エンネパー表面

微分幾何学と代数幾何学において、エンネパー面は次のようにパラメトリックに記述できる自己交差面である。 これは1864年にアルフレッド・エンネパーによって極小曲面理論に関連して 導入された。 ^{[1] [2] [3] [4]}$${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\tfrac {1}{3}}u\left(1-{\tfrac {1}{3}}u^{2}+v^{2}\right),\\y&={\tfrac {1}{3}}v\left(1-{\tfrac {1}{3}}v^{2}+u^{2}\right),\\z&={\tfrac {1}{3}}\left(u^{2}-v^{2}\right).\end{aligned}}}$$

ワイエルシュトラス-エネパーパラメータ化は非常に単純で、実パラメトリック形式はそこから簡単に計算できます。表面はそれ自身と 共役です。${\displaystyle f(z)=1,g(z)=z}$

代数幾何学の暗黙化法は、上記のエネパー面上の点が9次多項式方程式 を満たすことを調べるために使用できる。$${\displaystyle {\begin{aligned}&64z^{9}-128z^{7}+64z^{5}-702x^{2}y^{2}z^{3}-18x^{2}y^{2} z+144(y ^{2}z^{6}-x^{2}z^{6})\\&{}+162(y^{4}z^{2}-x^{4}z^{2} )+27(y^{6}-x^{6})+9(x^{4}z+y^ {4}z)+48(x^{2}z^{3}+y^{2}z^{3})\\&{}-432(x^{2}z^{5}+y ^{2}z^{5})+81(x^{4}y^{2}-x^{2}y^{4})+240(y^{2}z^{4}-x ^{2}z^{4})-135(x^{4}z^{3}+y^{4}z^{3})=0.\end{aligned}}}$$

双対的に、与えられたパラメータを持つ点における接平面は、 その係数が暗黙の6次多項式方程式を満たす 場所 です。${\displaystyle a+bx+cy+dz=0,\ }$$${\displaystyle {\begin{aligned}a&=-\left(u^{2}-v^{2}\right)\left(1+{\tfrac {1}{3}}u^{2}+{\tfrac {1}{3}}v^{2}\right),\\b&=6u,\\c&=6v,\\d&=-3\left(1-u^{2}-v^{2}\right).\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}&162a^{2}b^{2}c^{2}+6b^{2}c^{2}d^{2}-4(b^{6}+c^{6})+54(ab^{4}d-ac^{4}d)+81(a^{2}b^{4}+a^{2}c^{4})\\&{}+4(b^{4}c^{2}+b^{2}c^{4})-3(b^{4}d^{2}+c^{4}d^{2})+36(ab^{2}d^{3}-ac^{2}d^{3})=0.\end{aligned}}}$$

ヤコビ曲率、ガウス曲率、平均曲率は、 全曲率はである。オッサーマンは、全曲率を持つの完全な極小曲面はカテノイドかエネパー面のいずれかであることを証明した。 ^[5]$${\displaystyle {\begin{aligned}J&={\frac {1}{81}}(1+u^{2}+v^{2})^{4},\\K&=-{\frac {4}{9}}{\frac {1}{J}},\\H&=0.\end{aligned}}}$$${\displaystyle -4\pi }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle -4\pi }$

もう一つの性質は、すべての双三次極小ベジェ曲面は、アフィン変換を除けば、曲面の断片であるということである。^[6]

これは、整数k>1に対してワイエルシュトラス-エネパーパラメータ化を使用することで、高次の回転対称性に一般化できます。 ^[3]また、高次元に一般化することもできます。エネパーのような表面は、 nが7まで存在することが知られています。^[7]${\displaystyle f(z)=1,g(z)=z^{k}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

高次の代数的エネパー面については ^{[8] [9]}も参照。

• 「エンネパー面」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• 数学科学研究所 - 一般化されたエンネパーの曲面 (アーカイブ)
• ハーベイ・マッド・カレッジ - エネパーズ・サーフェス（アーカイブ）