用可能な手段を考慮し、経済性を実践し、反復と秩序を活用しなければならない。[ 10 ]二元形式と三元形式（「二重」と「三重」）として知られる一般的な形式の種類は、音楽の理解しやすさと魅力にとって小さな積分値が重要であることを改めて示している。[ 11 ] [ 12 ]
音階とは、音楽を作曲したり表現したりする際に用いられる、音高の離散的な集合のことです。西洋音楽において最も重要な音階は全音階ですが、その他にも様々な時代や地域で多くの音階が用いられ、提案されてきました。それぞれの音高は特定の周波数に対応し、ヘルツ（Hz）で表されます。周波数は、1秒あたりのサイクル数（cps）とも呼ばれます。音階には繰り返しの間隔があり、通常はオクターブです。ある音高のオクターブとは、その音高のちょうど2倍の周波数を指します。
連続するスーパーオクターブは、基本周波数の4倍、8倍、16倍などの周波数にある音高です。基本周波数の半分、4分の1、8分の1などの周波数にある音高は、サブオクターブと呼ばれます。音楽の和声において、ある音高が調和的であるとみなされる場合、そのオクターブがそうでないとみなされることはありません。したがって、音楽体系では、どの音とそのオクターブも一般的に同様の名前で呼ばれます（例えば、すべてド、A 、またはサなどと呼ばれます）。
周波数帯域幅で表すと、 1オクターブA2 ～A3 は110Hz～220Hz （スパン=110Hz ）の範囲になります。次のオクターブは220Hz ～440Hz （スパン=220Hz ）の範囲になります。3番目のオクターブは440Hz ～880Hz （スパン=440Hz ）の範囲になり、以下同様です。各オクターブは、前のオクターブの周波数範囲の2倍の範囲になります。
音階を記述する際には、音高そのものよりも、音高間の関係性や比率（音程）に関心を持つことが多いため、音階のすべての音高を、特定の音高（通常は音階の主音となる音）からの比率で表すのが一般的です。この特定の音高は、1（ 1/1と表記されることが多い）として表されます。音程の大きさを比較する際には、セントがよく用いられます。
調律システムには大きく分けて2種類あります。平均律と純正律です。平均律の音階は、オクターブを対数スケール上で等しい間隔に分割することによって作られます。その結果、音階は完全に均等に分割されますが、周波数の比率は無理数になります。純正律の音階は、周波数に有理数を掛けることによって作られます。その結果、周波数の比率は単純になりますが、音階の分割は不均等になります。
平均律と純正律の大きな違いの一つは、 2つの音を同時に鳴らしたときの音響的なうなりの違いであり、これは協和音と不協和音の主観的な感覚に影響を与えます。これらの2つのシステム、そして一般的に音楽の大部分は、オクターブごとに繰り返される音階を持ち、これは周波数比が2:1として定義されます。言い換えれば、周波数が2倍になるたびに、与えられた音階が繰り返されます。
以下に、純正律と平均律の違いを示すOgg Vorbisファイルを示します。違いを聞き分けるには、サンプルを何度か再生する必要があるかもしれません。
5リミット調律は、最も一般的な純正律の形式であり、単一の基本周波数の規則的な倍音である音を使用する調律システムです。これは、ヨハネス・ケプラーが惑星運動に関連して著書『世界の調和』 （1619年）で紹介した音階の1つです。同じ音階は、スコットランドの数学者で音楽理論家のアレクサンダー・マルコムが1721年に著書『音楽論：思弁的、実践的、歴史的』[ 13 ]で移調した形で示し、20世紀には理論家のホセ・ヴュルシュミットによっても示されました。この音階の形式は、北インドの音楽で使用されています。
アメリカの作曲家テリー・ライリーも、彼の「ハープ・オブ・ニュー・アルビオン」でその反転形を使用しました。 純正律は、コード進行がほとんどまたはまったくない場合に優れた結果をもたらします。声楽やその他の楽器は、可能な限り純正律に傾倒します。 ただし、ピアノなどの固定調律楽器は調を変えることができないため、2つの異なる全音間隔（9:8と10:9）が生じます。[ 14 ]比率で与えられた音階の音の周波数を計算するには、周波数比に主音の周波数を掛けます。たとえば、主音がA4（中央Cの上のAナチュラル）の場合、周波数は440Hzで、その上の純正調律された5度（E5）は単純に440×（3:2）=660Hzです。
ピタゴラス音律は、完全協和音、完全オクターブ、完全5度、完全4度のみに基づく音律です。そのため、長3度は3度ではなく、文字通り「2つの音」である2全音とみなされ、すぐ下の独立した調和音である5:4 = 80:64ではなく、(9:8) 2 = 81:64となります。全音は二次音程であり、2つの完全5度から1オクターブを引いたもので、(3:2) 2 /2 = 9:8となります。
純正長三度（5:4）と純正短三度（6:5）は、それぞれピタゴラス音律における81:64と32:27とは対照的に、81:80という同音的なコンマを形成している。カール・ダールハウス（1990年、187ページ）によれば、「従属三度はピタゴラス音律に、独立三度は音程の和声調律に適合する」。
