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幾何学において、六角形タイリングまたは六角形テセレーションは、ユークリッド平面上の正則なタイリングであり、各頂点でちょうど3つの六角形が交わるものです。シュレーフリ記号は{6,3}またはt {3,6} （切頂三角形タイリングの場合）です。
イギリスの数学者ジョン・コンウェイはそれをヘクスティルと呼んだ。
六角形の内角は120度なので、一点に3つの六角形を並べると360度になります。これは平面の正多面体タイル張りの3つのうちの1つです。他の2つは三角形タイル張りと正方形タイル張りです。
六角形タイリングは、プロトタイルとして正六角形のみで構成され、他の同一の正六角形と2つの頂点を共有する構造を持ち、単面体タイリングの一例である。[ 1 ]タイリングの各頂点は、3つの正六角形に囲まれており、次のように表される。頂点配置による。[ 2 ]六角形タイリングの双対は三角形タイリングである。なぜなら、各六角形タイリングの中心が別の六角形タイリングの中心に接続して正三角形を形成するからである。[ 3 ]
六角形タイリングの互いに隣接するすべての頂点、辺、タイルは、対称操作によって最初のものを2番目のものに写像することにより、これら3つのうちの別のものに推移的に作用することができます。言い換えれば、頂点推移的（タイルの頂点を別のタイルに写像）、辺推移的（辺を別の辺に写像）、面推移的（正六角形タイルを別の正六角形タイルに写像）です。これらのことから、六角形タイリングは3つの正則タイリングの1つに分類されます。残りは、その双対と正方形タイリングです。[ 4 ]六角形タイリングの対称群はp6mです。[ 5 ]
各六角形に円を内接させると、結果として得られる図形は、 2次元空間で円を配置する最も密な方法であり、その充填密度は[ 6 ]ハニカム定理は、六角形のタイル張りが、総周長が最小となる等面積の領域に表面を分割する最良の方法であると述べている。[ 7 ]ハニカム（あるいは石鹸の泡）を作るための最適な三次元構造はケルビン卿によって研究され、ケルビン構造（または体心立方格子）が最適であると信じられていた。しかし、規則性の低いウェア・フェラン構造の方がわずかに優れている。
六角形のタイル状構造は、強い共有結合炭素結合を持つグラフェンシートなど、自然界でよく見られます。管状のグラフェンシートは、カーボンナノチューブとして合成されています。[ 8 ]これらは、高い引張強度と電気的特性により、多くの潜在的な用途があります。シリセンはグラフェンと同様の構造を持っています。
チキンワイヤーは六角形の格子状のワイヤーで構成されているが、その形状は規則的ではない。[ 9 ]
六角形のタイル状構造は多くの結晶に見られます。三次元では、面心立方格子と六方最密充填構造が一般的な結晶構造です。これらは三次元における最も密度の高い球体充填構造です。構造的には、グラファイトの構造と同様に、六角形のタイル状構造が平行に並んだ層から構成されています。両者の違いは、層が互い違いに配置されている点にあり、面心立方格子の方が規則的な構造となっています。純銅をはじめとする多くの物質は、面心立方格子を形成します。
六角形のタイル張りには、 3つの異なる均一な彩色があり、いずれもウィトフ構成の反射対称性から生成されます。( h , k )は、1つの彩色タイルの周期的な繰り返しを表し、六角形の間隔をhを最初に、kを2番目に数えます。同じ数え方は、ゴールドバーグ多面体でも{ p +,3} h , kという表記で使用され、 p > 6の双曲タイル張りにも適用できます 。
3色タイリングは、3次パーミュテドロンによって生成されるテセレーションです。
面取りされた六角形タイリングは、辺を新しい六角形に置き換えて、別の六角形タイリングに変化します。極限では、元の面は消滅し、新しい六角形は菱形に退化して、菱形タイリングになります。
六角形は6つの三角形のセットに分割できます。このプロセスにより、2つの2-均一タイリングと三角形タイリングが得られます。
六角形のタイル張りは、菱形のタイル張りを細長く伸ばしたものと考えることができ、菱形のタイル張りの各頂点が新しい辺へと引き伸ばされている。これは、3次元空間における菱形十二面体と菱形六角形十二面体のテセレーションの関係に類似している。
特定の六角形タイルの原型タイルを、2つ、3つ、4つ、または9つの等しい五角形で分割することも可能です。
このタイリングは、六角形の面を持つ正則タイリングのシーケンスの一部として位相的に関連しており、シュレーフリ記号{6,n}とコクセター図 で始まる六角形のタイリングから始まり、無限に続きます。
このタイル張りは、双曲平面に続く数列の一部として、頂点図形n 3を持つ正多面体と位相的に関連しています。
これは、頂点図形n .6.6 を持つ均一な切頂多面体と類似しています。
このタイル張りは、[n,3]コクセター群対称性を持つ切頂菱形多面体とタイル張りの系列の一部でもあります。立方体は、菱形が正方形である菱形六面体と見なすことができます。切頂された形状は、切頂された頂点に正n角形を持ち、非正六角形の面を持ちます。
単面体凸六角形タイリングには 3 種類あります。[ 10 ]これらはすべて等面体です。それぞれが固定された対称性内でパラメトリックな変化を持っています。タイプ 2 はすべり反射を含み、キラル ペアを区別したまま 2-等面体です。
また、15種類の単面体凸五角形タイル張りのほか、すべての四角形と三角形も含まれる。
六角形のタイリングは、通常のタイリング（各頂点の周りに 3 つの六角形）と同じ {6,3} トポロジーで作成できます。等面体面の場合、13 種類のバリエーションがあります。ここでの対称性は、すべての面が同じ色であると仮定しています。ここでの色は格子の位置を表します。[ 11 ]単色 (1 タイル) 格子は平行六角形です。
その他の等面体タイル張りのトポロジー的六角形タイル張りは、辺同士が接していない四角形や五角形として見なされ、隣接する辺が同一直線上にあるものとして解釈される。
2-均一および3-均一なテセレーションは回転自由度を持ち、六角形の2/3を歪ませます。これには、六角形とより大きな三角形の非辺間タイリングとしても見ることができる共線ケースも含まれます。[ 12 ]
また、キラルな4色3方向織り模様に変形させることができ、一部の六角形を平行四辺形に変形させます。2色の面を持つ織り模様は、回転対称性632（p6）を持ちます。シェブロン模様はpmg（22*）対称性を持ちますが、3色または4色のタイルを使用するとp1（°）に低下します。
六角形のタイル張りは、すべての点の中心に同じ直径の円を配置する円の充填として使用できます。充填内の各円は、他の 3 つの円と接触しています (キス数)。[ 13 ] 各六角形の内側の隙間には 1 つの円を配置でき、三角形のタイル張りから最も密な充填が作成され、各円は最大 6 つの円と接触します。
六角形のタイリングの頂点を共有する正則な複素アペイロゴンが 2 つあります。正則な複素アペイロゴンは頂点と辺を持ち、辺には 2 つ以上の頂点が含まれる場合があります。正則なアペイロゴンp { q } r は、1/ p + 2/ q + 1/ r = 1の制約を受けます。辺にはp個の頂点があり、頂点図形はr角形です。[ 14 ]
1つ目は2辺で構成され、各頂点の周りに3辺ずつ配置されている。2つ目は六角形の辺で構成され、各頂点の周りに3辺ずつ配置されている。同じ頂点を共有する3つ目の複雑なアペイロゴン（非対称多角形）は準正多角形で、2辺と6辺が交互に配置されている。