西洋の一般的な音楽は通常、純正律で演奏することはできず、体系的に平均律された音階を必要とします。平均律は、正平均律の不規則性を含む場合もあれば、何らかの平均律またはその他の規則的な平均律として構築される場合もありますが、いずれの場合も平均律の基本的な特徴を含みます。たとえば、和音iiの根音を属音の 5 度上に調律すると、主音から長全音 (9:8) 上になります。しかし、純正下属音の 4:3 より純正短 3 度 (6:5) 下に調律すると、主音からの音程は短全音 (10:9) になります。平均律は 9:8 と 10:9 の差を縮小します。その比率 (9:8)/(10:9) = 81:80 はユニゾンとして扱われます。 81:80の音程は、シントニック・コンマまたはディディムスのコンマと呼ばれ、中全音律のキー・コンマである。
平均律では、オクターブは対数スケール上で等しい部分に分割されます。平均律音階は任意の数の音符で構成できますが（例えば、24音のアラビア音階など）、最も一般的な数は12であり、これは平均律半音階を構成します。西洋音楽では、特に指定がない限り、12の音程への分割が一般的に想定されています。
半音階では、オクターブは12等分され、各半音（ハーフステップ）は2の12乗根の音程であるため、これらの等しい半音12個を合計するとちょうど1オクターブになります。フレット楽器では、フレットが弦全体に均等に並ぶように平均律を使うと非常に便利です。ヨーロッパの音楽の伝統では、平均律はリュートやギターの音楽で、鍵盤楽器などの他の楽器よりもはるかに早く使用されていました。この歴史的な力により、12音平均律は現在、西洋世界および非西洋世界の多くで支配的なイントネーションシステムとなっています。
平均律は、さまざまな数の等間隔音程を使用して使用され、楽器が作られてきました。16世紀にギヨーム・コステリーによって初めて提案され使用された19 平均律は、19 個の等間隔音を使用し、通常の 12 半音平均律よりも優れた長 3 度と、はるかに優れた短 3 度を提供しますが、5 度が低くなります。全体的な効果は、より大きな協和音です。24個の等間隔音を持つ 24平均律は、アラビア音楽の教育と記譜で広く使用されています。しかし、理論的にも実際的にも、アラビア音楽のイントネーションは、平均律システムの非合理的な比率とは対照的に、合理的な比率に準拠しています。[ 15 ]
アラビア語のイントネーション体系には、平均律の四分音に相当するものは全く存在しないが、四分音、すなわち中立の二度に相当するものは頻繁に現れる。しかし、これらの中立の二度は、マカームや地域によって比率がわずかに異なる。実際、アラビア音楽史家のハビブ・ハッサン・トゥーマは、「この音階の逸脱の幅広さは、アラビア音楽の独特な風味の重要な要素である。オクターブを24個の等しい大きさの四分音に分割して音階を平均律することは、この音楽文化の最も特徴的な要素の1つを放棄することになるだろう」と述べている。[ 15 ]
53平均律は、 53の完全5度と31オクターブがほぼ等しいことから生じ、荊方とニコラス・メルカトルによって注目された。
音楽集合論は、数学の集合論の言語を初歩的な方法で用いて、音楽的対象を整理し、それらの関係性を記述します。音楽集合論を用いて（通常は無調の）楽曲の構造を分析するには、通常、動機や和音を形成する音の集合から始めます。移調や反転といった単純な操作を適用することで、楽曲の深層構造を発見することができます。移調や反転といった操作は、集合内の音の間隔を保持するため、等長変換と呼ばれます。
音楽集合論の手法を拡張し、一部の理論家は抽象代数を用いて音楽を分析してきた。例えば、平均律オクターブの音高クラスは12個の要素を持つアーベル群を形成する。純正律は自由アーベル群を用いて記述することができる。[ 16 ] [ 17 ]
変形理論は、デイヴィッド・ルーウィンによって開発された音楽理論の一分野である。この理論は、音楽的対象そのものではなく、音楽的対象間の変形を重視するため、非常に汎用性が高い。
理論家たちは、より高度な代数的概念の音楽への応用も提案している。正則音律の理論は、例えば各正則音律をグラスマン多様体上の有理点と関連付けるなど、幅広い高度な数学を用いて大きく発展してきた。
半音階は、循環群の自由かつ推移的な作用を持つ。動作は音符の移調によって定義される。したがって、半音階は群に対するトルソルと考えることができる。
数学者で音楽学者のゲリーノ・マッツォーラは、音楽理論の基礎として圏論（トポス理論）を使用しており、これにはリズムと動機の理論の基礎として位相幾何学を使用すること、音楽のフレーズ、テンポ、イントネーションの理論の基礎として微分幾何学を使用することが含まれる。[ 20 ]
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